Какую физическую величину называют импульсом. Что такое импульс
Темы кодификатора ЕГЭ: импульс тела, импульс системы тел, закон сохранения импульса.
Импульс тела - это векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость:
Специальных единиц измерения импульса нет. Размерность импульса - это просто произведение размерности массы на размерность скорости:
Почему понятие импульса является интересным? Оказывается, с его помощью можно придать второму закону Ньютона несколько иную, также чрезвычайно полезную форму.
Второй закон Ньютона в импульсной форме
Пусть - равнодействующая сил, приложенных к телу массы . Начинаем с обычной записи второго закона Ньютона:
С учётом того, что ускорение тела равно производной вектора скорости, второй закон Ньютона переписывается следующим образом:
Вносим константу под знак производной:
Как видим, в левой части получилась производная импульса:
. ( 1 )
Соотношение ( 1 ) и есть новая форма записи второго закона Ньютона.
Второй закон Ньютона в импульсной форме. Производная импульса тела есть равнодействующая приложенных к телу сил.
Можно сказать и так: результирующая сила, действующая на тело, равна скорости изменения импульса тела.
Производную в формуле ( 1 ) можно заменить на отношение конечных приращений:
. ( 2 )
В этом случае есть средняя сила, действующая на тело в течение интервала времени . Чем меньше величина , тем ближе отношение к производной , и тем ближе средняя сила к своему мгновенному значению в данный момент времени.
В задачах, как правило, интервал времени достаточно мал. Например, это может быть время соударения мяча со стенкой, и тогда - средняя сила, действующая на мяч со стороны стенки во время удара.
Вектор в левой части соотношения ( 2 ) называется изменением импульса за время . Изменение импульса - это разность конечного и начального векторов импульса. А именно, если - импульс тела в некоторый начальный момент времени, - импульс тела спустя промежуток времени , то изменение импульса есть разность:
Подчеркнём ещё раз, что изменение импульса - это разность векторов (рис. 1 ):
Пусть, например, мяч летит перпендикулярно стенке (импульс перед ударом равен ) и отскакивает назад без потери скорости (импульс после удара равен ). Несмотря на то, что импульс по модулю не изменился (), изменение импульса имеется:
Геометрически эта ситуация показана на рис. 2 :
Модуль изменения импульса, как видим, равен удвоенному модулю начального импульса мяча: .
Перепишем формулу ( 2 ) следующим образом:
, ( 3 )
или, расписывая изменение импульса, как и выше:
Величина называется импульсом силы. Специальной единицы измерения для импульса силы нет; размерность импульса силы равна просто произведению размерностей силы и времени:
(Обратите внимание, что оказывается ещё одной возможной единицей измерения импульса тела.)
Словесная формулировка равенства ( 3 ) такова: изменение импульса тела равно импульсу действующей на тело силы за данный промежуток времени. Это, разумеется, снова есть второй закон Ньютона в импульсной форме.
Пример вычисления силы
В качестве примера применения второго закона Ньютона в импульсной форме давайте рассмотрим следующую задачу.
Задача.
Шарик массы г, летящий горизонтально со скоростью м/с, ударяется о гладкую вертикальную стену и отскакивает от неё без потери скорости. Угол падения шарика (то есть угол между направлением движения шарика и перпендикуляром к стене) равен . Удар длится с. Найти среднюю силу,
действующую на шарик во время удара.
Решение. Покажем прежде всего, что угол отражения равен углу падения, то есть шарик отскочит от стены под тем же углом (рис. 3 ).
Согласно ( 3 ) имеем: . Отсюда следует, что вектор изменения импульса сонаправлен с вектором , то есть направлен перпендикулярно стене в сторону отскока шарика (рис. 5 ).
 |
| Рис. 5. К задаче |
Векторы и
равны по модулю
(так как скорость шарика не изменилась). Поэтому треугольник, составленный из векторов , и , является равнобедренным. Значит, угол между векторами и равен , то есть угол отражения действительно равен углу падения.
