Не является ни четной ни нечетной. Исследование функции

Скрыть Показать

Способы задания функции

Пусть функция задается формулой: y=2x^{2}-3 . Назначая любые значения независимой переменной x , можно вычислить, пользуясь данной формулой соответствующие значения зависимой переменной y . Например, если x=-0,5 , то, пользуясь формулой, получаем, что соответствующее значение y равно y=2 \cdot (-0,5)^{2}-3=-2,5 .

Взяв любое значение, принимаемое аргументом x в формуле y=2x^{2}-3 , можно вычислить только одно значение функции, которое ему соответствует. Функцию можно представить в виде таблицы:

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Пользуясь данной таблицей, можно разобрать, что для значения аргумента −1 будет соответствовать значение функции −3 ; а значению x=2 будет соответствовать y=0 и т.д. Также важно знать, что каждому значению аргумента в таблице соответствует лишь одно значение функции.

Еще функции возможно задать, используя графики. С помощью графика устанавливается какое значение функции соотносится с определенным значением x . Наиболее часто, это будет приближенное значение функции.

Четная и нечетная функция

Функция является четной функцией , когда f(-x)=f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно оси Oy .

Функция является нечетной функцией , когда f(-x)=-f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно начала координат O (0;0) .

Функция является ни четной , ни нечетной и называется функцией общего вида , когда она не обладает симметрией относительно оси или начала координат.

Исследуем на четность нижеприведенную функцию:

f(x)=3x^{3}-7x^{7}

D(f)=(-\infty ; +\infty) с симметричной областью определения относительно начала координат. f(-x)= 3 \cdot (-x)^{3}-7 \cdot (-x)^{7}= -3x^{3}+7x^{7}= -(3x^{3}-7x^{7})= -f(x) .

Значит, функция f(x)=3x^{3}-7x^{7} является нечетной.

Периодическая функция

Функция y=f(x) , в области определения которой для любого x выполняется равенство f(x+T)=f(x-T)=f(x) , называется периодической функцией с периодом T \neq 0 .

Повторение графика функции на любом отрезке оси абсцисс, который имеет длину T .

Промежутки, где функция положительная, то есть f(x) > 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих выше оси абсцисс.

f(x) > 0 на (x_{1}; x_{2}) \cup (x_{3}; +\infty)

Промежутки, где функция отрицательная, то есть f(x) < 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x) < 0 на (-\infty; x_{1}) \cup (x_{2}; x_{3})

Ограниченность функции

Ограниченной снизу принято называть функцию y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число A , для которого выполняется неравенство f(x) \geq A для любого x \in X .

Пример ограниченной снизу функции: y=\sqrt{1+x^{2}} так как y=\sqrt{1+x^{2}} \geq 1 для любого x .

Ограниченной сверху называется функция y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число B , для которого выполняется неравенство f(x) \neq B для любого x \in X .

Пример ограниченной снизу функции: y=\sqrt{1-x^{2}}, x \in [-1;1] так как y=\sqrt{1+x^{2}} \neq 1 для любого x \in [-1;1] .

Ограниченной принято называть функцию y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число K > 0 , для которого выполняется неравенство \left | f(x) \right | \neq K для любого x \in X .

Пример ограниченной функции: y=\sin x ограничена на всей числовой оси, так как \left | \sin x \right | \neq 1 .

Возрастающая и убывающая функция

О функции, что возрастает на рассматриваемом промежутке принято говорить как о возрастающей функции тогда, когда большему значению x будет соответствовать большее значение функции y=f(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значения аргумента x_{1} и x_{2} , причем x_{1} > x_{2} , будет y(x_{1}) > y(x_{2}) .

Функция, что убывает на рассматриваемом промежутке, называется убывающей функцией тогда, когда большему значению x будет соответствовать меньшее значение функции y(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значений аргумента x_{1} и x_{2} , причем x_{1} > x_{2} , будет y(x_{1}) < y(x_{2}) .

Корнями функции принято называть точки, в которых функция F=y(x) пересекает ось абсцисс (они получаются в результате решения уравнения y(x)=0 ).

а) Если при x > 0 четная функция возрастает, то убывает она при x < 0

б) Когда при x > 0 четная функция убывает, то возрастает она при x < 0

в) Когда при x > 0 нечетная функция возрастает, то возрастает она и при x < 0

г) Когда нечетная функция будет убывать при x > 0 , то она будет убывать и при x < 0

Экстремумы функции

Точкой минимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0} , у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0} ), и для них тогда будет выполняться неравенство f(x) > f(x_{0}) . y_{min} - обозначение функции в точке min.

Точкой максимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0} , у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0} ), и для них тогда будет выполняется неравенство f(x) < f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Необходимое условие

Согласно теореме Ферма: f"(x)=0 тогда, когда у функции f(x) , что дифференцируема в точке x_{0} , появится экстремум в этой точке.

