Описанный четырехугольник доказательство. Вписанный четырехугольник и его свойства. Подробная теория

«Описанная окружность» мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. То есть, для всякого треугольника найдётся такая окружность, что все три вершины треугольника «сидят» на ней. Вот так:

Вопрос: а можно ли то же самое сказать о четырехугольнике? Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?

Вот оказывается, что это НЕПРАВДА! НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность . Есть очень важное условие:

На нашем рисунке:

Посмотри, углы и лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами и? Они вроде бы тоже противоположные? Можно ли вместо углов и взять углы и?

Конечно, можно! Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет. Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме. Не веришь? Давай убедимся. Смотри:

Пусть. Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, . То есть - всегда! . Но, → .

Волшебство прямо!

Так что запомни крепко-накрепко:

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна, то такой четырехугольник вписанный.

Доказывать всё это мы здесь не будем (если интересно, заглядывай в следующие уровни теории). Но давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна.

Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма? Попробуем сперва «методом тыка».

Вот как-то не получается.

Теперь применим знание:

предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм окружность. Тогда непременно должно быть: , то есть.

А теперь вспомним о свойствах параллелограмма:

у всякого параллелограмма противоположные углы равны.

У нас получилось, что

А что же углы и? Ну, то же самое конечно.

Вписанный → →

Параллелограмм→ →

Потрясающе, правда?

Получилось, что если параллелограмм вписан в окружность, то все его углы равны, то есть это прямоугольник!

И ещё при этом - центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей этого прямоугольника . Это, так сказать, в качестве бонуса прилагается.

Ну, вот значит, выяснили, что параллелограмм, вписанный в окружность - прямоугольник .

А теперь поговорим о трапеции. Что будет, если трапецию вписать в окружность? А оказывается, будет равнобедренная трапеция . Почему?

Вот пусть трапеция вписана в окружность. Тогда опять, но из-за параллельности прямых и.

Значит, имеем: → → трапеция равнобокая.

Даже проще чем с прямоугольником, правда? Но запомнить нужно твёрдо - пригодиться:

Давай ещё раз перечислим самые главные утверждения , касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:

Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна
Параллелограмм, вписанный в окружность - непременно прямоугольник и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей
Трапеция, вписанная в окружность - равнобокая.

Вписанный четырехугольник. Средний уровень

Известно, что для всякого треугольника существует описанная окружность (это мы доказывали в теме «Описанная окружность»). Что же можно сказать о четырёхугольнике? Вот, оказывается, что НЕ ВСЯКИЙ четырехугольник можно вписать в окружность , а есть такая теорема:

Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна .

На нашем рисунке -

Давай попробуем понять, почему так? Другими словами, мы сейчас докажем эту теорему. Но прежде чем доказывать, нужно понять, как устроено само утверждение. Ты заметил в утверждении слова «тогда и только тогда»? Такие слова означают, что вредные математики впихнули два утверждения в одно.

Расшифровываем:

«Тогда» означает: Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна.
«Только тогда» означает: Если у четырёхугольника найдутся два противоположных угла, сумма которых равна, то такой четырехугольник можно вписать в окружность.

Прямо как у Алисы: «думаю, что говорю» и «говорю, что думаю».

А теперь разбираемся, отчего же верно и 1, и 2?

Сначала 1.

Пусть четырехугольник вписан в окружность. Отметим её центр и проведём радиусы и. Что же получится? Помнишь ли ты, что вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального? Если помнишь - сейчас применим, а если не очень - загляни в тему «Окружность. Вписанный угол» .

Вписанный

Но посмотри: .

Получаем, что если - вписанный, то

Ну, и ясно, что и тоже в сумме составляет. (нужно так же рассмотреть и).

Теперь и «наоборот», то есть 2.

Пусть оказалось так, что у четырехугольника сумма каких - то двух противоположных углов равна. Скажем, пусть

Мы пока не знаем, можем ли описать вокруг него окружность. Но мы точно знаем, что вокруг треугольника мы гарантированно окружность описать можем. Так и сделаем это.

Если точка не «села» на окружность, то она неминуемо оказалась или снаружи или внутри.

Рассмотрим оба случая.

Пусть сначала точка - снаружи. Тогда отрезок пересекает окружность в какой-то точке. Соединим и. Получился вписанный (!) четырехугольник.

