Формула возрастающей линейной функции. Линейная функция. Прямая пропорциональность. Обратная пропорциональность

Линейная функция

Линейная функция – это функция, которую можно задать формулой y = kx + b,

где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

Графиком линейной функции является прямая.

Число k называют угловым коэффициентом прямой – графика функции y = kx + b.

Если k > 0, то угол наклона прямой y = kx + b к оси х острый; если k < 0, то этот угол тупой.

Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линейных функций, различны, то эти прямые пересекаются. А если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны.

График функции y = kx + b , где k ≠ 0, есть прямая, параллельная прямой y = kx.

Прямая пропорциональность.

Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой y = kx, где х – независимая переменная, k – не равное нулю число. Число k называют коэффициентом прямой пропорциональности .

График прямой пропорциональности представляет собой прямую, проходящую через начало координат (см.рисунок).

Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции.

Свойства функции y = kx:

Обратная пропорциональность

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой:

k
y = -
x

где x – независимая переменная, а k – не равное нулю число.

Графиком обратной пропорциональности является кривая, которую называют гиперболой (см.рисунок).

Для кривой, которая является графиком этой функции, оси x и y выступают в роли асимптот. Асимптота – это прямая, к которой приближаются точки кривой по мере их удаления в бесконечность.

k
Свойства функции y = - :
x

Данный видеоурок по курсу математики познакомит вас со свойствами функции y = k/x, при условии, что значение k будет отрицательным.
В наших предыдущих видеоуроках вы познакомились с самой функцией y равно k деленное на x, ее графиком, который называется «гипербола», а также свойствами графика при положительном значении k. Данное видео познакомит вас со свойствами коэффициента k при отрицательном его значении, то есть меньше нуля.

Свойства равенства, при котором y равняется коэффициенту k, деленному на независимую переменную x, при условии, что коэффициент имеет отрицательное значение, представлены в видеоматериале.
При описании свойств этой функции, прежде всего, опираются на ее геометрическую модель - гиперболу.

Свойство 1. Область определения функции состоит из всех чисел, однако следует, что x не может равняться 0, потому что на ноль делить нельзя.
Свойство 2. у больше нуля при условии, что х меньше нуля; и, соответственно, наоборот, у меньше нуля при значении, когда х находится в пределах больше нуля и до бесконечности.
Свойство 3. Функция возрастает на промежутках от минус бесконечности до нуля и от нуля до плюс бесконечности: (-∞, 0) и (0, +∞).
Свойство 4. Функция является бесконечной, так как не имеет ограничений ни снизу, ни сверху.
Свойство 5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции нет, поскольку она бесконечна.
Свойство 6. Функция является непрерывной на промежутках от минус бесконечности до нуля (-∞, 0) и от нуля до бесконечности (0, +∞), при этом следует обозначить, что она претерпевает разрыв в том случае, когда х имеет значение ноль.
Свойство 7. Область значений функций является объединением двух открытых лучей от минус бесконечности до нуля (-∞, 0) и от нуля до плюс бесконечности (0, +∞).

Далее в видео приводятся примеры. Мы рассмотрим только некоторые из них, остальные рекомендуем посмотреть самостоятельно в предоставленных видеоматериалах.
Итак, рассмотрим первый пример. Необходимо решить уравнение следующего вида: 4/x = 5-x.
Для большего удобства разделим решение данного равенства на несколько этапов:
1) Для начала записываем наше равенство в виде двух отдельных уравнений: y = 4/x и y = 5-x/
2) Затем, как показано в видео, строим график функции y = 4/x, который является гиперболой.
3) Далее строим график линейной функции. В данном случае это прямая, которую можно построить по двум точкам. Графики представлены в нашем видеоматериале.
4) Уже по самому чертежу определяем точки, в которых пересекаются оба наших графика, и гипербола, и прямая. Следует обозначить, что они пересекаются в точках А (1; 4) и В (4; 1). Проверка полученных результатов показывает, что они верны. Данное уравнение может иметь два корня 1 и 4.