Теперь заметим вдобавок, что в нашем равнобедренном треугольнике есть угол (это угол падения); стало быть, данный треугольник - равносторонний. Отсюда:
И тогда искомая средняя сила, действующая на шарик:
Импульс системы тел
Начнём с простой ситуации системы двух тел. А именно, пусть имеются тело 1 и тело 2 с импульсами и соответственно. Импульс системы данных тел - это векторная сумма импульсов каждого тела:
Оказывается, для импульса системы тел имеется формула, аналогичная второму закону Ньютона в виде ( 1 ). Давайте выведем эту формулу.
Все остальные объекты, с которыми взаимодействуют рассматриваемые нами тела 1 и 2, мы будем называть внешними телами. Силы, с которыми внешние тела действуют на тела 1 и 2, называем внешними силами. Пусть - результирующая внешняя сила, действующая на тело 1. Аналогично - результирующая внешняя сила, действующая на тело 2 (рис. 6 ).
Кроме того, тела 1 и 2 могут взаимодействовать друг с другом. Пусть тело 2 действует на тело 1 с силой . Тогда тело 1 действует на тело 2 с силой . По третьему закону Ньютона силы и равны по модулю и противоположны по направлению: . Силы и - это внутренние силы, действующие в системе.
Запишем для каждого тела 1 и 2 второй закон Ньютона в форме ( 1 ):
, ( 4 )
. ( 5 )
Сложим равенства ( 4 ) и ( 5 ):
В левой части полученного равенства стоит сумма производных, равная производной суммы векторов и . В правой части имеем в силу третьего закона Ньютона:
Но - это импульс системы тел 1 и 2. Обозначим также - это результирующая внешних сил, действующих на систему. Получаем:
. ( 6 )
Таким образом, скорость изменения импульса системы тел есть равнодействующая внешних сил, приложенных к системе. Равенство ( 6 ), играющее роль второго закона Ньютона для системы тел, мы и хотели получить.
Формула ( 6 ) была выведена для случая двух тел. Теперь обобщим наши рассуждения на случай произвольного количества тел в системе.
Импульсом системы тел тел называется векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему. Если система состоит из тел, то импульс этой системы равен:
Дальше всё делается совершенно так же, как и выше (только технически это выглядит несколько сложнее). Если для каждого тела записать равенства, аналогичные ( 4 ) и ( 5 ), а затем все эти равенства сложить, то в левой части мы снова получим производную импульса системы, а в правой части останется лишь сумма внешних сил (внутренние силы, попарно складываясь, дадут нуль ввиду третьего закона Ньютона). Поэтому равенство ( 6 ) останется справедливым и в общем случае.
Закон сохранения импульса
Система тел называется замкнутой, если действия внешних тел на тела данной системы или пренебрежимо малы, или компенсируют друг друга. Таким образом, в случае замкнутой системы тел существенно лишь взаимодействие этих тел друг с другом, но не с какими-либо другими телами.
Равнодействующая внешних сил, приложенных к замкнутой системе, равна нулю: . В этом случае из ( 6 ) получаем:
Но если производная вектора обращается в нуль (скорость изменения вектора равна нулю), то сам вектор не меняется со временем:
Закон сохранения импульса. Импульс замкнутой системы тел остаётся постоянным с течением времени при любых взаимодействиях тел внутри данной системы.
Простейшие задачи на закон сохранения импульса решаются по стандартной схеме, которую мы сейчас покажем.
Задача. Тело массы г движется со скоростью м/с по гладкой горизонтальной поверхности. Навстречу ему движется тело массы г со скоростью м/с. Происходит абсолютно неупругий удар (тела слипаются). Найти скорость тел после удара.
Решение. Ситуация изображена на рис. 7 . Ось направим в сторону движения первого тела.
 |
| Рис. 7. К задаче |
Поскольку поверхность гладкая, трения нет. Поскольку поверхность горизонтальная, а движение происходит вдоль неё, сила тяжести и реакция опоры уравновешивают друг друга:
Таким образом, векторная сумма сил, приложенных к системе данных тел, равна нулю. Это значит, что система тел замкнута. Стало быть, для неё выполняется закон сохранения импульса:
. ( 7 )
Импульс системы до удара - это сумма импульсов тел:
После неупругого удара получилось одно тело массы , которое движется с искомой скоростью :
Из закона сохранения импульса ( 7 ) имеем:
Отсюда находим скорость тела, образовавшегося после удара:
Переходим к проекциям на ось :
По условию имеем: м/с, м/с, так что
Знак минус указывает на то, что слипшиеся тела двигаются в сторону, противоположную оси . Искомая скорость: м/с.
