Объединение множеств. Задачи на пересечение и объединение множеств (Круги Эйлера)
В математике понятие множества является одним из основных, фундаментальным, однако единого определения множества не существует. Одним из наиболее устоявшихся определений множества является следующее: под множеством понимают любое собрание определённых и отличных друг от друга объектов, мыслимых как единое целое. Создатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) говорил так: "Множество есть многое, мыслимое нами как целое".
Множества как тип данных оказались очень удобными для программирования сложных жизненных ситуаций, так как с их помощью можно точно моделировать объекты реального мира и компактно отображать сложные логические взаимоотношения. Множества применяются в языке программирования Паскаль и один из примеров решения мы ниже разберём. Кроме того, на основе теории множества создана концепция реляционных баз данных, а на основе операций над множествами - реляционная алгебра и её операции - используемые в языках запросов к базам данных, в частности, SQL.
Пример 0 (Паскаль). Существует набор продуктов, продаваемых в нескольких магазинах города. Определить: какие продукты есть во всех магазинах города; полный набор продуктов в городе.
Решение. Определяем базовый тип данных Food (продукты), он может принимать значения, соответствующие названиями продуктов (например, hleb). Объявляем тип множества, он определяет все подмножества, составленные из комбинаций значений базового типа, то есть Food (продукты). И формируем подмножества: магазины "Солнышко", "Ветерок", "Огонёк", а также производные подмножества: MinFood (продукты, которые есть во всех магазинах), MaxFood (полный набор продуктов в городе). Далее прописываем операции для получения производных подмножеств. Подмножество MinFood получается в результате пересечения подмножеств Solnyshko, Veterok и Ogonyok и включает те и только те элементы этих подмножеств, которые включены в каждое их этих подмножеств (в Паскале операция пересечения множеств обозначается звёздочкой: A * B * C, математическое обозначение пересечения множеств дано далее). Подмножество MaxFood получается в результате объединения тех же подмножеств и включает элементы, которые включены во все подмножества (в Паскале операция объединения множеств обозначается знаком "плюс": A + B + C, математическое обозначение объединения множеств дано далее).
Код PASCAL
Program Shops; type Food=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, sahar, maslo, ryba); Shop = set of Food; var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: Shop; Begin Solnyshko:=; Veterok:=; Ogonyok:=; ... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok; MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; End.
Какие бывают множества
Объекты, составляющие множества - объекты нашей интуиции или интеллекта - могут быть самой различной природы. В примере в первом параграфе мы разобрали множества, включающие набор продуктов. Множества могут состоять, например, и из всех букв русского алфавита. В математике изучаются множества чисел, например, состоящие из всех:
Натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, ...
Простых чисел
Чётных целых чисел
и т.п. (основные числовые множества рассмотрены в этого материала).
Объекты, составляющие множество, называются его элементами. Можно сказать, что множество - это "мешок с элементами". Очень важно: в множестве не бывает одинаковых элементов.
Множества бывают конечными и бесконечными. Конечное множество - это множество, для которого существует натуральное число, являющееся числом его элементов. Например, множество первых пяти неотрицательных целых нечётных чисел является конечным множеством. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Например, множество всех натуральных чисел является бесконечным множеством.
Если M - множество, а a - его элемент, то пишут: a ∈M , что означает "a принадлежит множеству M ".
Из первого (нулевого) примера на Паскале с продуктами, которые есть в тех или иных магазинах:
hleb ∈VETEROK ,
что означает: элемент "hleb" принадлежит множеству продуктов, которые есть в магазине "VETEROK".
Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание.
Множество можно задать, перечислив все его элементы, например:
VETEROK = {hleb , syr , maslo } ,
A = {7 , 14 , 28 } .
Перечислением можно задать только конечное множество. Хотя можно сделать это и описанием. Но бесконечные множества можно задать только описанием.
Для описания множеств используется следующий способ. Пусть p (x ) - некоторое высказывание, которое описывает свойства переменной x , областью значений которых является множество M . Тогда через M = {x | p (x )} обозначаентся множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, для которых высказывание p (x ) истинно. Это выражение читается так: "Множество M , состоящее из всех таких x , что p (x ) ".