Следующий пример, рассмотренный в видеоуроке, имеет следующее задание: построить и прочитать график функции у = f(x), где f(x) = -x2, в случае если переменная x находится в пределах от больше или равно -2 и до больше или равно 1, и y = -1/x, в случае если x больше единицы.
Решение проводим в несколько этапов. Сначала строим график функции y = -x2, который называется «парабола», и выделяем ее часть на участке от - 2 до 1. Для просмотра графика обратитесь к видео.

Следующим этапом является построение гиперболы для равенства y = -1/x, и выделяем ее часть на открытом луче от единицы до бесконечности. Далее производим смещение обоих графиков в одной системе координат. В результате мы получаем график функции у = f(x).
Далее следует прочитать график функции у = f(x):
1. Область определения функции - это луч на участке от -2 до +∞.
2. у равняется нулю в том случае, когда х равняется нулю; у меньше нуля при значении x больше или равно -2 и меньше нуля, а также при x больше нуля.
3. Функция возрастает на участке от -2 до 0 и на участке от 1 и до бесконечности, график показывает убывание на отрезке от нуля до единицы.
4. Функция с заданными параметрами является ограниченной как снизу, так и сверху.
5. Наименьшее значение переменной y равняется - 4 и постигается при значении х на уровне - 2; и также наибольшим значением y является 0, который достигается при значении х равному нулю.
6. В заданной области определения наша функция является непрерывной.
7. Область значения функции располагается на отрезке от -4 до 0.
8. Функция выпукла вверх на отрезке от -2 до 1 и на луче от 1 до бесконечности.
С оставшимися примерами вы сможете ознакомиться самостоятельно, просмотрев представленное видео.

Понятие числовой функции. Способы задания функции. Свойства функций.

Числовая функция - функция, которая действует из одного числового пространства (множества) в другое числовое пространство (множество).

Три главных способа задания функции: аналитический, табличный и графический.

1. Аналитический.

Способ задания функции при помощи формулы называется аналитическим. Этот способ является основным в мат. анализе, но на практике не удобен.

2. Табличный способ задания функции.

Функцию можно задать с помощью таблицы, содержащей значения аргумента и соответствующие им значения функции.

3. Графический способ задания функции.

Функция у=f(х) называется заданной графически, если построен ее график. Такой способ задания функции дает возможность определять значения функции только приближенно, так как построение графика и нахождение на нем значений функции сопряжено с погрешностями.

Свойства функции, которые необходимо учитывать при построении её графика:

1)Область определения функции.

Область определения функции, то есть те значения, которые может принимать аргумент х функции F =y (x).

2) Промежутки возрастания и убывания функции.

Функция называется возрастающей на рассматриваемом промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции у(х). Это означает, что если из рассматриваемого промежутка взяты два произвольных аргумента х 1 и х 2 , причём х 1 > х 2 , то у(х 1) > у(х 2).

Функция называется убывающей на рассматриваемом промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции у(х). Это означает, что если из рассматриваемого промежутка взяты два произвольных аргумента х 1 и х 2 , причём х 1 < х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Нули функции.

Точки, в которых функция F = y (x) пересекает ось абсцисс (они получаются, если решить уравнение у(х) = 0) и называются нулями функции.

4)Чётность и нечётность функции.

Функция называется чётной, если для всех значений аргумента из области определения

у(-х) = у(х).

График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция называется нечётной , если для всех значений аргумента из области определения

у(-х) = -у(х).

График чётной функции симметричен относительно начала координат.

Многие функции не являются ни чётными, ни нечётными.

5)Периодичность функции.

Функция называется периодической, если существует такое число Р, что для всех значений аргумента из области определения

у(х + Р) = у(х).

Линейная функция, её свойства и график.

Линейной функцией называется функция вида y = kx + b , заданная на множестве всех действительных чисел.

k – угловой коэффициент (действительное число)

b – свободный член (действительное число)

x – независимая переменная.

· В частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b).

· Если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой пропорциональностью.

o Геометрический смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.

o Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.

