Как сформулировать принципа даламбера. Аналитическая механика материальной точки и динамика твердого тела эйлера Принцип даламбера примеры

Принцип Даламбера для материальной точки. Форма записи уравнения движения в соответствии с законами Ньютона не является единственной. Эти уравнения могут быть записаны и в других формах. Одну из таких возможностей представляет принцип Даламбера , который формально позволяет дифференциальным уравнениям движения придать вид уравнений равновесия.

Этот принцип можно рассматривать как самостоятельную аксиому, заменяющую второй закон Ньютона. Используем его как средство решения задач и выведем его из закона Ньютона.

Рассмотрим движение материальной точки относительно инерциальной системы отсчета. Для свободной материальной точки

имеем: та = = Я.

Перенося вектор та в правую часть равенства, это соотношение можно представить как уравнение равновесия: Я - та - 0.

Введем понятие силы инерции. Назовем вектор, направленный противоположно ускорению и равный произведению массы точки на ее ускорение силой инерции материальной точки : = -та.

Используя это понятие, можем записать (рис. 3.42):

? ^ + Р" п) = 0. (3.47)

Рис. 3.42.

для материальной точки

Уравнение (3.47) и есть принцип Даламбера для свободной материальной точки: если к приложенным к точке силам добавить силу инерции, то точка будет находиться в состоянии равновесия.

Строго говоря, высказанное положение не является принципом Даламбера в той форме, в которой он был сформулирован автором.

Даламбер рассматривал несвободное движение точки , не используя принцип освобождаемое™ от связей, не вводя реакцию связи. Отмечая, что при наличии связи ускорение точки не совпадает по направлению с силой и та Ф Р, он ввел понятие потерянной силы Р - та и высказал утверждение, что приложение к точке потерянной силы не нарушает ее состояние равновесия, поскольку потерянная сила уравновешивается реакцией связи.

Соотношение (3.47) представляет собой основное уравнение кинетостатики, ил и уравнение Петербургского принципа Германа -Эйлера. Метод кинетостатики можно рассматривать как видоизменение записи принципа Даламбера, в том числе и для свободной материальной точки, более удобное для практического использования. Поэтому в большинстве литературных источников уравнение (3.47) называют принципом Даламбера.

Если точка несвободна, т.е. на нее наложена связь, то удобно разделить силы, которые действуют на точку, на активные 1 , Р° (задава-

емые) и реакцию связи УУ: р (а) + N =

Такой прием удобен, потому что при некоторых типах связей удается составить уравнение движения так, что реакции этих связей в него не войдут. Таким образом, принцип Даламбера для несвободной точки можно записать в виде (рис. 3.43):

Р (а) + /V + Р Ш) = 0, (3.48)

т.е., если к несвободной материальной точке, кроме активных сил и реакции связи приложить силу инерции, то полученная система сил в любой момент времени будет находиться в равновесии.

Рис. 3.43.

материальной точки

а - от англ, active - активный. Напомним, что активными называют силы, которые сохраняют свои значения при удалении всех связей.

При рассмотрении криволинейного движения точки целесообразно силу инерции представлять в виде двух составляющих: Г"‘ п) = -та п - центробежной и Щ,п) =-та х - касательной (рис. 3.44).

Рис. 3.44.

движения материальной точки

Напомним, что выражения для величин нормального и касательного ускорений имеют вид: а п -У 2 / р и я т = с1У Д/Л

Тогда можно записать: Р^ т) - -т -п Рр п) - -т -т, или окончательно: Р

рт + р(т) + р(а) + уу = о (3.49)

Равенство (3.49) выражает принцип Даламбера для криволинейного движения несвободной точки.

Рассмотрим нить длинной /, на конце которой закреплена точка массой т. Нить вращается вокруг вертикальной оси, описывая коническую поверхность с постоянным углом наклона образующей а. Определить соответствующую постоянную скорость движения точки и натяжение нити Т (рис. 3.45).

Рис. 3.45.

движения несвободной материальной точки

Да но:/и,/, а = const. Найти: Т, V.

Приложим к точке силы инерции, направленные противоположно соответствующим составляющим ускорения. Заметим, что касательная сила инерции равна нулю, так как по условию скорость постоянна:

/1°") = -та = -т -= О,

а центробежная сила инерции определяется выражением Р^ т) = тУ 2 /р, где р = /Бта.

Применение принципа Даламбера к данной задаче позволяет записать уравнение движения исследуемой материальной точки в виде условия равновесия сходящихся сил: т? + Т + Рр п) = 0.

При этом справедливы все уравнения равновесия в проекции на естественные оси координат:

Х^„=0, - FJ" 1 + Tsina = 0; ^ F h = 0, - mg + Т cosa = 0,

+ Т sin a =

-mg + T cosa = 0,

откуда находим Т = /и#/соБа; V = Бтал/^/Тсоза.

Принцип Даламбера для системы материальных точек. Рассмотрим движение механической системы материальных точек. Как и при выводе ОЗМС, разделим силы, приложенные к каждой точке, на внешние и внутренние (рис. 3.46).

Рис. 3.46.

Пусть ’ - равнодействующая внешних сил, приложенных к /-й точке, а /Г (Л - равнодействующая внутренних сил, приложенных к этой же точке. В соответствии с принципом Даламбера к каждой материальной точке системы нужно приложить силы инерции: Рр п) = -т,а г

Тогда силы, приложенные к каждой точке системы, удовлетворяют соотношению:

1?Е) + рУ) + р0п)

т.е. система материальных точек будет находиться в равновесии, если к каждой ее точке приложить дополнительно силы инерции. Таким образом, с помощью принципа Даламбера удается уравнениям движения системы придать вид уравнений равновесия.

Выразим кинетостатические условия равновесия системы с помощью статических эквивалентов сил инерции и внешних сил. Для этой цели просуммируем по всем п уравнения (а), описывающие силы, приложенные к отдельным точкам системы. Затем вычислим моменты всех внешних и внутренних сил и сил инерции, приложенных к отдельным точкам, относительно произвольной точки О:

г а X Р" Е> +г а х /*") +г а х Р т > =0. і = 1,2,...,«.

Затем проведем суммирование, в результате получим

// п п

’(Е) і Г(1)

1л (?) +Л (/) +Л (,п) = 0;

[М { 0 Е) + М { 0 п + М% а) = 0.

Поскольку К и) = 0 и М 1 0 п = 0, то окончательно имеем:

ІЯ (?) + Л (/Я) =0;

М (а Е) + М (‘ п) = 0.

Из системы уравнений (3.50) видно, что главный вектор сил инерции уравновешивается главным вектором внешних сил, а главный момент сил инерции относительно произвольной точки уравновешивается главным моментом внешних сил относительно этой же точки.