Закон сохранения проекции импульса
Часто в задачах встречается следующая ситуация. Система тел не является замкнутой (векторная сумма внешних сил, действующих на систему, не равна нулю), но существует такая ось , сумма проекций внешних сил на ось равна нулю в любой момент времени. Тогда можно сказать, что вдоль данной оси наша система тел ведёт себя как замкнутая, и проекция импульса системы на ось сохраняется.
Покажем это более строго. Спроектируем равенство ( 6 ) на ось :
Если проекция равнодействующей внешних сил обращается в нуль, , то
Следовательно, проекция есть константа:
Закон сохранения проекции импульса. Если проекция на ось суммы внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то проекция импульса системы не меняется с течением времени.
Давайте посмотрим на примере конкретной задачи, как работает закон сохранения проекции импульса.
Задача. Мальчик массы , стоящий на коньках на гладком льду, бросает камень массы со скоростью под углом к горизонту. Найти скорость , с которой мальчик откатывается назад после броска.
Решение. Ситуация схематически показана на рис. 8 . Мальчик изображён прямогольником.
 |
| Рис. 8. К задаче |
Импульс системы «мальчик + камень» не сохраняется. Это видно хотя бы из того, что после броска появляется вертикальная составляющая импульса системы (а именно, вертикальная составляющая импульса камня), которой до броска не было.
Стало быть, система, которую образуют мальчик и камень, не замкнута. Почему? Дело в том, что векторная сумма внешних сил не равна нулю во время броска. Величина больше, чем сумма , и за счёт этого превышения как раз и появляется вертикальная компонента импульса системы.
Однако внешние силы действуют только по вертикали (трения нет). Стало быть, сохраняется проекция импульса на горизонтальную ось . До броска эта проекция была равна нулю. Направляя ось в сторону броска (так что мальчик поехал в направлении отрицательной полуоси), получим.
Импульс... Понятие, довольно часто используемое в физике. Что понимают под этим термином? Если задать этот вопрос простому обывателю, в большинстве случаев мы получим ответ, что импульс тела - это определенное воздействие (толчок или удар), оказываемое на тело, благодаря чему оно получает возможность двигаться в заданном направлении. В целом довольно верное объяснение.
Импульс тела - определение, с которым мы впервые сталкиваемся в школе: на уроке физики нам показывали, как по наклонной поверхности скатывалась небольшая тележка и сталкивала со стола металлический шарик. Именно тогда мы рассуждали, что может оказать влияние на силу и длительность этого Из подобных наблюдений и умозаключений много лет назад и родилось понятие импульса тела как характеристики движения, напрямую зависящей от скорости и массы объекта.
Сам термин в науку ввел француз Рене Декарт. Произошло это в начале XVII века. Ученый объяснял импульс тела не иначе как «количество движения». Как говорил сам Декарт, если одно движущееся тело сталкивается с другим, оно теряет столько своей энергии, сколько отдает другому объекту. Потенциал тела, по мнению физика, никуда не исчезал, а лишь передавался от одного предмета другому.
Основной характеристикой, которой обладает импульс тела, является его направленность. Иначе говоря, он представляет собой Отсюда следует и такое утверждение, что всякое тело, находящееся в движении, обладает определенным импульсом.
Формула воздействия одного объекта на другой: p = mv, где v - скорость тела (векторная величина), m - масса тела.
Однако импульс тела - не единственная величина, определяющая движение. Почему одни тела, в отличие от других, не теряют его продолжительное время?
Ответом на этот вопрос стало появление еще одного понятия - импульса силы, который определяет величину и продолжительность воздействия на предмет. Именно он позволяет нам определять, как изменяется импульс тела за определенный промежуток времени. Импульс силы представляет собой произведение величины воздействия (собственно силы) на продолжительность его приложения (время).