Свойства линейной функции:

1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;

2) Если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось.

Если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;

3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.

a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;

b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;

d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.

4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;

5) Точки пересечения с осями координат:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.

Oy: y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.

Замечание. Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х.

6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞),

y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k).

b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k),

y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,

k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k.

k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,

k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Функция у = ах 2 + bх + с, её свойства и график.

Функция у = ах 2 + bх + с (а, b, с - постоянные величины, а ≠ 0) называется квадратичной. В простейшем случае у = ах 2 (b = с = 0) график есть кривая линия, проходящая через начало координат. Кривая, служащая графиком функции у = ах 2 , есть парабола. Каждая парабола имеет ось симметрии, называемую осью параболы. Точка О пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы .

График можно строить по следующей схеме: 1) Находим координаты вершины параболы х 0 = -b/2a; у 0 = у(х 0). 2) Строим еще несколько точек, которые принадлежат параболе, при построении можно использовать симметрии параболы относительно прямой х = -b/2a. 3) Соединяем обозначены точки плавной линией. Пример. Построить график функции в = х 2 + 2х - 3. Решения. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины параболы х 0 = 2/(2 ∙1) = -1, ее ординаты y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Итак, вершина параболы - точка (-1; -4). Составим таблицу значений для нескольких точек, которые размещены справа от оси симметрии параболы - прямой х = -1. Свойства функции.

«Критические точки функции» - Критические точки. Среди критических точек есть точки экстремума. Необходимое условие экстремума. Ответ: 2. Определение. Но, если f" (х0) = 0, то необязательно, что точка х0 будет точкой экстремума. Точки экстремума (повторение). Критические точки функции Точки экстремумов.

«Координатная плоскость 6 класс» - Математика 6 класс. 1. Х. 1.Найдите и запишите координаты точек A,B, C,D: -6. Координатная плоскость. О. -3. 7. У.

«Функции и их графики» - Непрерывность. Наибольшее и наименьшее значение функции. Понятие обратной функции. Линейная. Логарифмическая. Монотонность. Если k > 0, то образованный угол острый, если k < 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

«Функции 9 класс» - Допустимые арифметические действия над функциями. [+] – сложение, [-] – вычитание, [*] – умножение, [:] – деление. В таких случаях говорят о графическом задании функции. Образование класса элементарных функций. Степенная функция у=х0,5. Иовлева Максима Николаевича, учащегося 9 класса РМОУ Радужская ООШ.

«Урок Уравнение касательной» - 1. Уточнить понятие касательной к графику функции. Лейбниц рассматривал задачу о проведении касательной к произвольной кривой. АЛГОРИТМ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ у=f(x). Тема урока: Тест: найти производную функции. Уравнение касательной. Флюксия. 10 класс. Расшифруйте, как исаак ньютон назвал производную функцию.

«Построить график функции» - Дана функция y=3cosx. График функции y=m*sin x. Постройте график функции. Содержание: Дана функция: y=sin (x+?/2). Растяжение графика y=cosx по оси y. Чтобы продолжить нажмите на л. Кнопку мыши. Дана функция y=cosx+1. Смещения графика y=sinx по вертикали. Дана функция y=3sinx. Смещение графика y=cosx по горизонтали.

Всего в теме 25 презентаций

Инструкция

Если графиком является прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью ОX угол α (угол наклона прямой к положительной полуоси ОХ). Функция, описывающая эту прямую, будет иметь вид y = kx. Коэффициент пропорциональности k равен tg α. Если прямая проходит через 2-ю и 4-ю координатные четверти, то k < 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k > 0 и функция возрастает.Пусть представляет собой прямую линию, располагающуюся различным образом относительно осей координат. Это линейная функция, и она имеет вид y = kx + b, где переменные x и y стоят в первой степени, а k и b могут принимать как положительные, так и отрицательные значения или равны нулю. Прямая параллельна прямой y = kx и отсекает на оси |b| единиц. Если прямая параллельна оси абсцисс, то k = 0, если оси ординат, то уравнение имеет вид x = const.