При решении задач необходимо иметь выражения для главного вектора и главного момента сил инерции. Величины и направления этих векторов зависят от распределения ускорений отдельных точек и их масс. Как правило, непосредственное определение Я {ш) и М { ”" ] геометрическим суммированием сравнительно просто можно выполнять лишь при п - 2 или п = 3. Вместе с тем, в задаче о движении твердого тела можно выразить статические эквиваленты сил инерции в некоторых частных случаях движения в зависимости от кинематических характеристик.

Главный вектор и главный момент сил инерции твердого тела при различных случаях движения. По теореме о движении центра масс т с а с = Я {Е) . Согласно принципу Даламбера имеем: Я (1П) + Я {Е) = О, откуда находим: Я" 1П) = -т с а с. Таким образом, при любом движении тела главный вектор сил инерции равен произведению массы тела на ускорение центра масс и направлен противоположно ускорению центра масс (рис. 3.47).

Рис. 3.47.

Выразим главный момент сил инерции при вращательном движении тела вокруг неподвижной оси, перпендикулярной плоскости материальной симметрии тела (рис. 3.48). Силы инерции, прилагаемые к/-йточке: Р„! п) = т,х ор; 2 и р? п) = /и,ер,.

Поскольку все центробежные силы инерции пересекают ось вращения, главный момент этих сил инерции равен нулю, а главный момент касательных сил инерции равен:

м т = ?_ С > Р(= ?-ш.д х/Р. = = -е?/я. р; = - J z г. (3.51)

Таким образом, главный момент касательных сил инерции относительно оси вращения равен произведению момента инерции относительно этой оси и углового ускорения, причем направление главного момента касательных сил инерции противоположно направлению углового ускорения.

Рис. 3.48.

относительно оси вращения

Далее выразим силы инерции при плоскопараллельном движении тела. Рассматривая плоскопараллельное движение тела (рис. 3.49) как сумму поступательного движения вместе с центром масс и вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения, можно доказать при наличии плоскости материальной симметрии, совпадающей с плоскостью движения центра масс, что силы инерции при^плоскопараллельном движении эквивалентны главному вектору /? (" п) , приложенному к центру масс противоположно ускорению центра масс, и главному моменту сил инерции М^ п) относительно центральной оси, перпен-дикулярнои плоскости движения, направленному в сторону, противоположную угловому ускорению:

Рис. 3.49.

Примечания.

1. Отметим что, поскольку принцип Даламбера позволяет только записать уравнение движения в форме уравнения равновесия, то каких-либо интегралов уравнения движения он не дает.
2. Подчеркнем, что сила инерции в принципе Даламбера является фиктивной сизой, прилагаемой дополнительно к действующим силам с той лишь целью, чтобы получить равновесную систему. Однако в природе существуют силы геометрически равные силам инерции, но эти силы приложены к другим (ускоряющим) телам, во взаимодействии с которыми возникает ускоряющая сила, приложенная к рассматриваемому движущемуся телу. Например, при движении точки, закрепленной на нити, вращающейся с постоянной скоростью по окружности в горизонтальной плоскости, натяжение нити как раз равно силе инерции, т.е. силе реакции точки на нить, в то время как точка движется под действием реакции нити на нее.
3. Как уже было показано, приведенная форма принципа Даламбера отличается от той, которую использовал сам Даламбер. Способ составления дифференциальных уравнений движения системы, применяемый здесь, был развит и расширен рядом петербургских ученых и получил название метода кинетостатики.

Приложение методов механики к некоторым задачам динамики рельсовых экипажей:

? движение рельсового экипажа по криволинейному пути. В настоящее время в связи с возможностями вычислительной техники анализ всех механических явлений, происходящих при движении рельсового экипажа в кривой, производят с помощью достаточно сложной модели, в которой учитывают всю совокупность отдельных тел системы и особенности связей между ними. Такой подход позволяет получить все необходимые кинематические и динамические характеристики движения.

Однако при анализе конечных результатов и проведении предварительных прикидочных расчетов в технической литературе довольно часто встречаются определенные искажения некоторых понятий механики. Поэтому целесообразно поговорить о самых «первородных основах», используемых при описании движения экипажа в кривой.

Приведем некоторые математические описания рассматриваемых процессов в элементарной постановке.

Для правильного, непротиворечивого объяснения характеристик стационарного движения экипажа в круговой кривой необходимо:

выбрать метод механики, используемый для описания этого движения;
исходить из четкого, с точки зрения механики, понятия «сила»;
не забывать закон равенства действия и противодействия.

Процесс движения экипажа в кривой неизбежно предполагает изменение направления скорости. Характеристикой быстроты этого изменения является нормальное ускорение, направленное в центр кривизны криволинейной траектории центра масс: а п - V 2 /р, где р - радиус кривой.

В процессе движения экипаж взаимодействует с рельсовым путем, в результате возникают нормальные и касательные реактивные силы, приложенные к колесным парам. Естественно, что равные и противоположные им силы давления приложены к рельсам. Согласно изложенным механическим представлениям, под силой понимают результат взаимодействия тел, или тела и поля. В рассматриваемой задаче присутствуют две физических системы: экипаж с колесными парами и рельсовый путь, следовательно, силы надо искать в местах их контакта. Кроме этого взаимодействие экипажа и гравитационного поля Земли создает силу тяжести.

Описание движения экипажа в кривой можно производить, используя общие теоремы динамики , являющиеся следствиями ОЗМС, или на основе принципов механики (например, принципа Даламбера), являющегося основой метода кинетостатики.

Желая объяснить равные особенности методики учета кривизны оси пути на характеристики движения экипажа, используем вначале простейшую идеализированную модель. Экипаж будем рассматривать как материальную плоскость с массой, равной массе этой системы.

Центр масс, лежащий в этой плоскости, совершает заданное движение по траектории, конгруэнтной оси пути, со скоростью V. Контакт с рельсовым путем осуществляется в двух точках пересечения движущейся плоскости с рельсовыми нитями. Поэтому, говоря о взаимодействии экипажа с рельсовым путем, можно говорить о сосредоточенных силах, представляющих собой равнодействующие всех реакций рельсов на отдельные колесные пары от каждого из рельсов. Причем природа возникновения реактивных сил несущественна;

? движение экипажа по пути без возвышения наружного рельса. На рис. 3.50 приведена расчетная схема экипажа, движущегося по криволинейному пути. Наружний и внутренний рельсы, в данном случае, расположены на одном уровне. На рис. 3.50 указаны действующие на экипаж силы и реакции связей. Подчеркнем, что никаких реальных центробежных сил в этой схеме нет.

В рамках геометрической механики Ньютона движение экипажа в кривой описывают общими теоремами динамики системы.