Одним из наиболее примечательных особенностей ИТ является его сохранение в неизменном виде при условии замкнутой системы. Иначе говоря, при отсутствии иных воздействий на два предмета, импульс тела между ними будет оставаться стабильным сколько угодно долго. Принцип сохранения можно учитывать и в ситуации, когда внешнее воздействие на объект присутствует, но его векторное воздействие равно 0. Также импульс не изменится и в том случае, когда воздействие этих сил незначительно или действует на тело весьма непродолжительный период времени (как, например, при выстреле).
Именно этот закон сохранения не одну сотню лет не дает покоя изобретателям, ломающим голову над созданием пресловутого «вечного двигателя», так как именно он лежит в основе такого понятия, как
Что касается применения знаний о таком явлении, как импульс тела, то их используют при разработке ракет, вооружения и новых, пусть и не вечных, механизмов.
Импульс - это одна из самых фундаментальных характеристик физической системы. Импульс замкнутой системы сохраняется при любых происходящих в ней процессах.
Знакомство с этой величиной начнем с простейшего случая. Импульсом материальной точки массы движущейся со скоростью называется произведение
Закон изменения импульса. Из этого определения можно с помощью второго закона Ньютона найти закон изменения импульса частицы в результате действия на нее некоторой силы Изменяя скорость частицы, сила изменяет и ее импульс: . В случае постоянной действующей силы поэтому
Скорость изменения импульса материальной точки равна равнодействующей всех действующих на нее сил. При постоянной силе промежуток времени в (2) может быть взят любым. Поэтому для изменения импульса частицы за этот промежуток справедливо
В случае изменяющейся со временем силы весь промежуток времени следует разбить на малые промежутки в течение каждого из которых силу можно считать постоянной. Изменение импульса частицы за отдельный промежуток вычисляется по формуле (3):
Полное изменение импульса за весь рассматриваемый промежуток времени равно векторной сумме изменений импульса за все промежутки
Если воспользоваться понятием производной, то вместо (2), очевидно, закон изменения импульса частицы записывается как
Импульс силы. Изменение импульса за конечный промежуток времени от 0 до выражается интегралом
Величина, стоящая в правой части (3) или (5), называется импульсом силы. Таким образом, изменение импульса Др материальной точки за промежуток времени равно импульсу силы, действовавшей на него в течение этого промежутка времени.
Равенства (2) и (4) представляют собой в сущности другую формулировку второго закона Ньютона. Именно в таком виде этот закон и был сформулирован самим Ньютоном.
Физический смысл понятия импульса тесно связан с имеющимся у каждого из нас интуитивным или почерпнутым из повседневного опыта представлением о том, легко ли остановить движущееся тело. Значение здесь имеют не скорость или масса останавливаемого тела, а то и другое вместе, т. е. именно его импульс.
Импульс системы. Понятие импульса становится особенно содержательным, когда оно применяется к системе взаимодействующих материальных точек. Полным импульсом Р системы частиц называется векторная сумма импульсов отдельных частиц в один и тот же момент времени:
Здесь суммирование выполняется по всем входящим в систему частицам, так что число слагаемых равно числу частиц системы.
Внутренние и внешние силы. К закону сохранения импульса системы взаимодействующих частиц легко прийти непосредственно из второго и третьего законов Ньютона. Силы, действующие на каждую из входящих в систему частиц, разобьем на две группы: внутренние и внешние. Внутренняя сила - это сила, с которой частица действует на Внешняя сила - это сила, с которой действуют на частицу все тела, не входящие в состав рассматриваемой системы.
Закон изменения импульса частицы в соответствии с (2) или (4) имеет вид
Сложим почленно уравнения (7) для всех частиц системы. Тогда в левой части, как следует из (6), получим скорость изменения
полного импульса системы Поскольку внутренние силы взаимодействия между частицами удовлетворяют третьему закону Ньютона:
то при сложении уравнений (7) в правой части, где внутренние силы встречаются только парами их сумма обратится в нуль. В результате получим
Скорость изменения полного импульса равна сумме внешних сил, действующих на все частицы.
Обратим внимание на то, что равенство (9) имеет такой же вид, как и закон изменения импульса одной материальной точки, причем в правую часть входят только внешние силы. В замкнутой системе, где внешние силы отсутствуют, полный импульс Р системы не изменяется независимо от того, какие внутренние силы действуют между частицами.