Про него уже знаем, что сумма его противоположных углов равна, то есть, а по условию у нас.

Получается, что должно бы быть так, что.

Но это никак не может быть поскольку - внешний угол для и значит, .

А внутри? Проделаем похожие действия. Пусть точка внутри.

Тогда продолжение отрезка пересекает окружность в точке. Снова - вписанный четырехугольник, а по условию должно выполняться, но - внешний угол для и значит, то есть опять никак не может быть так, что.

То есть точка не может оказаться ни снаружи, ни внутри окружности - значит, она на окружности!

Доказали всю-всю теорему!

Теперь посмотрим, какие же хорошие следствия даёт эта теорема.

Следствие 1

Параллелограмм, вписанный в окружность, может быть только прямоугольником.

Давай-ка поймём, почему так. Пусть параллелограмм вписан в окружность. Тогда должно выполняться.

Но из свойств параллелограмма мы знаем, что.

И то же самое, естественно, касательно углов и.

Вот и получился прямоугольник - все углы по.

Но, кроме того, есть ещё дополнительный приятный факт: центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Давай поймём почему. Надеюсь, ты отлично помнишь, что угол, опирающийся на диаметр - прямой.

Диаметр,

Диаметр

а значит, - центр. Вот и всё.

Следствие 2

Трапеция, вписанная в окружность - равнобедренная.

Пусть трапеция вписана в окружность. Тогда.

И так же.

Всё ли мы обсудили? Не совсем. На самом деле есть ещё один, «секретный» способ, как узнавать вписанный четырехугольник. Мы этот способ сформулируем не очень строго (но понятно), а докажем только в последнем уровне теории.

Если в четырёхугольнике можно наблюдать такую картинку, как здесь на рисунке (тут углы, «смотрящие» на сторону из точек и, равны), то такой четырехугольник - вписанный.

Это очень важный рисунок - в задачах часто бывает легче найти равные углы, чем сумму углов и.

Несмотря на совершенное отсутствие строгости в нашей формулировке, она верна, и более того, всегда принимается проверяющими ЕГЭ. Ты должен писать примерно так:

« - вписанный» - и всё будет отлично!

Не забывай этот важный признак - запомни картинку, и, возможно, она тебе вовремя бросится в глаза при решении задачки.

Вписанный четырехугольник. Краткое описание и основные формулы

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна

и наоборот:

Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна.

Параллелограмм, вписанный в окружность - непременно прямоугольник , и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Трапеция , вписанная в окружность - равнобокая .

ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ,

§ 106. СВОЙСТВА ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКОВ.

Теорема 1. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180° .

Пусть в окружность с центром О вписан четырёхугольник ABCD (черт. 412). Требуется доказать, что / А + / С = 180° и / В + / D = 180°.

/ А, как вписанный в окружность О, измеряется 1 / 2 BCD.
/ С, как вписанный в ту же окружность, измеряется 1 / 2 BAD.

Следовательно, сумма углов А и С измеряется полусуммой дуг BCD и BAD в сумме же эти дуги составляют окружность, т. е. имеют 360°.
Отсюда / А + / С = 360°: 2 = 180°.

Аналогично доказывается, что и / В + / D = 180°. Однако это можно вывести и иным путём. Мы знаем, что сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Сумма углов А и С равна 180°, значит, на сумму других двух углов четырёхугольника остаётся тоже 180° .

Теорема 2 (обратная). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180°, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пусть сумма противоположных углов четырёхугольника ABCD равна 180°, а именно
/ А + / С = 180° и / В + / D = 180° (черт. 412).

Докажем, что около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Через любые 3 вершины этого четырёхугольника можно провести окружность, например через точки А, В и С. Где будет находиться точка D?

Точка D может занять только одно из следующих трёх положений: оказаться внутри круга, оказаться вне круга, оказаться на окружности круга.

Допустим, что вершина окажется внутри круга и займёт положение D" (черт. 413). Тогда в четырёхугольнике ABCD" будем иметь:

/ В + / D" = 2d .

Продолжив сторону AD" до пересечения с окружностью в точке Е и соединив точки Е и С, получим вписанный четырёхугольник АВСЕ, в котором по прямой теореме

/ B + / Е = 2d .