В этом случае, согласно теореме о движении центра масс,

т с а с - Я а) , (а)

где Я) - главный вектор внешних сил.

Проектируем обе части выражения (а) на сопровождающие естественные оси координат, центр которых находится в центре масс экипажа, с единичными векторами т, я, b и считаем т с = т.

В проекции на главную нормаль получим та п = F n , или

mV /p = F„ (Ь)

где F n - реально существующая сила реакций рельса на колесные пары, представляющая собой сумму проекций реакций рельсов на нормаль к траектории. Это могут быть направляющие силы давления рельсов на гребни колес. Никаких других внешних сил в этом направлении нет.

В проекции выражения (а) на бинормаль получим:

О = -mg + N out + N inn . (с)

Здесь индексы out 1 соответствуют наружному, a inn - внутреннему рельсу кривой. Левая часть в выражении (с) равна нулю, поскольку нулю равна проекция ускорения на бинормаль.

Третье уравнение получим, используя теорему об изменении момента количества движения относительно центра масс:

dK c /dt = ^M c . (d)

Проектируя выражение d на ось т, где т = nx b - векторное про-изведение единичных векторов п и Ь , с учетом того, что K Cl =У Ст со т, У Ст - момент инерции экипажа относительно оси касательной к траектории центра масс, будем иметь

J a *i=NJS-N m S + F K H = 0, (е)

поскольку угловое ускорение относительно оси т в установившемся движении по круговой кривой равно нулю.

Выражения (Ь ), (с) и (е) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно трех неизвестных величин М-тп > решая которую, получим:

Рис. 3.50.

Таким образом, последовательное применение общих теорем динамики позволяет в рассматриваемой задаче установить все феномены, связанные с прохождением экипажем криволинейного участка пути.

В самом деле, на оба колеса действуют силы, направленные внутрь кривой. Равнодействующая этих сил создает момент относительно центра масс экипажа, который может вызвать вращение и даже опрокидывание наружу кривой, если V 2 Н /р5" > g. Действие этой силы приводит к износу колес. Естественно, что действующая на рельс противоположно направленная сила -Р п вызывает износ рельса.

Заметим, что в изложенной постановке можно найти лишь равнодействующую горизонтальных реакций двух рельсов Р. Для определения распределения этой силы между внутренним и наружным рельсами необходимо решать статически неопределенную задачу с использованием дополнительных условий. Кроме этого при движении экипажа нормальные реакции наружного и внутреннего рельсов имеют разные значения. Более нагружена наружная рельсовая нить.

Реакция внутренней нити на экипаж меньше и при определенном значении скорости может быть даже равна нулю.

В классической механике такое состояние и называют опрокидыванием , хотя фактически опрокидывания на самом деле еще нет. Для выяснения, когда наступает состояние действительного опрокидывания, следовало бы рассмотреть вращение вагона вокруг оси, параллельной т и проходящей через точку контакта колеса с наружним рельсом при? т Ф 0. Такая задача имеет чисто академический интерес, поскольку, безусловно, доводить реальную систему до такого состояния недопустимо.

Подчеркнем еще раз, что при объяснении всех явлений исходили из факта движения вагона под действием только реальных сил.

Заметим, что дифференциальное уравнение вращения вокруг оси т даже при = 0 записано по отношению к центральной оси т. Выбор этой оси в другой точке приводит к изменению вида левой части уравнения теоремы моментов. Поэтому нельзя, например, записывать это уравнение в таком же виде относительно оси, проходящей через точку контакта колеса с рельсом, хотя, казалось бы, найти значение нормальных реакций при этом было бы проще. Однако такой подход приведет к неверному результату: И ош = М 1Ш1 = mg| 2.

Можно показать, что дело заключается в том, что уравнение вращения относительно оси, проходящей, например, через точку К , нужно записывать с учетом момента количества движения тела от пос-тупательной части движения г кс х та с: J Cl ? т + т (г кс хй г)=^М Кх.

Поэтому вместо уравнения (с) в проекции на ось Ст получим выражение

(8 )

/ Ст? т + т[г кс х а с ) т = -тёБ + N іпп 25,

где в скобках записано значение проекции на ось Ст векторного произведения ? кс ха с.

Покажем, что последовательное проведение необходимых процедур позволяет найти Ы шп из полученного уравнения). Из рис. 3.50 видно, что

г кс - Бп + НЬ и а с =

Вычислим векторное произведение:

Здесь учтено, что пхп = 0 и Ьхп = - т. Следовательно,

тНУ 2

2Л г /лп 5’,

откуда находим реакцию внутреннего рельса:

что совпадает с результатом, полученным в выражении (/).

В заключение изложения задачи укажем, что рассмотрение вагона в движении с использованием методов геометрической механики Ньютона позволяет решить задачу без введения фиктивных сия инерции. Нужно только при этом правильно использовать все положения механики. Следует, однако, заметить, что применение этого способа может быть связано с большим объемом вычислений, чем, например, при использовании принципа Даламбера.

Покажем теперь, как решается эта же задача на основе использования принципа Даламбера в общепринятой форме метода кинетостатики. В этом случае необходимо приложить к центру масс допол-

нительную фиктивную силу инерции: Г* = -та Сп = -т -п. И эки-

паж останавливается , т.е. теперь ускорение его центра масс а с = 0. На рис. 3.51 приведена такая покоящаяся система. Все приложенные к ней силы, включая силу инерции, должны удовлетворять кинетос-татическим уравнениям равновесия, а не движения, как в предыдущем случае.

Это обстоятельство позволяет найти все неизвестные величины из уравнении равновесия. При этом выбор формы уравнений равновесия и точек, относительно которых вычисляют моменты, становится произвольным. Последнее обстоятельство позволяет найти все неизвестные независимо друг от друга:

IМ. = о, I м,_ = о,

-н = о.

1 у МП

Рис. 3.51. Расчетная схема сил, действующих на экипаж при тех же условиях, что и на рис. 3.50 при использовании принципа Даламбера

Легко видеть, что решения этой системы уравнений совпадают с соответствующими формулами, полученными с использованием теории динамики. Таким образом, в рассматриваемом примере применение принципа Даламбера позволило несколько упростить решение задачи.

Однако при истолковании результатов следует иметь в виду, что приложенная дополнительно сила инерции является фиктивной в том смысле, что в действительности нет такой силы, действующей на экипаж. Кроме того, эта сила не удовлетворяет третьему закону Ньютона - нет «второго конца» этой силы, т.е. нет противодействия.