Полный импульс не меняется и в том случае, когда действующие на систему внешние силы в сумме равны нулю. Может оказаться, что сумма внешних сил равна нулю только вдоль какого-то направления. Хотя физическая система в этом случае и не является замкнутой, составляющая полного импульса вдоль этого направления, как следует из формулы (9), остается неизменной.
Уравнение (9) характеризует систему материальных точек в целом, но относится к определенному моменту времени. Из него легко получить закон изменения импульса системы за конечный промежуток времени Если действующие внешние силы неизменны в течение этого промежутка, то из (9) следует
Если внешние силы изменяются со временем, то в правой части (10) будет стоять сумма интегралов по времени от каждой из внешних сил:
Таким образом, изменение полного импульса системы взаимодействующих частиц за некоторый промежуток времени равно векторной сумме импульсов внешних сил за этот промежуток.
Сравнение с динамическим подходом. Сравним подходы к решению механических задач на основе уравнений динамики и на основе закона сохранения импульса на следующем простом примере.
щенный с сортировочной горки железнодорожный вагон массы движущийся с постоянной скоростью сталкивается с неподвижным вагоном массы и сцепляется с ним. С какой скоростью движутся сцепленные вагоны?
Нам ничего не известно о силах, с которыми взаимодействуют вагоны во время столкновения, кроме того факта, что на основании третьего закона Ньютона они в каждый момент равны по модулю и противоположны по направлению. При динамическом подходе необходимо задаваться какой-то моделью взаимодействия вагонов. Простейшее возможное предположение - что силы взаимодействия постоянны в течение всего времени, пока происходит сцепка. В таком случае с помощью второго закона Ньютона для скоростей каждого из вагонов спустя время после начала сцепки можно написать
Очевидно, что процесс сцепки заканчивается, когда скорости вагонов становятся одинаковыми. Предположив, что это произойдет спустя время х, имеем
Отсюда можно выразить импульс силы
Подставляя это значение в любую из формул (11), например во вторую, находим выражение для конечной скорости вагонов:
Конечно, сделанное предположение о постоянстве силы взаимодействия вагонов в процессе их сцепки весьма искусственно. Использование более реалистичных моделей приводит к более громоздким расчетам. Однако в действительности результат для конечной скорости вагонов не зависит от картины взаимодействия (разумеется, при условии, что в конце процесса вагоны сцепились и движутся с одной и той же скоростью). Проще всего в этом убедиться, используя закон сохранения импульса.
Поскольку никакие внешние силы в горизонтальном направлении на вагоны не действуют, полный импульс системы остается неизменным. До столкновения он равен импульсу первого вагона После сцепки импульс вагонов равен Приравнивая эти значения, сразу находим
что, естественно, совпадает с ответом, полученным на основе динамического подхода. Использование закона сохранения импульса позволило найти ответ на поставленный вопрос с помощью менее громоздких математических выкладок, причем этот ответ обладает большей общностью, так как при его получении не использовалась какая бы то ни было конкретная модель взаимодействия.
Проиллюстрируем применение закона сохранения импульса системы на примере более сложной задачи, где уже выбор модели для динамического решения затруднителен.
Задача
Разрыв снаряда. Снаряд разрывается в верхней точке траектории, находящейся на высоте над поверхностью земли, на два одинаковых осколка. Один из них падает на землю точно под точкой разрыва спустя время Во сколько раз изменится расстояние от этой точки по горизонтали, на которое улетит второй осколок, по сравнению с расстоянием, на котором упал бы неразорвавшийся снаряд?
Решение, Прежде всего напишем выражение для расстояния на которое улетел бы неразорвавшийся снаряд. Так как скорость снаряда в верхней точке (обозначим ее через направлена горизонтально, то расстояние равно произведению и на время падения с высоты без начальной скорости, равное на которое улетел бы неразорвавшийся снаряд. Так как скорость снаряда в верхней точке (обозначим ее через направлена горизонтально, то расстояние равно произведению на время падения с высоты без начальной скорости, равное тела, рассматриваемого как система материальных точек:
Разрыв снаряда на осколки происходит почти мгновенно, т. е. разрывающие его внутренние силы действуют в течение очень короткого промежутка времени. Очевидно, что изменением скорости осколков под действием силы тяжести за столь короткий промежуток времени можно пренебречь по сравнению с изменением их скорости под действием этих внутренних сил. Поэтому, хотя рассматриваемая система, строго говоря, не является замкнутой, можно считать, что ее полный импульс при разрыве снаряда остается неизменным.