Например, запись
M = {x | x ² - 3x + 2 = 0}
Пример 6. Согласно опросу 100 покупателей рынка, купивших цитрусовые, апельсины купили 29 покупателей, лимоны - 30 покупателей, мандарины - 9, только мандарины - 1, апельсины и лимоны - 10, лимоны и мандарины - 4, все три вида фруктов - 3 покупателя. Сколько покупателей не купили ни одного вида перечисленных здесь цитрусовых? Сколько покупателей купили только лимоны?
Операция декартова произведения множеств
Для определения ещё одной важной операции над множествами - декартова произведения множеств введём понятие упорядоченного набора длины n .
Длиной набора называется число n
его компонент. Набор, составленный
из элементов ,
взятых именно в этом порядке, обозначается 
.
При этом i
я ()
компонента набора есть .
Сейчас последует строгое определение, которое, возможно, не сразу понятно, но после этого определения будет картинка, по которой станет понятно, как получить декартово произведение множеств.
Декартовым (прямым) произведением множеств
называется множество, обозначаемое 
и состоящее из всех тех и только тех наборов длины n
, i
-я компонента
которых принадлежит 
.
Например, если , , ,
- (сумма множеств) понятие теории множеств; объединение множеств множество, состоящее из всех тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из данных множеств. Объединение множеств А и В обозначают АUВ или А+В …
- (сумма множеств), понятие теории множеств; объединение множеств множество, состоящее из тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из данных множеств. Объединение множеств А и В обозначают А + В. * * * ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ… … Энциклопедический словарь
- (сумма множеств), понятие теории множеств; О. м. множество, состоящее из тех элементов, каждый из к рых принадлежит хотя бы одному из данных множеств. О. м. А и В обозначают A UB или А + В … Естествознание. Энциклопедический словарь
Объединение A и B Объединение множеств (тж. сумма или соединение) в теории множеств это множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств A и B обычно обозначается, но иногда можно встретить запись в виде… … Википедия
Раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. понятие множества простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество точек … Большой Энциклопедический словарь
Раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество… … Энциклопедический словарь
Математическая теория, изучающая точными средствами проблему бесконечности. Предмет М. л. свойства множеств (совокупностей, классов, ансамблей), гл. обр. бесконечных. Множество A есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов … Словарь терминов логики
Объединение: В Викисловаре есть статья «объединение» Объединение разновидность организации … Википедия
Теория множеств раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики. Содержание 1 Теория… … Википедия
Объединение многозначный термин, входит в состав сложных терминов. В Викисловаре есть статья «объединение» Объединение разновидность организаций. Объединение общее название крупных воинских формирований … Википедия
Книги
- Считаю до 20. Рабочая тетрадь для детей 6 - 7 лет. ФГОС ДО , Шевелев Константин Валерьевич. Рабочая тетрадь предназначена для работы с детьми 6 7 лет. Способствует достижению целей блока Познание путем формирования элементарных математических представлений. Даны методические…
Лекция 13: Операции над множествами. Упорядоченное множество
1. Объединение множеств
Объединение множеств X и Y — это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств X или Y, т.е. принадлежат X или принадлежат Y.
Объединение X и Y обозначается через X∪Y
Формально x∈X∪Y ⇔ x∈X или x∈Y
Пример 1. Если X={1,2,3,4,5} и Y={2,4,6,8}, то
X∪Y={1,2,3,4,5,6,7,8}
Пример 2. Если X={x:x — отл.гр.}, и Y={x:x — gib.}, то
X∪Y={x:x — или отл., или gib}.
Пример 3. Если X — множество точек левого круга и Y — множество точек правого круга, то
X∪Y — заштрихованная область, ограниченная обоими кругами.
Понятие объединения можно распространить и на большее число множеств, на систему множеств. Обозначим через М={X 1 ,X 2 , ...,X n } совокупность n множеств X 1 ,X 2 , ...,X n , называемую иногда системой множеств. Объединение этих множеств
∪X i =∪(X∈M), Х=X 1 ∪X 2 ∪...∪X n
представляет собой множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств данной системы М.