В целом, при решении многих задач механики, в том числе и задачи движения экипажа в кривой, удобно применять принцип Даламбера. Но при этом не следует связывать какие-либо явления с действием этой силы инерции. Например, говорить о том, что эта центробежная сила инерции нагружает дополнительно наружний рельс и разгружает внутренний и более того, что эта сила может вызвать опрокидывание экипажа. Это не только безграмотно, но и бессмысленно.

Напомним еше раз, что внешними приложенными силами, действующими на экипаж в кривой и изменяющими состояние его движения, являются сила тяжести, вертикальные и горизонтальные реакции рельсов;

? движение экипажа по кривой с возвышением наружного рельса. Как было показано, процессы, возникающие при прохождении экипажа в кривых без возвышения наружного рельса, связаны с нежелательными последствиями - неравномерной вертикальной нагрузкой рельсов, значительной нормальной горизонтальной реакцией рельса на колесо, сопровождающейся усиленным износом как колес, так и рельсов, возможностью опрокидывания при превышении скорости движения некоторого предела и др.

В значительной степени неприятных явлений, сопровождающих прохождение кривых, можно избежать, если устраивать возвышение наружного рельса над внутренним. При этом экипаж будет катиться по поверхности конуса с углом наклона образующей к горизонтальной оси (рис. 3.52): ф Л = arcsin (Л/25), или при малых углах

Ф А * Л/2S.

Рис. 3.52.

с возвышением наружного рельса

В стационарном случае, когда V - const и ф А = const, можно рас -сматривать движение плоского сечения экипажа в своей плоскости так же, как и при вписывании в кривую без возвышения наружного рельса.

Рассмотрим методику решения задачи с помощью общих теорем динамики. Будем считать, что центр масс экипажа движется по круговой кривой радиусом р, хотя в рассматриваемом случае, строго говоря, радиус кривизны оси пути отличается от радиуса кривизны траектории центра масс на малую величину:

Н sin ср Л ~ Н ф А « р.

Поэтому по сравнению с р, последней величиной можно пренебречь. Движение «плоского сечения» экипажа будем относить к сопровождающим осям СуСі х (см. рис. 3.52), где ось Су ] параллельна плоскости пути. При постоянной скорости движения проекция ускорения центра масс на главную нормаль траектории его движения может быть записана так же, как и при движении в кривой без возвышения, т.е. а п = V і /р.

Проекции ускорения на оси Су, и Cz^ равны соответственно:

а ух =а п совф,; я. =a„smy h .

Уравнения движения плоского сечения на основе теоремы о движении центра масс и теоремы об изменении момента количества движения относительно оси Сх, выглядят следующим образом:

С учетом того, что = 0, после подстановки получаем систему трех линейных алгебраических уравнений относительно трех неизвестных F Vi , N iiw , N (nil:

/и-si Пф л = -mg cos V/ , + N mn + N out ; P

-соєф А = mgs іпф А + F ;

0 = +N ilw S-N oul S + F y H.

Обратим внимание, что наклон плоскости оси пути из-за возвышения наружного рельса приводит к изменению проекции ускорения центра масс на оси Су, и Сг, что связано с изменением реакций рельсов по сравнению с таковыми при отсутствии возвышения, когда а. - 0, а л Эти изменения в проекциях ускорений можно объяснить, если рассматривать вращение экипажа вокруг бинормали, проходящей через центр кривизны кривой как геометрическую сумму двух вращений со Л =со (+ б) вокруг осей?,у, проходящих через тот же центр кривой.

При составлении системы уравнений (к) малость угла ср Л не предусматривалась. Однако в практически реализуемой конструкции

втф А ~ /г/25.

Таким образом, в случае малых ф Л система уравнений для определения реакций пути на экипаж имеет следующий вид:

= -г^ + ЛГ,„ + М гш, ;

т - = /гг#--1- г, ;

О = + Л/-5 - /У 0И/ 5 + Р п Н.

Решая эти уравнения, получаем:

N...... =

mg + тУ /г

пт /77 К И /77 „

- +--+-н
2р 25 25

В частном случае, когда возвышение отсутствует (И = 0), эти выражения совпадают с полученными ранее (/).

Теперь перейдем к анализу результатов решения задачи при И Ф 0.

Следует отметить, что в этом случае поперечная реакция рельса, направленная в плоскости пути, уменьшается. Это объясняется тем, что в формировании ускорения центра масс в направлении оси Су, принимает участие не только сила //, но и составляющая силы тяжести. Более того, при определенном значении И = 25К 2 /р? сила Р становится равной нулю:

Имея в виду, что

т г - Т, = X А,%> + X А[

(3.42)

Величину в скобках называют непогашенным ускорением. Состояние, когда Р = 0, соответствует случаю, при котором нормальное ускорение а формируется только проекцией на ось д>, силы тяжести экипажа.

При обсуждении расматриваемой задачи иногда возникает софистическое рассуждение о том, что ускорение а п направлено по горизонтали, а сила тяжести - вертикально (см. рис. 3.52), и поэтому она не может формировать рассматриваемое ускорение а п при Р = 0. Данное рассуждение содержит ошибку, поскольку в формировании горизонтального ускорения, кроме силы Р , принимают участие еще и нормальные реакции Д г шя и /У оиГ Сумма двух этих реакций при малых ф Л равна 1Ч тп + 1У оиг = mg. Следовательно, сила тяжести все-таки участвует в формировании горизонтального ускорения а п, но посредством действия реакций N тп и Ы оиГ

Обсудим теперь, как изменяются нормальные реакции рельсов, перпендикулярные к поверхности пути.

Заметим, что в отличие от случая /7 = 0 реакции возрастают на одно и то же значение тУ 2 И/2р28, которым пренебрегают, поскольку ///25 - величина малая. Однако при строгих рассуждениях опускать этот член для выражений и N ш не следует.

При - > -2-, т.е. при положительном непогашенном ускорении, р 25

реакции внутреннего рельса меньше, чем наружного, однако, разница между ними не столь значительна, как при И = 0.

В случае равенства нулю непогашенного ускорения значения реакции становятся равными /У /ял = IV оШ = mg|2 (при малых И), т.е. возвышение наружного рельса позволяет не только получить Р у = 0, но и уравнять давление на внешний и наружний рельсы. Указанные обстоятельства позволяют достичь более равномерных значений износа для обоих рельсов.

Вместе с тем, вследствие возвышения наружного рельса возникает возможность отрицательного значения Р ", что в реальной системе при неудерживающих связях соответствует процессу скольжения экипажа вдоль оси у г т.е. внутрь кривой пути. Вследствие того же наклона пути может происходить перераспределение реакций N ш и N ои! с преобладающим значением М ш.

Таким образом, проведенные с помощью методов геометрической механики Ньютона исследования движения экипажа в кривой по пути с возвышением наружного рельса позволяют проанализировать состояние системы без дополнительных терминологических гипотез. Никакие силы инерции в рассуждениях не присутствуют.