Из закона сохранения импульса можно сразу выявить некоторые особенности движения осколков. Импульс - векторная величина. До разрыва он лежал в плоскости траектории снаряда. Поскольку, как сказано в условии, скорость одного из осколков вертикальна, т. е. его импульс остался в той же плоскости, то и импульс второго осколка также лежит в этой плоскости. Значит, и траектория второго осколка останется в той же плоскости.
Далее из закона сохранения горизонтальной составляющей полного импульса следует, что горизонтальная составляющая скорости второго осколка равна ибо его масса равна половине массы снаряда, а горизонтальная составляющая импульса первого осколка по условию равна нулю. Поэтому горизонтальная дальность полета второго осколка от
места разрыва равна произведению на время его полета. Как найти это время?
Для этого вспомним, что вертикальные составляющие импульсов (а следовательно, и скоростей) осколков должны быть равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Время полета интересующего нас второго осколка зависит, очевидно, от того, вверх или вниз направлена вертикальная составляющая его скорости в момент разрыва снаряда (рис. 108).
Рис. 108. Траектория осколков после разрыва снаряда
Это легко выяснить, сравнив данное в условии время отвесного падения первого осколка с временем свободного падения с высоты А. Если то начальная скорость первого осколка направлена вниз, а вертикальная составляющая скорости второго - вверх, и наоборот (случаи а и на рис. 108). Под углом а к вертикали в ящик влетает пуля со скоростью и и почти мгновенно застревает в песке. Ящик приходит в движение, а затем останавливается. Сколько времени продолжалось движение ящика? Отношение массы пули к массе ящика равно у. При каких условиях ящик вообще не сдвинется?
2. При радиоактивном распаде покоившегося первоначально нейтрона образуются протон, электрон и антинейтрино. Импульсы протона и электрона равны а угол между ними а. Определите импульс антинейтрино.
Что называется импульсом одной частицы и импульсом системы материальных точек?
Сформулируйте закон изменения импульса одной частицы и системы материальных точек.
Рис. 109. К определению импульса силы из графика
Почему внутренние силы не входят явно в закон изменения импульса системы?
В каких случаях законом сохранения импульса системы можно пользоваться и при наличии внешних сил?
Какие преимущества дает использование закона сохранения импульса по сравнению с динамическим подходом?
Когда на тело действует переменная сила ее импульс определяется правой частью формулы (5) - интегралом от по промежутку времени, в течение которого она действует. Пусть нам дан график зависимости (рис. 109). Как по этому графику определить импульс силы для каждого из случаев а и
Импульс в физике
В переводе с латинского «импульс» означает «толчок». Эту физическую величину называют также «количеством движения». Она была введена в науку примерно в то же время, когда были открыты законы Ньютона (в конце XVII века).
Разделом физики, изучающим движение и взаимодействие материальных тел, является механика. Импульс в механике – это векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: p=mv. Направления векторов импульса и скорости всегда совпадают.
В системе СИ за единицу импульса принимают импульс тела массой 1 кг, которое движется со скоростью 1 м/с. Поэтому единица импульса в СИ – это 1 кг∙м/с.
В расчетных задачах рассматривают проекции векторов скорости и импульса на какую-либо ось и используют уравнения для этих проекций: к примеру, если выбрана ось x, тогда рассматривают проекции v(x) и p(x). По определению импульса, эти величины связаны соотношением: p(x)=mv(x).
В зависимости от того, какая выбрана ось и куда она направлена, проекция вектора импульса на нее может быть как положительной, так и отрицательной величиной.