Для объединенных множеств справедливы:
- X∪Y = Y∪X — коммутативный закон
- (X∪Y)∪Z = X∪(Y∪Z) = X∪Y∪Z — ассоциативный закон,
справедливость которых вытекает из того, что левая и правая части равенств состоят из одних и тех же элементов.
Очевидно, что X∪∅ = X. Отсюда можно видеть, что ∅ играет роль нуля в алгебре множеств.
2. Пересечение множеств
Пересечение множеств X и Y — это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству X, так и множеству Y.
Пересечение множеств обозначается X∩Y.
Формально x∈X∩Y ⇔ x∈X и x∈Y
Пример 4. X={1,2,3,4,5} Y={2,4,6,8} X∩Y = {2,4}
Пример 5. Если Х — множество точек левого круга, а Y — множество точек правого круга, то X∩Y представляет собой заштрихованную область, являющуюся общей частью обоих кругов.
Множества X и Y называются непересекающимися (дизъюнктными), если они не имеют общих элементов, то есть если X∩Y=∅.
Пример 7. {1,2,3} и {4,5,6}
В отличие от алгебры чисел, где могут быть три возможности: a X=Y; X⊂Y; Y⊂X; X∩Y=∅ и X и Y находятся в общем положении. Говорят, что множества X и Y находятся в общем положении, если выполняются три условия: Аналогично объединению понятие пересечения можно распространить на систему множеств: ∩X=∩X i =X 1 ∩X 2 ∩...∩X n Пересечение множеств представляет собой множество, элементы которого принадлежат каждому из множеств системы М. Для пересечения множеств справедливы: Заметим также, что имеет место соотношение X∩∅=∅. Пример 8. A={a,b}, B={b,c}, C={a,c}. A∩B∩C=∅, хотя A∩B={b}, B∩C={c} Разность множеств определена только для двух множеств. Разностью множеств X и Y называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат X и не принадлежат Y. Обозначается: X\Y. Формально: x∈X\Y ⇔ x∈X и x∉Y Пример 9. (см. Пример 1) X={1,2,3,4,5}, Y={2,4,6,8}, X\Y={1,3,5}, Y\X={6,8} Разность множеств не обладает свойством коммутативности. Если A\B=∅, то A⊂B — поставить? обратно при A∩B≠∅ Роль нуля в алгебре множеств играет пустое множество. А нет ли такого множества, которое играет роль «1», т.е. удовлетворяет условию: X∪I = X, что означает, что пересечение или «общая часть» множества I и множества X для любого множества X совпадает с самим этим множеством. Это возможно лишь в том случае, если множество I содержит все элементы, из которых может состоять множество X, так что любое множество X полностью содержится в множестве I. Множество I, удовлетворяющее этому условию, называется полным, или универсальным, или единичным. Если при некотором рассмотрении участвуют только подмножества некоторого фиксированного множества, то это самое большое множество будем считать универсальным и обозначать I. Пример 12 (Пример 1). I — множество целых чисел Пример 13 (Пример 2). I — множество студ. гр. Пример 14 (Пример 3). I — лист бумаги, доска Универсальное множество обычно обозначают графически в виде множества точек прямоугольника, а отдельные множества в виде отдельных областей внутри этого прямоугольника. Изображение множеств в виде областей в прямоугольнике, представляющем универсальное множество, называется диаграммой Эйлера-Венна. Универсальное множество обладает интересным свойством, которое не имеет аналогии в обычной алгебре, а именно, для любого множества X справедливо соотношение X∪I = I. Множество, определяемое из соотношения X¯ = I\X, называется дополнением множества X (до универсального множества I). На диаграмме множество X¯ представляет собой незаштрихованную область. Формально: X = {x: x∈I и x∉X}. Из определения следует, что X и X¯ не