Рассмотрим теперь, как описывается движение экипажа в такой же кривой с помощью принципа Даламбера.

Применяя этот принцип в формулировке метода кинетостатики так же, как и в предыдущем случае, необходимо приложить к центру масс нормальную (центробежную) силу инерции Р„ п) , направленную в сторону, противоположную нормальному ускорению (рис. 3.53):

При этом система опять-таки останавливается , т.е. экипаж не движется вдоль пути. Поэтому справедливы все уравнения кинето-статические равновесия:

I к = °-X г* = о.

/Л^ыпф, - Г‘ п совф* + Г У[ = 0;

- /Л?С08ф /; - БІПф, + + N^1

Подставляя сюда значение получим ту же систему уравнений, что и система (/) при любых ф /(или (к) при малых И.

Таким образом, применение обоих способов приводит к абсолютно одинаковым результатам. Система уравнений (к ) и система, полученная на основе принципа Даламбера тождественны.

Заметим при этом, что в окончательные результаты никакие силы инерции не входят. Это и понятно, поскольку принцип Даламбера, лежащий в основе метода кинетостатики, является лишь средством составления дифференциальных уравнении движения системы. Вместе с тем видим, что в рассматриваемой задаче применение принципа Даламбера позволило упростить выкладки и может быть рекомендовано при проведении практических расчетов.

Однако подчеркнем еще раз, что в действительности нет силы тУ 2 /р, приложенной к центру масс движущегося экипажа. Поэтому все феномены, связанные с движением в кривой, следует объяснять так, как это было выполнено на основе анализа результатов решения системы (/), или (к).

Укажем в заключение, что «метод Ньютона» и «метод Даламбера» в рассматриваемой задаче применялись лишь с целью составления дифференциальных уравнений движения. При этом на первом этапе не получаем никакой информации, кроме самих дифференциальных уравнений. Последующее решение полученных уравнений и проведенный анализ не связаны с методом получения самих уравнений.

Рис. 3.53.

out - от англ, outer - внешний.
inn - от англ, inner - внутренний.
inn - от англ, inner - внутренний.

Силы инерции в динамике материальной точки и механической системы

Силой инерции материальной точки называется произведение массы точки на ее ускорение, взятое со знаком минус, т. е. Силы инерции в динамике применяются в следующих случаях:

1. При исследовании движения материальной точки в неинерциальной (подвижной) системе координат, т. е. относительного движения. Это переносная и кориолисова силы инерции, которые часто называют эйлеровыми.
2. При решении задач динамики с использованием метода кинетостатики. В основу этого метода положен принцип Даламбера, в соответствии с которым вводятся силы инерции материальной точки или системы материальных точек, движущихся с некоторым ускорением в инерциальной системе отсчета. Эти силы инерции называются даламберовыми.
3. Даламберовы силы инерции применяются также при решении задач динамики с использованием принципа Лагранжа-Даламбера или общего уравнения динамики.

Выражение в проекциях на оси декартовых координат

где - модули проекций ускорения точки на оси декартовых координат.

При криволинейном движении точки силу инерции можно разложить на касательную и нормальную:; , - модуль касательного и нормального ускорений; - радиус кривизны траектории;

V - скорость точки.

Принцип Даламбера для материальной точки

Если к несвободной материальной точке, движущейся под действием приложенных активных сил и сил реакций связей, приложить ее силу инерции, то в любой момент времени полученная система сил будет уравновешенной, т. е. геометрическая сумма указанных сил будет равна нулю.

механический точка тело материальный

где - равнодействующая активных сил, приложенных к точке; - равнодействующая реакций связей, наложенных на точку; сила инерции материальной точки. Примечание: На самом деле сила инерции материальной точки приложена не к самой точке, а к тому телу, которое сообщает ускорение данной точке.

Принцип Даламбера для механической системы

Геометрическая сумма главных векторов внешних сил, действующих на систему, и сил инерции всех точек системы, а также геометрическая сумма главных моментов этих сил относительно некоторого центра для несвободной механической системы в любой момент времени равны нулю, т.

Главный вектор и главный момент сил инерции твердого тела

Главный вектор и главный момент сил инерции точек системы определяются отдельно для каждого твердого тела, входящего в данную механическую систему. Их определение основывается на известном из статики методе Пуансо о приведении произвольной системы сил к заданному центру.

На основании этого метода силы инерции всех точек тела в общем случае его движения можно привести к центру масс и заменить их главным вектором * и главным моментом относительно центра масс. Они определяются по формулам т. е. при любом движении твердого тела главный вектор сил инерции равен со знаком минус произведению массы тела на ускорение центра масс тела; ,где r kc -- радиус-вектор k-й точки, проведенный из центра масс. Эти формулы в частных случаях движения твердого тела имеют вид:

1. Поступательное движение.

2. Вращение тела вокруг оси, проходящей через центр масс

3. Плоскопараллельное движение

Введение в аналитическую механику

Основные понятия аналитической механики

Аналитическая механика - область (раздел) механики, в котором изучается движение или равновесие механических систем с помощью общих, единых аналитических методов, применяемых для любых механических систем.

Рассмотрим наиболее характерные понятия аналитической механики.

1. Связи и их классификация.

Связи -- любые ограничения в виде тел или каких-либо кинематических условий, накладываемые на движения точек механической системы. Эти ограничения могут быть записаны в виде уравнений или неравенств.

Геометрические связи -- связи, уравнения которых содержат только координаты точек, т. е. ограничения накладываются только на координаты точек. Это связи в виде тел, поверхностей, линий и т. п.

Дифференциальные связи -- связи, накладывающие ограничения не только на координаты точек, но и на их скорости.

Голономные связи -- все геометрические связи и те дифференциальные, уравнения которых могут быть проинтегрированы.

Неголономные связи -- дифференциальные неинтегрируемые связи.

Стационарные связи -- связи, в уравнения которых не входит явно время.

Нестационарные связи -- связи, изменяющиеся с течением времени, т. е. в уравнения которых явно входит время.

Двусторонние (удерживающие) связи -- связи, ограничивающие движение точки в двух противоположных направлениях. Такие связи описываются уравнениями.

Односторонние (неудерживающие) связи - связи, ограничивающие движение только в одном направлении. Такие связи описываются неравенствами

2. Возможные (виртуальные) и действительные перемещения.

Возможными или виртуальными перемещениями точек механической системы называются воображаемые бесконечно малые перемещения, которые допускают наложенные на систему связи.

Возможным перемещением механической системы называется совокупность одновременных возможных перемещений точек системы, совместимых со связями. Пусть механическая система -- кривошипно-шатунный механизм.