Достаточное условие

Когда у производной знак меняется с плюса на минус, то x_{0} будет точкой минимума;
x_{0} - будет точкой максимума только тогда, когда у производной меняется знак с минуса на плюс при переходе через стационарную точку x_{0} .

Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке

Шаги вычислений:

Ищется производная f"(x) ;
Находятся стационарные и критические точки функции и выбирают принадлежащие отрезку ;
Находятся значения функции f(x) в стационарных и критических точках и концах отрезка. Меньшее из полученных результатов будет являться наименьшим значением функции , а большее — наибольшим .

Функция - это одно из важнейших математических понятий. Функция - зависимость переменной у от переменной x , если каждому значению х соответствует единственное значение у . Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x ) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y ), образуют область значений функции.

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции, тоесть по оси абсцисс откладываются значения переменной x , а по оси ординат откладываются значения переменной y . Для построения графика функции необходимо знать свойства функции. Основные свойства функции будут рассмотрены далее!

Для построения графика функции советуем использовать нашу программу - Построение графиков функций онлайн. Если при изучении материала на данной странице у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме. Также на форуме Вам помогут решить задачи по математике, химии, геометрии, теории вероятности и многим другим предметам!

Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции .

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x ), при которых функция y = f(x) определена.
Область значений функции - это множество всех действительных значений y , которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции .

Значения х , при которых y=0 , называется нулями функции . Это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.

3) Промежутки знакопостоянства функции .

Промежутки знакопостоянства функции – такие промежутки значений x , на которых значения функции y либо только положительные, либо только отрицательные, называются промежутками знакопостоянства функции.

4) Монотонность функции .

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции .

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любогох из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Четная функция
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0), то есть если точка a принадлежит области определения, то точка -a также принадлежит области определения.
2) Для любого значения x f(-x)=f(x)
3) График четной функции симметричен относительно оси Оу.

Нечетная функция обладает следующими свойствами:
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0).
2) для любого значения x , принадлежащего области определения, выполняется равенство f(-x)=-f(x)
3) График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).

Не всякая функция является четной или нечетной. Функции общего вида не являются ни четными, ни нечетными.

6) Ограниченная и неограниченная функции .

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

7) Периодическость функции .

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

Функция f называется периодической, если существует такое число, что при любом x из области определения выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T) . T - это период функции.

Всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривают наименьший положительный период.

Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это используют при построении графиков.

Графики четной и нечетной функции обладают следующими особенностями:

Если функция является четной, то ее график симметричен относительно оси ординат. Если функция является нечетной, то ее график симметричен относительно начала координат.

Пример. Построить график функции $y=\left|x \right|$.

Решение. Рассмотрим функцию: $f\left(x \right)=\left|x \right|$ и подставим вместо $x $ противоположное $-x $. В результате не сложных преобразований получим: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ Другими словами, если аргумент заменить на противоположный по знаку, функция не изменится.

Значит эта функция - четная, а ее график будет симметричен относительно оси ординат (вертикальной оси). График этой функции приведен на рисунке слева. Это означает что при построении графика, можно строить только половину, а вторую часть (левее вертикальной оси рисовать уже симметрично правой части). Определив симметричность функции перед началом построения ее графика, можно намного упростить процесс построения или исследования функции. Если сложно выполнять проверку в общем виде, можно поступить проще: подставить в уравнение одинаковые значения разных знаков. Например -5 и 5. Если значения функции получатся одинаковыми, то можно надеяться что функция будет четной. С математической точки зрения такой подход не совсем правильный, но с практической - удобный. Чтобы увеличить достоверность результата можно подставить несколько пар таких противоположных значений.

Пример. Построить график функции $y=x\left|x \right|$.

Решение. Выполним проверку так же как в предыдущем примере: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right)$$ Это означает, что исходная функция является нечетной (знак функции поменялся на противоположный).

Вывод: функция симметрична относительно начала координат. Можно строить только одн половину, а вторую рисовать симметрично. Такую симметрию рисовать сложнее. Это означает, что вы смотрите на график с другой строны листа да еще и перевернув вверх ногами. А можно еще так: берем нарисованную часть и вращаем ее вокруг начала координат на 180 градусов против часовой стрелки.

Пример. Построить график функции $y=x^3+x^2$.

Решение. Выполним такую же проверку на смену знака, как и в предыдущих двух примерах. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ В результате получим, что: $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ А это означает, что функция не является ни четной, ни нечетной.

Вывод: функция не симметрична ни относительно начала координат ни относительно центра системы координат. Это произошло потому, что она представляет собой сумму двух функций: четной и не четной. Такая же ситуация будет если вычитать две разные функции. А вот умножение или деление приведет к другому результату. Например, произведение четной и нечетной функций дает нечетную. Или частное двух нечетных приводит к четной функции.