имеют общих элементов. Х∩X¯=∅. Кроме того, не имеется элементов I, которые не принадлежали бы ни X, ни X¯ (его дополнению), так как те элементы, которые не принадлежат X, принадлежат X¯ (его дополнению). Следовательно, Х∪X¯=I. Из симметрии данной формулы относительно Х и X¯ следует не только то, что X¯ является дополнением Х, но и что Х является дополнением X¯. Но дополнение X¯ есть X¯ ¯. Таким образом, X¯ ¯=X¯. С помощью операции дополнения представим разность множеств: X\Y = {x: x∈X и x∉Y} ={ x: x∈X и x∈Y¯ }, т.е. X\Y= Х∩Y¯. Порядок выполнения операций: Для изменения порядка используют скобки. Одной из наиболее часто встречающихся операций над множествами является операция разбиения множества на систему подмножеств. Так, система курсов данного факультета является разбиением множества студентов факультета; система групп данного курса является разбиением множества студентов курса. Пример. Продукция предприятия: — высший сорт, I, II, брак. Рассмотрим некоторое множество M и систему множеств М = {X 1 , X 2 , ..., X n } Система множеств M называется разбиением множества M, если она удовлетворяет следующим условиям: Любое множество X из M является подмножеством множества М ∀X∈M: X⊆M; Любые два множества X и Y из М являются непересекающимися ∀X∈М, ∀Y∈M: X≠Y → X∩Y=∅. Объединение всех множеств, входящих в разбиение, дает множество M X 1 ∪X 2 ∪...∪ X n =M. С помощью операций объединения, пересечения и дополнения из множеств можно составлять различные алгебраические выражения. Если алгебраические выражения V(X,Y,Z) и S(X,Y,Z) представляют собой одно и то же множество, то их можно приравнять друг другу, получая алгебраическое тождество вида V(X,Y,Z) = S(X,Y,Z) Множество элементов, принадлежащих или A, или B, называют симметричной разностью или дизьюнктивной суммой. S = A⊕B = (A\B)∪(B\A) = (A∩B¯)∪(A¯∪B) = (A∪B)∩(A∩B)¯ Для симметрической разности выполняются следующие законы: Упорядоченным множеством (или кортежем) называется последовательность элементов, то есть совокупность элементов, в которой каждый элемент занимает определенное место. Сами элементы — компоненты кортежа. Пример 1. Множество людей, стоящих в очереди, множество слов в фразе, алфавит. Во всех этих множествах место каждого элемента является вполне определенным и не может быть произвольно изменено. Число элементов кортежа называется его длиной. Обозначают кортеж скобками «< >», иногда круглыми «()». А=. Кортежи длины 2 называются упорядоченными парами, 3 — тройками, n-ками. Частный случай: кортеж длины 1 — кортеж длины 0 — < > или ∧ — пустой кортеж. Отличие кортежа и обыкновенного множества: в кортеже могут быть одинаковые элементы. Упорядоченные множества, элементами которых являются вещественные числа, будем называть векторами или точками пространства (n-мерного). Пр 1 = a 1 , Пр 2 = a 2 , Пр i = a i , Пр 1 2 = — двухэлементный кортеж. Проекция кортежа на пустое множество осей — пустой кортеж. Обобщая эти понятия, будем рассматривать упорядоченное n-элементное множество вещественных чисел (a 1 , ..., a n) как точку в воображаемом n–мерном пространстве (иногда называемом гиперпространством), или как n-мерный вектор. При этом компоненты n-элементного кортежа а будем рассматривать как проекции этого кортежа на соответствующие оси. Пр i a = a i , i=1,2,...,n Пр i,j,...,l a = , i=1,2,...,n Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и соответствующие координаты их равны. = ⇔ m = n и a 1 = b 1 , b 1 = b 2 , ... Компонентами кортежа (вектора) могут быть также компоненты кортежи (векторы): Пример. Слова в предложении, Прямым (декартовым) произведением множеств X и Y называется множество, состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар, первая компонента которых принадлежит множеству X, а вторая принадлежит множеству Y. Формально: X*Y = { Пример 2. Пусть X=<1,2>, Y=<1,3,4> Тогда X*Y={<1,1>,<1,3>,<1,4>,<2,1>,<2,3>,<2,4> } См. рис. а). Пример 3. Пусть X и Y — отрезки вещественной оси. Прямое произведение X*Y изображается заштрихованным прямоугольником. См. рис. б). Прямое произведение изменяется при изменении порядка сомножителей т.е. Прямое произведение множеств X 1 , X 2 , ..., X n — это множество, обозначаемое X 1 *X 2 *...*X n и состоящее из всех тех и только тех кортежей длины n, правая компонента которых принадлежит X 1 , вторая — X 2 и т.д. Очевидно X*Y = ∅ ⇔ X = ∅ или Y = ∅. Аналогично X 1 *X 2 *...*X n = ∅ тогда и только тогда, когда хотя бы одно из множеств X 1 , X 2 , ..., X n является пустым. Частным случаем прямого произведения является понятие степеней (декартовых) множества — прямое произведение одинаковых множеств M s =M*M*...*M, M 1 =M, M 0 =∧. Обычно R — множество вещественных чисел, тогда R 2 =R*R — вещественная плоскость и R 3 =R*R*R — трехмерное вещественное пространство. Пример. A={a,b,c,d,e,f,g,h}, B={1,2,3, ...,8} Тогда A*B ={a 1 , a 2 , a 3 , ..., h7, h8} — множество обозначающее все 64 клеток шахматной доски. Пример. Пусть A — конечное множество, элементами которого являются символы (буквы, цифры, знаки препинания и т.д.). Такие множества обычно называют алфавитами. Элементы множества a n называются словами длины n в алфавите A. Множество всех символов в алфавите A — это множество A * = ∪A i = A 1 ∪A 2 ∪A 3 ... . При написании слов не принято пользоваться ни запятыми, ни скобками, ни разделителями. СЛОВО ⇔ <С,Л,О,В,О> Теорема. Пусть a 1 , a 2 , ..., a n — конечные множества и |a 1 | = m 1 , |a 2 |=m 2 , ..., |a n |=m n . Тогда мощность множества a 1 *a 2 *a 3 *...*a n равна произведению мощностей a 1 , a 2 , ..., a n |a 1 *a 2 *...*a n |=|a 1 |*|a 2 |*|a 3 |*...*|a n |= m 1 *m 2 *...*m n Следствие |a n |=|A| n Операция программирования множества тесно связана с операцией проектирования кортежа и может применяться лишь к таким множествам, элементами которых являются кортежи одинаковой длины. Пусть M — множество, состоящее из кортежей длины S. Тогда пролинией множества M будем называть множество пролиний всех кортежей из М Пример. Пусть М={<1,2,3,4,5>,<2,1,3,5,5>,<3,3,3,3,3>,<3,2,3,4,3>} тогда Пр 2 М={2,1,3}, Пр 3 M={3}, Пр 4 M={4,5,3}, Пр 24 M={<2,4>,<1,5>,<3,3>}, Пр 13 M={<1,3>,<2,3>,<3,3>}, Пр 15 M={<1,5>,<2,5>,<1,3>}, Пр 25 M={<2,5>,<1,5>,<3,3>,<2,3>}. Очевидно что если М=Х*Y то Пр 1 М=Х, Пр 2 М=Y и если Q⊆Х*Y то Пр 1 Q⊆Х и Пр 2 Q⊆Y Пример. V={ Пр 1 V={a,c,d} Пр 1 2V={ Пр 2 3V={ Пр 1 3V={ Пусть V — множество векторов одинаковой длины S. Пр i V ={Пр i v/v∈Y}, Пр i i ...i k v = { Пр i i ...i k v/v∈Y}. Если V =A 1 *A 2 *...*A n , то Пр i i ...i k V=A i1 *A i2 *...*A ik . В общем случае Пр i V — вовсе не обязательно прямое произведение: оно может быть подмножеством. Формально операция объединения множеств определяется следующим образом:
A = {x / x ∈ A 1 ∨ x ∈ A 2 ∨ … ∨ x ∈ A n },
где ∨ — логический знак, обозначающий союз ИЛИ. Читается эта запись так: множество А — это все те значения х, которые принадлежат множеству А 1 , или множеству А 2 , или множеству А 3 и так далее до множества А п.