Кривая, состоящая из двух ветвей, располагающихся в разных четвертях и симметричных относительно начала координат, гиперболой. Этот график обратную зависимость переменной y от x и описывается уравнением y = k/x. Здесь k ≠ 0 - коэффициент пропорциональности. При этом если k > 0, функция убывает; если же k < 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.

Квадратичная функция имеет вид y = ax2 + bx + с, где a, b и c – величины постоянные и a  0. При выполнении условия b = с = 0, уравнение функции выглядит, как y = ax2 (простейший случай ), а ее график является параболой, проходящей через начало координат. График функции y = ax2 + bx + с имеет ту же форму, что и простейший случай функции, однако ее вершина (точка пересечения с осью OY) лежит не в начале координат.

Параболой является также график степенной функции, выраженной уравнением y = xⁿ, если n – любое четное число. Если n - любое нечетное число, график такой степенной функции будет иметь вид кубической параболы.
В случае, если n – любое , уравнение функции приобретает вид. Графиком функции при нечетном n будет гипербола, а при четном n их ветви будут симметричны относительно оси ОУ.

Еще в школьные годы подробно изучаются функции и строятся их графики. Но, к сожалению, читать график функции и находить ее тип по представленному чертежу практически не учат. В действительности это довольно просто, если помнить основные виды функций.

Инструкция

Если представленным графиком является , которая через начало координат и с осью ОX угол α (который является углом наклона прямой к положительной полуоси), то функция, описывающая такую прямую, будет представлена как y = kx. При этом коэффициент пропорциональности k равен тангенсу угла α.

Если заданная прямая проходит через вторую и четвертую координатные четверти, то k равен 0, и функция возрастает. Пусть представленный график является прямой линией, располагающейся любым образом относительно осей координат. Тогда функцией такого графика будет линейная, которая представлена видом y = kx + b, где переменные y и х стоят в первой , а b и k могут принимать как отрицательные, так и положительные значения или .

Если прямая параллельна прямой с графиком y = kx и отсекает на оси ординат b единиц, тогда уравнение имеет вид x = const, если график параллелен оси абсцисс, то k = 0.

Кривая линия, которая состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат и располагающихся в разных четвертях, гиперболой. Такой график показывает обратную зависимость переменной y от переменной x и описывается уравнением вида y = k/x, где k не должен быть равен нулю, так как является коэффициентом обратной пропорциональности. При этом, если значение k больше нуля, функция убывает; если же k меньше нуля – возрастает.

Если предложенным графиком является парабола, проходящая через начало координат, ее функция при выполнении условия, что b = с = 0, будет иметь вид y = ax2. Это самый простой случай квадратичной функции. График функции вида y = ax2 + bx + с будет иметь такой же вид, что и простейший случай, однако вершина (точка, где график пересекается с осью ординат) будет находиться не в начале координат. В квадратичной функции, представленной видом y = ax2 + bx + с, значения величин a, b и c – постоянные, при этом a не равно нулю.

Параболой также может являться график степенной функции, выраженной уравнением вида y = xⁿ, только если n является любым четным числом. Если же значение n - нечетное число, такой график степенной функции будет представлен кубической параболой. В случае, если переменная n является любым отрицательным числом, уравнение функции приобретает вид .

Видео по теме

Координата абсолютно любой точки на плоскости определяется двумя ее величинами: по оси абсцисс и оси ординат. Совокупность множества таких точек и представляет собой график функции. По нему вы видите, как меняется значение Y в зависимости от изменения значения Х. Также вы можете определить, на каком участке (промежутке) функция возрастает, а на каком убывает.

Инструкция

Что можно сказать о функции, если ее график представляет собой прямую линию? Посмотрите, проходит ли эта прямая через точку начала отсчета координат (то есть, ту, где величины Х и Y равны 0). Если проходит, то такая функция описывается уравнением y = kx. Легко понять, что чем больше будет значение k, тем ближе к оси ординат будет располагаться эта прямая. А сама ось Y фактически соответствует бесконечно большому значению k.