Из этих двух равенств следует:

/ D" = 2d - / B;
/ E = 2d - / B;

/ D" = / E,

но этого быть не может, так как / D", как внешний относительно треугольника CD"E, должен быть больше угла Е. Поэтому точка D не может оказаться внутри круга.

Так же доказывается, что вершина D не может занять положение D" вне круга (черт. 414).

Остаётся признать, что вершина D должна лежать на окружности круга, т. е. совпасть с точкой Е, значит, около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Следствия. 1. Вокруг всякого прямоугольника можно описать окружность.

2. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

В обоих случаях сумма противоположных углов равна 180°.

Теорема 3. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Пусть четырёхугольник ABCD описан около окружности (черт. 415), т. е. стороны его АВ, ВС, CD и DA - касательные к этой окружности.

Требуется доказать, что АВ + CD =AD + ВС. Обозначим точки касания буквами М, N, К, Р, На основании свойств касательных, проведённых к окружности из одной точки (§ 75), имеем:

АР = АК;
ВР = ВМ;
DN = DK;
CN = СМ.

Сложим почленно эти равенства. Получим:

АР + ВР + DN + CN = АК + ВМ +DK + СМ,

т. е. АВ + CD = AD + ВС, что и требовалось доказать.

Упражнения.

1. Во вписанном четырёхугольнике два противоположных угла относятся как 3: 5,
а другие два относятся как 4: 5. Определить величину этих углов.

2. В описанном четырёхугольнике сумма двух противоположных сторон равна 45 см. Остальные две стороны относятся как 0,2: 0,3. Найти длину этих сторон.

Примерами описанных четырёхугольников могут служить дельтоиды , которые включают ромбы , которые, в свою очередь, включают квадраты . Дельтоиды - это в точности те описанные четырёхугольники, которые также являются ортодиагональными . Если четырёхугольник является описанным и вписанным четырёхугольником , он называется бицентральным .

Свойства

В описанном четырёхугольнике четыре биссектрисы пересекаются в центре окружности. И наоборот, выпуклый четырёхугольник, в котором четыре биссектрисы пересекаются в одной точке, должен быть описанным, и точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности .

Если противоположные стороны в выпуклом четырёхугольнике ABCD (не являющийся трапецией) пересекаются в точках E и F , то они являются касательными к окружности тогда и только тогда, когда

B E + B F = D E + D F {\displaystyle \displaystyle BE+BF=DE+DF} A E − E C = A F − F C . {\displaystyle \displaystyle AE-EC=AF-FC.}

Второе равенство почти то же, что и равенство в теореме Уркхарта . Разница только в знаках - в теореме Уркхарта суммы, а здесь разности (см. рисунок справа).

Другое необходимое и достаточное условие - выпуклый четырёхугольник ABCD является описанным в том и только в том случае, когда вписанные в треугольники ABC и ADC окружности касаются друг друга .

Описание по углам, образованным диагональю BD со сторонами четырёхугольника ABCD , принадлежит Иосифеску (Iosifescu). Он в 1954 доказал, что выпуклый четырёхугольник имеет вписанную окружность тогда и только тогда, когда

tan ⁡ ∠ A B D 2 ⋅ tan ⁡ ∠ B D C 2 = tan ⁡ ∠ A D B 2 ⋅ tan ⁡ ∠ D B C 2 . {\displaystyle \tan {\frac {\angle ABD}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle BDC}{2}}=\tan {\frac {\angle ADB}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle DBC}{2}}.} R a R c = R b R d {\displaystyle R_{a}R_{c}=R_{b}R_{d}} ,

где R a , R b , R c , R d являются радиусами окружностей, внешне касательным сторонам a , b , c , d соответственно и продолжениям смежных сторон с каждой стороны .

Некоторые другие описания известны для четырёх треугольников, образованных диагоналями.

Специальные отрезки

Восемь отрезков касательных описанного четырёхугольника являются отрезками между вершинами и точками касания на сторонах. В каждой вершине имеется два равных касательных отрезка.

Точки касания образуют вписанный четырёхугольник.

Площадь

Нетригонометрические формулы

K = 1 2 p 2 q 2 − (a c − b d) 2 {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(ac-bd)^{2}}}} ,

дающая площадь в терминах диагоналей p , q и сторон a , b , c , d касательного четырёхугольника.