Для выполнения операции объединение множеств имеется калькулятор
. Например
, пусть даны множества: A 1 = {a, b, c}; A 2 = {4}; A 3 = {b, 54}. Применив к ним операцию объединения, получим новое множество A = A 1 U A 2 U A 3 = {a,b,c,4,54}. Заметим, что b ∈ A 1 и b ∈ A 3 , однако в множество A элемент b входит только один раз (вспомним: все элементы множества должны быть различными).
На () объединение множеств обозначают сплошной штриховкой областей, соответствующих этим множествам:
Операция объединения множеств обладает следующими свойствами: а) объединение коммутативно:
A U B = B U A ;
A U B U C = A U C U B = B U A U C и т.д.;
б) объединение ассоциативно:
(A U B) U C = A U (B U C) = A U B U C.
(Благодаря ассоциативности при записи нескольких множеств, соединенных знаком объединения, скобки
можно не использовать) ;
в)
если B ⊆ A или B ⊂ A, то A U B = A.
На рис. 8
приведена диаграмма Венна для случая, когда B ⊂ A.
Штриховкой отмечена область множества A, которая
одновременно относится и к множеству A U B .
Упражнения
1. Найдите элементы множества A U B , если
A = {a, b, c}; B = {b, c, d}.
2. Найдите элементы множеств: сначала A, затем — A 1 , после этого — A 2 (числа упорядочить по возрастанию), если A = {x / x ∈ I ∧(x ∈ A 1 ∨ x ∈ A 2); A 1 ⊂ I — множество чисел, кратных трем; A 2 ⊂ I — множество
чисел, кратных четырем }; I = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
3. Дано три множества A, B, C. Известно, что a ∈ A. Укажите все верные утверждения:
а) a ⊂ B; е) {a} ∈ B;
б) a ∈ A U B ; ж) {a}⊆ A U B ;
в) a ⊂ B U C ; з) {a} ∈ B U C ;
г) a ∈ A U B U C; и) {a}⊆ A U B U C
д) {a} ⊆ A
Ответы: б), г), д), ж), и) - истинно.
4. На рис. 9 приведена диаграмма Венна для трех множеств. Найдите элементы множеств A U B , затем — A U C.
5. Перечислите элементы множества M (рис. 9):
M = {x / x ∉ A ∧ x ∈ I}.
6. Перечислите элементы множества N (рис. 9):
N = {x / x ∈ A U B , x > 4}.
7. Перечислите элементы множества K, если
K = {x / x ∈ A U B U C , x — четное число }(рис. 9).
8. Перечислите элементы множества T (рис. 9):
T = {x / x ∉ A U C, x ∈ I }.
9. Найдите кардинальное число множества A U B ,
если A = {a, b, c}; B = {6, 7, 8, 9}.
Ответ: | A U B| = 7
10. Найдите кардинальные числа множеств
A U B, A U C, B U C по диаграмме Венна (рис. 10).
11. Найдите кардинальное число множества A U B , если
A = {1, 2, 3, 4}; B = {2, 3, 4, 5}.
Ответ: | A U B| = 5
12. Найдите кардинальное число множества A U B , если A = {∅}; B = {a, b, c}.
Ответ: | A U B| = 4
13. Найдите кардинальное число множества B(P) U B(Q), где
P = { a, b, c }; Q = { b, c, d }.
Ответ: |B(P) U B(Q)| = |B(P U Q)| = |B{ a, b, c, d }| = 2 4 = 16
14. Найдите кардинальное число множества B(K) U B(M), где
K = { x / x — четное натуральное число, x ≤ 8};
M = { x / x — нечетное натуральное число, x < 6}.
15. Сколько собственных подмножеств имеет множество, A = A 1 U A 2 U… U A n ,
если A 1 , A 2 ,…, A n —
синглетоны, попарно не равные между собой?
3. Разность множеств
4. Универсальное множество
5. Дополнение множества
6. Разбиение множества
7. Тождества алгебры множеств
Дополнение к занятию «операции над множествами»
Упорядоченное множество
Прямое произведение множеств
Проекция множества.