Закон сохранения импульса
Импульсы материальных тел при их физическом взаимодействии могут меняться. Например, при столкновении двух шариков, подвешенных на нитях, их импульсы взаимно изменяются: один шарик может прийти в движение из неподвижного состояния или увеличить свою скорость, а другой, наоборот, уменьшить скорость или остановиться. Однако в замкнутой системе, т.е. когда тела взаимодействуют только между собой и не подвергаются воздействию внешних сил, векторная сумма импульсов этих тел остается постоянной при любых их взаимодействиях и движениях. В этом заключается закон сохранения импульса. Математически его можно вывести из законов Ньютона.
Закон сохранения импульса применим также к таким системам, где какие-то внешние силы действуют на тела, но их векторная сумма равна нулю (например, сила тяжести уравновешивается силой упругости поверхности). Условно такую систему тоже можно считать замкнутой.
В математической форме закон сохранения импульса записывается так: p1+p2+…+p(n)=p1’+p2’+…+p(n)’ (импульсы p – векторы). Для системы из двух тел это уравнение выглядит как p1+p2=p1’+p2’, или m1v1+m2v2=m1v1’+m2v2’. К примеру, в рассмотренном случае с шариками суммарный импульс обоих шаров до взаимодействия будет равен суммарному импульсу после взаимодействия.
И́мпульс (Коли́честводвиже́ния ) - векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m этого тела на его скорость v , направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:
Импульс системы частиц есть векторная сумма импульсов ее отдельных частиц: p=(сумм)p i , где p i – импульс i-й частицы.
Теорема об изменении импульса системы : полный импульс системы можно изменить только действием внешних сил: Fвнеш=dp/dt(1), т.е. производная импульса системы по времени равна векторной сумме всехвнешних сил, действующих на частицы системы. Как и в случае одной частицы, из выражения (1) следует, что приращение импульса системы равно импульсу результирующей всех внешних сил за соответствующий промежуток времени:
p2-p1= t & 0 F внешн dt.
В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорости:
соответственно величина называется импульсом одной материальной точки. Это векторная величина, направленная в ту же сторону, что и скорость частицы. Единицей измерения импульса в Международной системе единиц (СИ) является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).
Если мы имеем дело с телом конечного размера, не состоящим из дискретных материальных точек, для определения его импульса необходимо разбить тело на малые части, которые можно считать материальными точками и просуммировать по ним, в результате получим:
Импульс системы, на которую не действуют никакие внешние силы (или они скомпенсированы), сохраняется во времени:
Сохранение импульса в этом случае следует из второго и третьего закона Ньютона: написав второй закон Ньютона для каждой из составляющих систему материальных точек и просуммировав по всем материальным точкам, составляющим систему, в силу третьего закона Ньютона получим равенство (*).
В релятивистской механике трёхмерным импульсом системы невзаимодействующих материальных точек называется величина
,
где m i - масса i -й материальной точки.
Для замкнутой системы не взаимодействующих материальных точек эта величина сохраняется. Однако трёхмерный импульс не есть релятивистски инвариантная величина, так как он зависит от системы отсчёта. Более осмысленной величиной будет четырёхмерный импульс, который для одной материальной точки определяется как
На практике часто применяются следующие соотношения между массой, импульсом и энергией частицы:
В принципе, для системы невзаимодействующих материальных точек их 4-импульсы суммируются. Однако для взаимодействующих частиц в релятивистской механике следует учитывать импульсы не только составляющих систему частиц, но и импульс поля взаимодействия между ними. Поэтому гораздо более осмысленной величиной в релятивистской механике является тензор энергии-импульса, который в полной мере удовлетворяет законам сохранения.
Свойства импульса
· Аддитивность. Это свойство означает, что импульс механической системы, состоящей из материальных точек, равен сумме импульсов всех материальных точек, входящих в систему.
· Инвариантность по отношению к повороту системы отсчета.
· Сохранение. Импульс не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея Свойства сохранения кинетической энергии, сохранения импульса и второго закона Ньютона достаточно, чтобы вывести математичекую формулу импульса.
Зако́нсохране́нияи́мпульса (Зако́нсохране́ния количества движения) - векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю.
В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил.
Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса связан, согласно теореме Нётер, с одной изфундаментальных симметрий, - однородностью пространства
Изменение импульса тела равно импульсу равнодействующей всех сил, действующих на тело. Это иная формулировка второго закона Ньютона