Площадь можно представить также в терминах касательных отрезков (см. выше). Если их обозначить через e , f , g , h , то касательный четырёхугольник имеет площадь

K = (e + f + g + h) (e f g + f g h + g h e + h e f) . {\displaystyle K={\sqrt {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}}.}

Более того, площадь касательного четырёхугольника можно выразить в терминах сторон a, b, c, d и соответствующих длин касательных отрезков e, f, g, h

K = a b c d − (e g − f h) 2 . {\displaystyle K={\sqrt {abcd-(eg-fh)^{2}}}.}

Поскольку eg = fh в том и только в том случае, когда он также является вписанным, получаем, что максимальная площадь a b c d {\displaystyle {\sqrt {abcd}}} может достигаться только на четырёхугольниках, которые являются и описанными, и вписанными одновременно.

Тригонометрические формулы

K = a b c d sin ⁡ A + C 2 = a b c d sin ⁡ B + D 2 . {\displaystyle K={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {A+C}{2}}={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {B+D}{2}}.}

Для заданного произведения сторон площадь будет максимальной, когда четырёхугольник является также вписанным . В этом случае K = a b c d {\displaystyle K={\sqrt {abcd}}} , поскольку противоположные углы являются дополнительными . Это можно доказать и другим способом, используя математический анализ .

Ещё одна формула площади описанного четырёхугольника ABCD , использующая два противоположных угла

K = (O A ⋅ O C + O B ⋅ O D) sin ⁡ A + C 2 {\displaystyle K=\left(OA\cdot OC+OB\cdot OD\right)\sin {\frac {A+C}{2}}} ,

где O является центром вписанной окружности.

Фактически площадь можно выразить в терминах лишь двух смежных сторон и двух противоположных углов

K = a b sin ⁡ B 2 csc ⁡ D 2 sin ⁡ B + D 2 . {\displaystyle K=ab\sin {\frac {B}{2}}\csc {\frac {D}{2}}\sin {\frac {B+D}{2}}.} K = 1 2 | (a c − b d) tan ⁡ θ | , {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|(ac-bd)\tan {\theta }|,}

где θ угол (любой) между диагоналями. Формула неприменима к случаю дельтоидов, поскольку в этом случае θ равен 90° и тангенс не определён.

Неравенства

Как упомянуто было вскользь выше, площадь касательного многоугольника со сторонами a , b , c , d удовлетворяет неравенству

K ≤ a b c d {\displaystyle K\leq {\sqrt {abcd}}}

и равенство достигается тогда и только тогда, когда четырёхугольник является бицентральным .

Согласно Т. А. Ивановой (1976), полупериметр s описанного четырёхугольника удовлетворяет неравенству

s ≥ 4 r {\displaystyle s\geq 4r} ,

где r - радиус вписанной окружности. Неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда четырёхугольник является квадратом . Это означает, что для площади K = rs , выполняется неравенство

K ≥ 4 r 2 {\displaystyle K\geq 4r^{2}}

с переходом в равенство в том и только в том случае, когда четырёхугольник - квадрат.

Свойства частей четырёхугольника

Четыре отрезка прямых между центром вписанной окружности и точками касания делят четырёхугольник на четыре прямоугольных дельтоида .

Если прямая делит описанный четырёхугольник на два многоугольника с равными площадями и равными периметрами , то эта линия проходит через инцентр .

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности описанного четырёхугольника со сторонами a , b , c , d задаётся формулой

r = K s = K a + c = K b + d {\displaystyle r={\frac {K}{s}}={\frac {K}{a+c}}={\frac {K}{b+d}}} ,

где K - площадь четырёхугольника, а s - полупериметр. Для описанных четырёхугольников с заданным полупериметром радиус вписанной окружности максимален, когда четырёхугольник является одновременно и вписанным .

В терминах отрезков касательных радиус вписанной окружности .

r = e f g + f g h + g h e + h e f e + f + g + h . {\displaystyle \displaystyle r={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}}.}

Радиус вписанной окружности модно выразить также в терминах расстояния от инцентра O до вершин описанного четырёхугольника ABCD . Если u = AO , v = BO , x = CO и y = DO , то

r = 2 (σ − u v x) (σ − v x y) (σ − x y u) (σ − y u v) u v x y (u v + x y) (u x + v y) (u y + v x) {\displaystyle r=2{\sqrt {\frac {(\sigma -uvx)(\sigma -vxy)(\sigma -xyu)(\sigma -yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx)}}}} ,

где σ = 1 2 (u v x + v x y + x y u + y u v) {\displaystyle \sigma ={\tfrac {1}{2}}(uvx+vxy+xyu+yuv)} .