Возможным перемещением точки А является перемещение которое в силу его малости считается прямолинейным и направленным перпендикулярно к ОА.

Возможным перемещением точки В (ползуна) является перемещение в направляющих. Возможным перемещением кривошипа ОА является поворот на угол, а шатуна АВ -- на угол вокруг МЦС (точка Р).

Действительными перемещениями точек системы называются также элементарные перемещения, которые допускают наложенные связи, но с учетом начальных условий движения и действующих на систему сил.

Число степеней свободы S механической системы - это число ее независимых возможных перемещений, которые можно сообщить точкам системы в фиксированный момент времени.

Принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа)

Принцип возможных перемещений или принцип Лагранжа выражает условие равновесия несвободной механической системы, находящейся под действием приложенных активных сил. Формулировка принципа.

Для равновесия несвободной механической системы с двусторонними, стационарными, голономными и идеальными связями, находящейся в покое под действием приложенных активных сил, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил равнялась пулю на любом возможном перемещении системы из рассматриваемого положения равновесия:

Общее уравнение динамики (принцип Лагранжа-Даламбера)

Общее уравнение динамики применяется к исследованию движения несвободных механических систем, тела или точки которых движутся с некоторыми ускорениями.

В соответствии с принципом Даламбера совокупность приложенных к механической системе активных сил, сил реакций связей и сил инерции всех точек системы образует уравновешенную систему сил.

Если к такой системе применить принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа), то получим объединенный принцип Лагранжа-Даламбера или общее уравнение динамики. Формулировка этого принципа.

При движении несвободной механической системы с двусторонними, идеальными, стационарными и голономными связями сумма элементарных работ всех приложенных к точкам системы активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю:

Уравнения Лагранжа второго рода

Уравнения Лагранжа второго рода - это дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах.

Для системы с S степенями свободы эти уравнения имеют вид

Разность полной производной по времени от частной производной от кинетической энергии системы по обобщенной скорости и частной производной от кинетической энергии по обобщенной координате равна обобщенной силе.

Уравнения Лагранжа для консервативных механических систем. Циклические координаты и интегралы

Для консервативной системы обобщенные силы определяются через потенциальную энергию системы по формуле

Тогда уравнения Лагранжа перепишутся в виде

Так как потенциальная энергия системы есть функция только обобщенных координат, т. е. , то С учетом этого представим в виде, где Т - П = L -- функция Лагранжа (кинетический потенциал). Окончательно уравнения Лагранжа для консервативной системы

Устойчивость положения равновесия механической системы

Вопрос об устойчивости положения равновесия механических систем имеет непосредственное значение в теории колебания систем.

Положение равновесия может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным.

Устойчивое положение равновесия - положение равновесия, при котором точки механической системы, выведенные из этого положения, в дальнейшем движутся под действием сил в непосредственной близости возле своего равновесного положения.

Это движение будет обладать той или иной степенью повторяемости во времени, т. е. система будет совершать колебательное движение.

Неустойчивое положение равновесия - положение равновесия, из которого при сколь угодно малом отклонении точек системы в дальнейшем действующие силы еще дальше будут удалять точки от их равновесного положения.

Безразличное положение равновесия -- положение равновесия, когда при любом малом начальном отклонении точек системы от этого положения в новом положении система также остается в равновесии..

Для определения устойчивого положения равновесия механической системы существуют различные методы.

Рассмотрим определение устойчивого положения равновесия на основании теоремы Лагранжа-Дирихле

Если в положении равновесия консервативной механической системы с идеальными и стационарными связями ее потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия является устойчивым.

Явление удара. Ударная сила и ударный импульс

Явление, при котором за ничтожно малый промежуток времени скорости точек тела изменяются на конечную величину, называется ударом. Этот промежуток времени называется временем удара. При ударе в течение бесконечно малого промежутка времени действует ударная сила. Ударной силой называется сила, импульс которой за время удара является конечной величиной.

Eсли конечная по модулю сила действует в течение времени, начиная свое действие в момент времени , то ее импульс имеет вид

Также при действии ударной силы на материальную точку можно сказать, что:

действием немгновенных сил за время удара можно пренебречь;

перемещение материальной точки за время удара можно не учитывать;

результат действия ударной силы на материальную точку выражается в конечном изменении за время удара вектора ее скорости.

Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе

изменение количества движения механической системы за время удара равно геометрической сумме всех внешних ударных импульсов, приложенных к точкам систем, где - количество движения механической системы в момент окончания действия ударных сил, - количество движения механической системы в момент начала действия ударных сил, - внешний ударный импульс.

Принцип Даламбера позволяет сформулировать задачи динамики механических систем как задачи статики. При этом динамическим дифференциальным уравнениям движения придают вид уравнений равновесия. Такой метод называют методом кинетостатики .

Принцип Даламбера для материальной точки: «В каждый момент времени движения материальной точки, фактически действующие на нее активные силы, реакции связей и условно приложенная к точке сила инерции образуют уравновешенную систему сил »

Силой инерции точки называют векторную величину, имеющую размерность силы, равную по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленную противоположно вектору ускорения

. (3.38)

Рассматривая механическую систему как совокупность материальных точек, на каждую из которых действуют, согласно принципу Даламбера, уравновешенные системы сил, имеем следствия из этого принципа применительно к системе. Главный вектор и главный момент относительно любого центра приложенных к системе внешних сил и сил инерции всех ее точек равны нулю:

(3.39)

Здесь внешними силами являются активные силы и реакции связей.

Главный вектор сил инерции механической системы равен произведению массы системы на ускорение ее центра масс и направлен в сторону, противоположную этому ускорению

. (3.40)

Главный момент сил инерции системы относительно произвольного центра О равен взятой с обратным знаком производной по времени от кинетического момента ее относительно того же центра

. (3.41)

Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Oz , найдем главный момент сил инерции относительно этой оси

. (3.42)

3.8. Элементы аналитической механики

В разделе «Аналитическая механика» рассматривают общие принципы и аналитические методы решения задач механики материальных систем.

3.8.1.Возможные перемещения системы. Классификация

некоторых связей

Возможными перемещениями точек
механической системы называют любые воображаемые, бесконечно малые их перемещения, допускаемые наложенными на систему связями, в фиксированный момент времени. По определению, числом степеней свободы механической системы называют число ее независимых возможных перемещений.

Связи, наложенные на систему, называют идеальными , если сумма элементарных работ их реакций на любом из возможных перемещений точек системы равна нулю

. (3. 43)

Связи, для которых налагаемые ими ограничения сохраняются при любом положении системы, называют удерживающими . Связи, не изменяющиеся во времени, в уравнения которых явно не входит время, называют стационарными . Связи, ограничивающие только перемещения точек системы, называют геометрическими , а ограничивающие скорости – кинематическими . В дальнейшем будем рассматривать только геометрические связи и те кинематические, которые могут быть путем интегрирования сведены к геометрическим.