Зависимость переменной y от переменно x, при которой каждому значению х соответствует единственное значение y называется функцией. Для обозначения используют запись y=f(x). У каждой функции существует ряд основных свойств, таких как монотонность, четность, периодичность и другие.

Рассмотри подробнее свойство четности.

Функция y=f(x) называется четной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

2. Значение функции в точке х, принадлежащей области определения функции должно равняться значению функции в точке -х. То есть для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = f(-x).

График четной функции

Если построить график четной функции он будет симметричен относительно оси Оу.

Например, функция y=x^2 является четной. Проверим это. Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки О.

Возьмем произвольное х=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Следовательно, f(x) = f(-x). Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция четная. Ниже представлен график функции y=x^2.

На рисунке видно, что график симметричен относительно оси Оу.

График нечетной функции

Функция y=f(x) называется нечетной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = -f(x).

График нечетной функции симметричен относительно точки О - начала координат. Например, функция y=x^3 является нечетной. Проверим это. Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки О.

Возьмем произвольное х=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Следовательно, f(x) = -f(x). Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция нечетная. Ниже представлен график функции y=x^3.

На рисунке наглядно представлено, что нечетная функция y=x^3 симметрична относительно начала координат.

Исследование функции.

1) D(y) – Область опрделения: множество всех тех значений переменной х. при которых алгебраические выражения f(x) и g(x) имеют смысл.

Если функция задана формулой, то область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых формула имеет смысл.

2) Свойства функции: четность/нечетность, периодичность:

Нечётными и чётными называются функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента.

Нечётная функция - функция, меняющая значение на противоположное при изменении знака независимой переменной (симметричная относительно центра координат).

Чётная функция - функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимой переменной (симметричная относительно оси ординат).

Ни чётная ни нечётная функция (функция общего вида) - функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции, не подпадающие под предыдущие 2 категории.

Функции, не принадлежащие ни одной из категорий выше, называются ни чётными ни нечётными (или функциями общего вида).

Нечётные функции

Нечётная степень где - произвольное целое число.

Чётные функции

Чётная степень где - произвольное целое число.

Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.

3) Нули (корни) функции - точки, где она обращается в ноль.

Нахождение точки пересечения графика с осью Oy . Для этого нужно вычислить значение f (0). Найти также точки пересечения графика с осью Ox , для чего найти корни уравнения f (x ) = 0 (или убедиться в отсутствии корней).

Точки, в которых график пересекает ось , называют нулями функции . Чтобы найти нули функции нужно решить уравнение , то есть найти те значения «икс» , при которых функция обращается в ноль.

4) Промежутки постоянства знаков, знаки в них.

Промежутки, где функция f(x) сохраняет знак.

Интервал знакопостоянства – это интервал, в каждой точке которого функция положительна либо отрицательна.

ВЫШЕ оси абсцисс.

НИЖЕ оси .

5) Непрерывность (точки разрыва, характер разрыва, ассимптоты).

Непрерывная функция - функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

Устранимые точки разрыва

Если предел функции существует , но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:

то точка называется точкой устранимого разрыва функции (в комплексном анализе -устранимая особая точка).

Если «поправить» функцию в точке устранимого разрыва и положить , то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности , что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.

Точки разрыва первого и второго рода

Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов :

если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода . Точки устранимого разрыва являются точками разрыва первого рода;

если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода .

Аси́мпто́та - прямая , обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви вбесконечность.

Вертикальная

Вертикальная асимптота - прямая предела .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

Горизонтальная

Горизонтальная асимптота - прямая вида при условии существования предела

Наклонная

Наклонная асимптота - прямая вида при условии существования пределов

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот.

Замечание: если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует.

если в п. 2.), то , и предел находится по формуле горизонтальной асимптоты, .

6) Нахождение промежутков монотонности. Найти интервалы монотонности функции f (x )(то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной f (x ). Для этого находят производную f (x ) и решают неравенство f (x )0. На промежутках, где это неравенство выполнено, функция f (x )возрастает. Там, где выполнено обратное неравенство f (x )0, функция f (x )убывает.

Нахождение локального экстремума. Найдя интервалы монотонности, мы можем сразу определить точки локального экстремума там, где возрастание сменяется убыванием, располагаются локальные максимумы, а там, где убывание сменяется возрастанием - локальные минимумы. Вычислить значение функции в этих точках. Если функция имеет критические точки, не являющиеся точками локального экстремума, то полезно вычислить значение функции и в этих точках.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции y = f(x) на отрезке (продолжение)

1. Найти производную функции: f (x ).

2. Найти точки, в которых производная равна нулю: f (x )=0x 1, x 2 ,...

3. Определить принадлежность точек х 1 , х 2 , … отрезку [a ; b ]: пусть x 1a ;b , а x 2a ;b .