Формулы для углов

Если e , f , g и h отрезки касательных от вершин A , B , C и D соответственно к точкам касания окружности четырёхугольником ABCD , то углы четырёхугольника можно вычислить по формулам

sin ⁡ A 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (e + f) (e + g) (e + h) , {\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(e+f)(e+g)(e+h)}}},} sin ⁡ B 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (f + e) (f + g) (f + h) , {\displaystyle \sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(f+e)(f+g)(f+h)}}},} sin ⁡ C 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (g + e) (g + f) (g + h) , {\displaystyle \sin {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(g+e)(g+f)(g+h)}}},} sin ⁡ D 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (h + e) (h + f) (h + g) . {\displaystyle \sin {\frac {D}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(h+e)(h+f)(h+g)}}}.}

Угол между хордами KM и LN задаётся формулой (см. рисунок)

sin ⁡ φ = (e + f + g + h) (e f g + f g h + g h e + h e f) (e + f) (f + g) (g + h) (h + e) . {\displaystyle \sin {\varphi }={\sqrt {\frac {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}{(e+f)(f+g)(g+h)(h+e)}}}.}

Диагонали

Если e , f , g и h являются отрезками касательных от A , B , C и D до точек касания вписанной окружности четырёхугольником ABCD , то длины диагоналей p = AC и q = BD равны

p = e + g f + h ((e + g) (f + h) + 4 f h) , {\displaystyle \displaystyle p={\sqrt {{\frac {e+g}{f+h}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4fh{\Big)}}},} q = f + h e + g ((e + g) (f + h) + 4 e g) . {\displaystyle \displaystyle q={\sqrt {{\frac {f+h}{e+g}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4eg{\Big)}}}.}

Хорды точек касания

Если e , f , g и h являются отрезками от вершин до точек касания, то длины хорд до противоположных точек касания равны

k = 2 (e f g + f g h + g h e + h e f) (e + f) (g + h) (e + g) (f + h) , {\displaystyle \displaystyle k={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+f)(g+h)(e+g)(f+h)}}},} l = 2 (e f g + f g h + g h e + h e f) (e + h) (f + g) (e + g) (f + h) , {\displaystyle \displaystyle l={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+h)(f+g)(e+g)(f+h)}}},}

где хорда k соединяет стороны с длинами a = e + f и c = g + h , а хорда l соединяет стороны длиной b = f + g и d = h + e . Квадрат отношения хорд удовлетворяет соотношению

k 2 l 2 = b d a c . {\displaystyle {\frac {k^{2}}{l^{2}}}={\frac {bd}{ac}}.}

Две хорды

Хорда между сторонами AB и CD в описанном четырёхугольнике ABCD длиннее, чем хорда между сторонами BC и DA тогда и только тогда, когда средняя линия между сторонами AB и CD короче, чем средняя линия между сторонами BC и DA .

Если описанный четырёхугольник ABCD имеет точки касания M на AB и N на CD и хорда MN пересекает диагональ BD в точке P , то отношение отрезков касательных B M D N {\displaystyle {\tfrac {BM}{DN}}} равно отношению B P D P {\displaystyle {\tfrac {BP}{DP}}} отрезков диагонали BD .

Коллинеарные точки

Если M 1 и M 2 являются серединами диагоналей AC и BD соответственно в описанном четырёхугольнике ABCD O , а пары противоположных сторон пересекаются в точках E и F и M 3 - середина отрезка EF , тогда точки M 3 , M 1 , O , и M 2 лежат на одной прямой Прямая, соединяющая эти точки, называется прямой Ньютона четырёхугольника.

E и F , а продолжения противоположных сторон четырёхугольника, образованного точками касания, пересекаются в точках T и S , то четыре точки E , F , T и S лежат на одной прямой

AB , BC , CD , DA в точках M , K , N и L соответственно, и если T M , T K , T N , T L являются изотомически сопряжёнными точками этих точек (то есть AТ M = BM и т.д.), то точка Нагеля определяется как пересечение прямых T N T M и T K T L . Обе эти прямые делят периметр четырёхугольника на две равные части. Однако важнее то, что точка Нагеля Q , "центроид площади" G и центр вписанной окружности O лежат на одной прямой, и при этом QG = 2GO . Эта прямая называется прямой Нагеля описанного четырёхугольника .

В описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности O P , пусть H M , H K , H N , H L являются ортоцентрами треугольников AOB , BOC , COD и DOA соответственно. Тогда точки P , H M , H K , H N и H L лежат на одной прямой.

Конкурентные и перпендикулярные прямые

Две диагонали четырёхугольника и две хорды, соединяющие противоположные точки касания (противоположные вершины вписанного четырёхугольника), конкурентны (т.е. пересекаются в одной точке). Для того, чтобы показать это, можно воспользоваться частным случаем теоремы Брианшона , которая утверждает, что шестиугольник, все стороны которого касаются коническое сечение , имеет три диагонали, пересекающиеся в одной точке. Из описанного четырёхугольника легко получить шестиугольник с двумя углами по 180° путём вставки двух новых вершина противоположных точках касания. Все шесть сторон полученного шестиугольника являются касательными вписанной окружности, так что его диагонали пересекаются в одной точке. Но две диагонали шестиугольника совпадают с диагоналями четырёхугольника, а третья диагональ проходит через противоположные точки касания. Повторив те же рассуждения для двух других точек касания, получим требуемый результат.

Если вписанная окружность касается сторон AB , BC , CD и DA в точках M , K , N , L соответственно, то прямые MK , LN и AC конкурентны.

Если продолжения противоположных сторон описанного четырёхугольника пересекаются в точках E и F , а диагонали пересекаются в точке P , то прямая EF перпендикулярна продолжению OP , где O - центр вписанной окружности .

Свойства вписанной окружности

Отношения двух противоположных сторон описанного четырёхугольника можно выразить через расстояния от центра вписанной окружности O до соответствующих сторон

A B C D = O A ⋅ O B O C ⋅ O D , B C D A = O B ⋅ O C O D ⋅ O A . {\displaystyle {\frac {AB}{CD}}={\frac {OA\cdot OB}{OC\cdot OD}},\quad \quad {\frac {BC}{DA}}={\frac {OB\cdot OC}{OD\cdot OA}}.}

Произведение двух смежных сторон описанного четырёхугольника ABCD с центром вписанной окружности O удовлетворяет соотношению

A B ⋅ B C = O B 2 + O A ⋅ O B ⋅ O C O D . {\displaystyle AB\cdot BC=OB^{2}+{\frac {OA\cdot OB\cdot OC}{OD}}.}

Если O - центр вписанной окружности четырёхугольника ABCD , то

O A ⋅ O C + O B ⋅ O D = A B ⋅ B C ⋅ C D ⋅ D A . {\displaystyle OA\cdot OC+OB\cdot OD={\sqrt {AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}}.}

Центр вписанной окружности O совпадает с "центроидом вершин" четырёхугольника в том и только в том случае, когда

O A ⋅ O C = O B ⋅ O D . {\displaystyle OA\cdot OC=OB\cdot OD.}

Если M 1 и M 2 являются серединами диагоналей AC и BD соответственно, то

O M 1 O M 2 = O A ⋅ O C O B ⋅ O D = e + g f + h , {\displaystyle {\frac {OM_{1}}{OM_{2}}}={\frac {OA\cdot OC}{OB\cdot OD}}={\frac {e+g}{f+h}},}

где e , f , g и h - отрезки касательных в вершинах A , B , C и D соответственно. Комбинируя первое равенство с последним, получим, что "центроид вершин" описанного четырёхугольника совпадает с центом вписанной окружности тогда и только тогда, когда центр вписанной окружности лежит посередине между средними точками диагоналей.