3.8.2. Принцип возможных перемещений

Для равновесия механической системы с удерживающими идеальными и стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы

сумма элементарных работ всех активных сил, действующих на нее, на любых возможных перемещениях системы была равна нулю

. (3.44)

В проекциях на оси координат:

. (3.45)

Принцип возможных перемещений позволяет установить в общей форме условия равновесия любой механической системы, не рассматривая равновесие отдельных ее частей. При этом учитываются только действующие на систему активные силы. Неизвестные реакции идеальных связей в эти условия не входят. Вместе с тем данный принцип позволяет определять неизвестные реакции идеальных связей путем отбрасывания этих связей и введения их реакций в число активных сил. При отбрасывании связей, реакции которых необходимо определить, система приобретает дополнительно соответствующее число степеней свободы.

Пример 1 . Найти зависимость между силами идомкрата, если известно, что при каждом повороте рукояткиАВ = l , винт С выдвигается на величину h (рис. 3.3).

Решение

Возможные перемещения механизма – это поворот рукоятки  и перемещение груза h . Условие равенства нулю элементарных работ сил:

Pl  – Q h = 0;

Тогда
. Так какh  0, то

3.8.3. Общее вариационное уравнение динамики

Рассмотрим движение системы, состоящей из n точек. На нее действуют активные силы и реакции связей .(k = 1,…,n ) Если к действующим силам добавить силы инерции точек
, то, согласно принципу Даламбера, полученная система сил будет находиться в равновесии и, следовательно, справедливо выражение, записанное на основе принципа возможных перемещений (3.44):

. (3.46)

Если все связи идеальные, то 2-я сумма равна нулю и в проекциях на оси координат равенство (3.46) будет выглядеть следующим образом:

Последнее равенство представляет собой общее вариационное уравнение динамики в проекциях на оси координат, которое позволяет составить дифференциальные уравнения движения механической системы.

Общее вариационное уравнение динамики – это математическое выражение принципа Даламбера-Лагранжа : «При движении системы, подчиненной стационарным, идеальным, удерживающим связям, в каждый данный момент времени сумма элементарных работ всех активных сил, приложенных к системе, и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю ».

Пример 2 . Для механической системы (рис. 3.4), состоящей из трех тел определить ускорение груза 1 и натяжение троса 1-2, если: m 1 = 5m ; m 2 = 4m ; m 3 = 8m ; r 2 = 0,5R 2 ; радиус инерции блока 2 i = 1,5r 2 . Каток 3 представляет собой сплошной однородный диск.

Решение

Изобразим силы, которые совершают элементарную работу на возможном перемещении s груза 1:

Запишем возможные перемещения всех тел через возможное перемещение груза 1:

Выразим линейные и угловые ускорения всех тел через искомое ускорение груза 1 (отношения такие же, как и в случае возможных перемещений):

Общее вариационное уравнение для данной задачи имеет вид:

Подставляя полученные ранее выражения для активных сил, сил инерции и возможных перемещений, после несложных преобразований получим

Так как s  0, следовательно, равно нулю выражение в скобках, содержащее ускорение а 1 , откуда a 1 = 5g /8,25 = 0,606g .

Для определения натяжения троса, удерживающего груз, освободим груз от троса, заменив действие его искомой реакцией . Под действием заданных сил ,и приложенной к грузу силы инерции
он находится в равновесии. Следовательно, к рассматриваемому грузу (точке) применим принцип Даламбера, т.е. запишем, что
. Отсюда
.

3.8.4. Уравнение Лагранжа 2-го рода

Обобщенные координаты и обобщенные скорости . Любые независимые между собой параметры, однозначно определяющие положение механической системы в пространстве, называют обобщенными координатами . Эти координаты, обозначаемые q 1 ,....q i , могут иметь любую размерность. В частности, обобщенные координаты могут быть перемещениями или углами поворота.

Для рассматриваемых систем число обобщенных координат равно числу степеней свободы. Положение каждой точки системы является однозначной функцией обобщенных координат

Таким образом, движение системы в обобщенных координатах определяется следующими зависимостями:

Первые производные от обобщенных координат называют обобщенными скоростями :
.

Обобщенные силы. Выражение для элементарной работы силы на возможном перемещении
имеет вид:

Для элементарной работы системы сил запишем

Используя полученные зависимости, это выражение можно записать в виде:

где обобщенная сила, соответствующая i -й обобщенной координате,

. (3.49)

Таким образом, обобщенной силой, соответствующей i -й обобщенной координате, является коэффициент при вариации этой координаты в выражении суммы элементарных работ активных сил на возможном перемещении системы. Для вычисления обобщенной силы необходимо сообщить системе возможное перемещение, при котором изменяется только обобщенная координата q i . Коэффициент при
и будет искомой обобщенной силой.

Уравнения движения системы в обобщенных координатах . Пусть дана механическая система с s степенями свободы. Зная действующие на нее силы, необходимо, составить дифференциальные уравнения движения в обобщенных координатах
. Применим процедуру составления дифференциальных уравнений движения системы – уравнений Лагранжа 2-го рода – по аналогии вывода этих уравнений для свободной материальной точки. Исходя из 2-го закона Ньютона, запишем

Получим аналог этим уравнениям, используя запись для кинетической энергии материальной точки,

Частная производная от кинетической энергии по проекции скорости на ось
равна проекции количества движения на эту ось, т.е.

Чтобы получить необходимые уравнения, вычислим производные по времени:

Полученная система уравнений является уравнениями Лагранжа 2-го рода для материальной точки.

Для механической системы уравнения Лагранжа 2-го рода представим в виде уравнений, в которых вместо проекций активных сил P x , P y , P z используют обобщенные силы Q 1 , Q 2 ,...,Q i и учитывают в общем случае зависимость кинетической энергии от обобщенных координат.

Уравнения Лагранжа 2-го рода для механической системы имеют вид:

. (3.50)

Их можно использовать для изучения движения любой механической системы с геометрическими, идеальными и удерживающими связями.

Пример 3 . Для механической системы (рис. 3.5), данные для которой приведены в предыдущем примере, составить дифференциальное уравнение движения, используя уравнение Лагранжа 2-го рода,

Решение

Механическая система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату примем линейное перемещение груза q 1 = s ; обобщенная скорость – . С учетом этого запишем уравнение Лагранжа 2-го рода

Составим выражение для кинетической энергии системы

Выразим все угловые и линейные скорости через обобщенную скорость:

Теперь получим

Вычислим обобщенную силу, составив выражение элементарной работы на возможном перемещении s всех действующих сил. Без учета сил трения работу в системе производит только сила тяжести груза 1
Запишем обобщенную силу при s , как коэффициент в элементарной работе Q 1 = 5mg . Далее найдем

Окончательно дифференциальное уравнение движения системы будет иметь вид:

Принцип Даламбера применяется при решении первой основной задачи динамики несвободной точки, когда известны движение точки и действующие на неё активные силы, а отыскивается возникающая реакция связи.