1 r 1 + 1 r 3 = 1 r 2 + 1 r 4 . {\displaystyle {\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{3}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{4}}}.}

Это свойство было доказано пятью годами ранее Вайнштейном . В решении его задачи похожее свойство было дано Васильевым и Сендеровым. Если через h M , h K , h N и h L обозначить высоты тех же треугольников (опущенных из пересечения диагоналей P ), то четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда

1 h M + 1 h N = 1 h K + 1 h L . {\displaystyle {\frac {1}{h_{M}}}+{\frac {1}{h_{N}}}={\frac {1}{h_{K}}}+{\frac {1}{h_{L}}}.}

Ещё одно похожее свойство относится к радиусам вневписанных окружностей r M , r K , r N и r L для тех же четырёх треугольников (четыре вневписанные окружности касаются каждой из сторон четырёхугольника и продолжений диагоналей). Четырёхугольник является описанным в том и только в том случае, когда

1 r M + 1 r N = 1 r K + 1 r L . {\displaystyle {\frac {1}{r_{M}}}+{\frac {1}{r_{N}}}={\frac {1}{r_{K}}}+{\frac {1}{r_{L}}}.}

Если R M , R K , R N и R L - радиусы описанных окружностей треугольников APB , BPC , CPD и DPA соответственно, то треугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда

R M + R N = R K + R L . {\displaystyle R_{M}+R_{N}=R_{K}+R_{L}.}

В 1996 Вайнштейн, похоже, был первым, кто доказал ещё одно замечательное свойство описанных четырёхугольников, которое позднее появилось в нескольких журналах и сайтах . Свойство утверждает, что если выпуклый четырёхугольников разделён на четыре неперекрывающихся треугольника его диагоналями, центры вписанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда четырёхугольник является описанным. Фактически центры вписанных окружностей образуют ортодиагональный вписанный четырёхугоольник . Здесь вписанные окружности можно заменить на вневписанные (касающиеся стороны и продолжения диагоналей четырёхугольника). Тогда выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда центры вневписанных окружностей являются вершинами вписанного четырёхугольника .

Выпуклый четырёхугольник ABCD , в котором диагонали пересекаются в точке P , является описанным тогда и только тогда, когда четыре центра вневписанных окружностей треугольников APB , BPC , CPD и DPA лежат на одной окружности (здесь вневписанные окружности пересекают стороны четырёхугольника, в отличие от аналогичного утверждения выше, где вневписанные окружности лежат вне четырёхугольника). Если R m , R n , R k и R l - радиусы вневписанных окружностей APB , BPC , CPD и DPA соответственно, противоположных вершинам B и D , то ещё одним необходимым и достаточным условием того, что четырёхугольник является описанным, будет

1 R m + 1 R n = 1 R k + 1 R l . {\displaystyle {\frac {1}{R_{m}}}+{\frac {1}{R_{n}}}={\frac {1}{R_{k}}}+{\frac {1}{R_{l}}}.} m △ (A P B) + n △ (C P D) = k △ (B P C) + l △ (D P A) {\displaystyle {\frac {m}{\triangle (APB)}}+{\frac {n}{\triangle (CPD)}}={\frac {k}{\triangle (BPC)}}+{\frac {l}{\triangle (DPA)}}}

здесь m, k, n, l – длины сторон AB, BC, CD и DA, а ∆(APB ) - площадь треугольника APB .

Обозначим отрезки, на которые точка P делит диагональ AC как AP = p a и PC = p c . Аналогичным образом P делить диагональ BD на отрезки BP = p b и PD = p d . Тогда четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда выполняется одно из равенств:

(m + p a − p b) (n + p c − p d) (m − p a + p b) (n − p c + p d) = (k + p c − p b) (l + p a − p d) (k − p c + p b) (l − p a + p d) . {\displaystyle {\frac {(m+p_{a}-p_{b})(n+p_{c}-p_{d})}{(m-p_{a}+p_{b})(n-p_{c}+p_{d})}}={\frac {(k+p_{c}-p_{b})(l+p_{a}-p_{d})}{(k-p_{c}+p_{b})(l-p_{a}+p_{d})}}.}

Условия для описанного четырёхугольника быть другим типом четырёхугольника .

Описанный четырёхугольник является бицентричным (т.е. описанным и вписанным одновременно) тогда и только тогда, когда радиус вписанной окружности наибольший среди всех описанных четырёхугольников, имеющих ту же самую последовательность длин сторон в том и только в том случае, когда любое из нижеследующих условий выполняется:

Площадь равна половине произведения диагоналей
Диагонали перпендикулярны
Два отрезка, соединяющие противоположные точки касания, имеют равные длины
Одна пара противоположных отрезков от вершины до точки касания имеют одинаковые длины
Victor Bryant, John Duncan. Wheels within wheels // Mathematical Gazette. - 2010. - Вып. 94, November .
Albrecht Hess. On a circle containing the incenters of tangential quadrilaterals // Forum Geometricorum. - 2014. - Т. 14 .
Wu Wei Chao, Plamen Simeonov. When quadrilaterals have inscribed circles (solution to problem 10698) // American Mathematical Monthly . - 2000. - Т. 107 , вып. 7 . - DOI :10.2307/2589133 .
Mowaffaq Hajja. A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic // Forum Geometricorum. - 2008. - Т. 8 .

Larry Hoehn. A new formula concerning the diagonals and sides of a quadrilateral. - 2011. - Т. 11 Т. 10 .

Martin Josefsson. When is a Tangential Quadrilateral a Kite? // Forum Geometricorum. - 2011a. - Т. 11 .

Martin Josefsson. More Characterizations of Tangential Quadrilaterals // Forum Geometricorum. - 2011b. - Т. 11 .

Martin Josefsson. The Area of a Bicentric Quadrilateral // Forum Geometricorum. - 2011c. - Т. 11 .

Martin Josefsson. Similar Metric Characterizations of Tangential and Extangential Quadrilaterals // Forum Geometricorum. - 2012. - Т. 12 .

Martin Josefsson. Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals. - 2012b. - Т. 12 .

Nicusor Minculete. Characterizations of a Tangential Quadrilateral // Forum Geometricorum. - 2009. - Т. 9 .

Alexei Myakishev. On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral // Forum Geometricorum. - 2006. - Т. 6 .

A.W. Siddons, R.T. Hughes. Trigonometry. - Cambridge Univ. Press, 1929.

И. Вайнштейн, Н. Васильев, В. Сендеров. (Решение задачи) M1495 // Квант. - 1995. - Вып. 6 .

Michael De Villiers. Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons // Mathematical Gazette. - 2011. - Вып. 95, March .

Теорема 1 . Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180° .

Пусть в окружность с центром О вписан четырёхугольник ABCD (рис. 412). Требуется доказать, что ∠А + ∠С = 180° и ∠В + ∠D = 180°.

∠А, как вписанный в окружность О, измеряется 1 / 2 \(\breve{BCD}\).

∠С, как вписанный в ту же окружность, измеряется 1 / 2 \(\breve{BAD}\).

Следовательно, сумма углов А и С измеряется полусуммой дуг BCD и BAD в сумме же эти дуги составляют окружность, т.е. имеют 360°.

Отсюда ∠А + ∠С = 360°: 2 = 180°.

Аналогично доказывается, что и ∠В + ∠D = 180°. Однако это можно вывести и иным путём. Мы знаем, что сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Сумма углов Аи С равна 180°, значит, на сумму других двух углов четырёхугольника остаётся тоже 180°.

Теорема 2 (обратная). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180°, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пусть сумма противоположных углов четырёхугольника ABCD равна 180°, а именно

∠А + ∠С = 180° и ∠В + ∠D = 180°(рис. 412).

Докажем, что около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Допустим, что вершина окажется внутри круга и займёт положение D’ (рис. 413). Тогда в четырёхугольнике ABCD’ будем иметь:

∠В + ∠D’ = 2d .

Продолжив сторону AD’ до пересечения с окружностью в точке Е и соединив точки Е и С, получим вписанный четырёхугольник АВСЕ, в котором по прямой теореме

∠B + ∠Е = 2d .

Из этих двух равенств следует:

∠D’ = 2d - ∠B;

∠E = 2d - ∠B;

но этого быть не может, так как ∠D’, как внешний относительно треугольника CD’E, должен быть больше угла Е. Поэтому точка D не может оказаться внутри круга.

Так же доказывается, что вершина D не может занять положение D" вне круга (рис. 414).

Следствия.

1. Вокруг всякого прямоугольника можно описать окружность.

2. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

В обоих случаях сумма противоположных углов равна 180°.

Теорема 3. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Пусть четырёхугольник ABCD описан около окружности (рис. 415), т. е. стороны его АВ, ВС, CD и DA - касательные к этой окружности.

Требуется доказать, что АВ + CD =AD + ВС. Обозначим точки касания буквами М, N, К, Р, На основании свойств касательных, проведённых к окружности из одной точки, имеем:

Сложим почленно эти равенства. Получим:

АР + ВР + DN + CN = АК + ВМ +DK + СМ,

т. е. АВ + CD = AD + ВС, что и требовалось доказать.

Другие материалы

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.