Запишем основное уравнение динамики несвободной точки в инерциальной системе отсчёта:

Перепишем уравнение в виде:

Обозначив , получим

, (11.27)

где вектор называется Даламберовой силой инерции .

Формулировка принципа: В каждый момент движения несвободной материальной точки активная сила и реакция связи уравновешиваются Даламберовой силой инерции .

Проектируя векторное уравнение (11.27) на какие-либо координатные оси, мы получим соответствующие уравнения равновесия, пользуясь которыми можно находить неизвестные реакции.

Спроектируем уравнение (11.27) на естественные оси:

(11.28)

где называется центробежной силой инерции, всегда направленной в отрицательную сторону главной нормали; .

Замечания:

1). В действительности к точке помимо сил и каких-либо других физических сил не приложено и три силы не составляют уравновешенную систему сил. В этом смысле Даламберова сила инерции является фиктивной силой, условно прикладываемой к точке.

2). Принцип Даламбера следует рассматривать как удобный методический прием, позволяющий задачу динамики свести к задаче статики.

Пример 1. Определим реакцию связи, действующую на лётчика при выходе самолёта, движущегося в вертикальной плоскости, из пикирующего полёта (рис.11.5).

На лётчика действует сила тяжести и реакция сидения . Применим принцип Даламбера, присоединив к этим силам Даламберову силу инерции:

(11.29)

Запишем уравнение (11.29) в проекциях на нормаль :

(11.30)

где r - радиус окружности при выходе самолёта на горизонтальный полёт,

Максимальная скорость самолёта в этот момент.

Из уравнения (11.30)

(11.31)

Пример 2. Определим теперь ту же реакцию, действующую на лётчика в момент выхода из режима набора высоты (рис.11.6).

Относительное движение материальной точки

Если системы отсчета движутся относительно инерциальной системы отсчета не поступательно, либо неравномерно или криволинейно движутся начала их координат, то такие системы отсчета являются неинерциальными . В этих системах отсчета аксиомы А 1 и А 2 не соблюдаются, но из этого не следует, что в динамике исследуются лишь движения, происходящие в инерциальных системах отсчета. Рассмотрим движение материальной точки в неинерциальной системе координат, если известны силы, действующие на материальную точку, и задано движение неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной системы отсчета. В дальнейшем инерциальная система отсчета будет называться неподвижной, а неинерциальная – подвижной системой отсчета. Пусть - равнодействующая активных сил, действующих на точку, а - равнодействующая реакции связей; - неподвижная система координат; - подвижная система координат.

Рассмотрим движение материальной точки М (рис. 11.7), не связанной жестко с подвижной системой координат, а движущейся по отношению к ней. Это движение точки в кинематике называли относительным, движение точки относительно неподвижной системы координат – абсолютным, движение подвижной системы координат – переносным.

Основной закон динамики для абсолютного движения точки М будет иметь вид

(11.33)

где - абсолютное ускорение точки.

На основании теоремы сложения ускорений кинематики (теоремы Кориолиса) абсолютное ускорение складывается из относительного, переносного и кориолисова ускорений

. (11.34)

Подставляя (11.34) в (11.33), получим

и после переноса и ввода обозначений

(11.35)

где ; вектор называют переносной силой инерции; - кориолисовой силой инерции.

Равенство (11.35) выражает закон относительного движения точки. Следовательно, движение точки в неинерциальной системе отсчета можно рассматривать как движение в инерциальной системе, если к числу действующих на точку активных сил и реакций связей добавить переносную и кориолисову силы инерции.

Первоначально идея этого принципа была высказана Яковом Бернулли (1654-1705) при рассмотрении задачи о центре колебаний тел произвольной формы. В 1716 г. петербургский академик Я. Герман (1678 - 1733) выдвинул принцип статической эквивалентности «свободных» движений и «фактических» движений, т. е. движений, осуществляемых при наличии связей. Позже этот принцип был применен Л. Эйлером (1707- 1783) к задаче о колебаниях гибких тел (работа была опубликована в 1740 г.) и получил название «петер-бурского принципа». Однако первым, кто сформулировал рассматриваемый принцип в общем виде, хотя и не дал ему надлежащего аналитического выражения, был Даламбер (1717-1783). В своей «Динамике» вышедшей в 1743 г., он указал общий метод подхода к решению задач динамики несвободных систем. Аналитическое выражение этого принципа было дано позднее Лагранжем в его «Аналитической механике».

Рассмотрим некоторую несвободную механическую систему. Обозначим равнодействующую всех активных сил, действующих на какую-либо точку системы, через а равнодействующую реакций связей - через Тогда уравнение движения точки будет иметь вид

где - вектор ускорения точки, а масса этой точки.

Если ввести в рассмотрение силу называемую даламберовой силой инерциито уравнение движения (2.9) можно переписать в форме уравнения равновесия трех сил:

Уравнение (2.10) составляет существо принципа Даламбера для точки, а это же уравнение, распространенное на систему, - существо принципа Даламбера для системы.

Уравнение движения, написанное в форме (2.10), позволяет дать принципу Даламбера следующую формулировку: если систему находящуюся в движении, в какой-либо момент времени мгновенно остановить и к каждой материальной точке этой системы приложить действовавшие на нее в момент остановки активные силы реакции связей и даламберовы силы инерции то система останется в равновесии.

Принцип Даламбера представляет собой удобный методический прием решения динамических задач, так как позволяет уравнения движения несвободных систем написать в форме уравнений статики.

Этим самым, конечно, задача динамики не сводится к задаче статики, так как задача интегрирования уравнений движения по-прежнему сохраняется, но принцип Даламбера дает единый метод составления уравнений движения несвободных систем, и в этом его главное преимущество.

Если иметь в виду, что реакции представляют собой действие связей на точки системы, то принципу Даламбера можно дать и такую формулировку: если к активным силам действующим на точки несвободной системы, присоединить даламберовы силы инерции то результирующие этих сил уравновесятся реакциями связей. Следует подчеркнуть условность этой формулировки, так как в действительности

при движении системы никакого уравновешивания нет, поскольку силы инерции к точкам системы не приложены.

Наконец, принципу Даламбера можно дать еще одну эквивалентную формулировку, для чего уравнение (2.9) перепишем в такой форме: