Полная теорема виета. Калькулятор онлайн. Решение квадратного уравнения

Дискриминант, как и квадратные уравнения начинают изучать в курсе алгебры в 8 классе. Решить квадратное уравнение можно через дискриминант и с помощью теоремы Виета. Методика изучения квадратных уравнений, как и формулы дискриминанта достаточно неудачно прививается школьникам, как и многое в настоящем образовании. Поэтому проходят школьные годы, обучение в 9-11 классе заменяет "высшее образование" и все снова ищут - "Как решить квадратное уравнение?", "Как найти корни уравнения?", "Как найти дискриминант?" и...

Формула дискриминанта

Дискриминант D квадратного уравнения a*x^2+bx+c=0 равен D=b^2–4*a*c.
Корни (решения) квадратного уравнения зависят от знака дискриминанта (D) :
D>0 – уравнение имеет 2 различных действительных корня;
D=0 - уравнение имеет 1 корень (2 совпадающих корня):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Формула для вычисления дискриминанта достаточно проста, поэтому множество сайтов предлагают онлайн калькулятор дискриминанта. Мы с такого рода скриптами еще не разобрались, поэтому кто знает, как это реализовать просим писать на почту Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра. .

Общая формула для нахождения корней квадратного уравнения :

Корни уравнения находим по формуле
Если коэффициент при переменной в квадрате парный то целесообразно исчислять не дискриминант, а четвертую его часть
В таких случаях корни уравнения находят по формуле

Вторая способ нахождения корней - это Теорема Виета.

Формулируется теорема не только для квадратных уравнений, но и для многочленов. Это Вы можете почитать в Википедии или других электронных ресурсах. Однако для упрощения рассмотрим ту ее часть, которая касается приведенных квадратных уравнений, то есть уравнений вида (a=1)
Суть формул Виета заключается в том, что сумма корней уравнения равна коэффициенту при переменной, взятому с противоположным знаком. Произведение корней уравнения равно свободном члену. Формулами теорема Виета имеет запись.
Вывод формулы Виета достаточно прост. Распишем квадратное уравнение через простые множители
Как видите все гениальное одновременно является простым. Эффективно использовать формулу Виета когда разница корней по модулю или разница модулей корней равна 1, 2. Например, следующие уравнения по теореме Виета имеют корни

До 4 уравнения анализ должен выглядеть следующим образом. Произведение корней уравнения равно 6, следовательно корнями могут быть значения (1, 6) и (2, 3) или пары с противоположным знаком. Сумма корней равна 7 (коэффициент при переменной с противоположным знаком). Отсюда делаем вывод что решения квадратного уравнения равны x=2; x=3.
Проще подбирать корни уравнения среди делителей свободного члена, корректируя их знак с целью выполнения формул Виета. В начале это кажется трудно сделать, но с практикой на ряде квадратных уравнений такая методика окажется эффективнее вычисления дискриминанта и нахождения корней квадратного уравнения классическим способом.
Как видите школьная теория изучения дискриминанта и способов нахождения решений уравнения лишена практического смысла - "Зачем школьникам квадратное уравнение?", "Какой физический смысл дискриминанта?".

Давайте попробуем разобраться, что описывает дискриминант?

В курсе алгебры изучают функции, схемы исследования функции и построения графика функций. Из всех функций важное место занимает парабола, уравнение которой можно записать в виде
Так вот физический смысл квадратного уравнения - это нули параболы, то есть точки пересечения графика функции с осью абсцисс Ox
Свойства парабол которые описаны ниже попрошу Вас запомнить. Придет время сдавать экзамены, тесты, или вступительные экзамены и Вы будете благодарны за справочный материал. Знак при переменной в квадрате соответствует тому, будут ли ветки параболы на графике идти вверх (a>0) ,

или парабола ветвями вниз (a<0) .

Вершина параболы лежит посередине между корнями

Физический смысл дискриминанта:

Если дискриминант больше нуля (D>0) парабола имеет две точки пересечения с осью Ox .
Если дискриминант равен нулю (D=0) то парабола в вершине касается оси абсцисс.
И последний случай, когда дискриминант меньше нуля (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Неполные квадратные уравнения

Между корнями и коэффициентами квадратного уравнения , помимо формул корней, существуют другие полезные соотношения, которые задаются теоремой Виета . В этой статье мы дадим формулировку и доказательство теоремы Виета для квадратного уравнения. Дальше рассмотрим теорему, обратную теореме Виета. После этого разберем решения наиболее характерных примеров. Наконец, запишем формулы Виета, задающие связь между действительными корнями алгебраического уравнения степени n и его коэффициентами.

Навигация по странице.

Теорема Виета, формулировка, доказательство

Из формул корней квадратного уравнения a·x 2 +b·x+c=0 вида , где D=b 2 −4·a·c , вытекают соотношения x 1 +x 2 =−b/a , x 1 ·x 2 =c/a . Эти результаты утверждаются теоремой Виета :

Теорема.

Если x 1 и x 2 – корни квадратного уравнения a·x 2 +b·x+c=0 , то сумма корней равна отношению коэффициентов b и a , взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно отношению коэффициентов c и a , то есть, .

Доказательство.

Доказательство теоремы Виета проведем по следующей схеме: составим сумму и произведение корней квадратного уравнения, используя известные формулы корней, после этого преобразуем полученные выражения, и убедимся, что они равны −b/a и c/a соответственно.

Начнем с суммы корней, составляем ее . Теперь приводим дроби к общему знаменателю, имеем . В числителе полученной дроби , после чего : . Наконец, после на 2 , получаем . Этим доказано первое соотношение теоремы Виета для суммы корней квадратного уравнения. Переходим ко второму.

Составляем произведение корней квадратного уравнения: . Согласно правилу умножения дробей, последнее произведение можно записать как . Теперь выполняем умножение скобки на скобку в числителе, но быстрее свернуть это произведение по формуле разности квадратов , так . Дальше, вспомнив , выполняем следующий переход . А так как дискриминанту квадратного уравнения отвечает формула D=b 2 −4·a·c , то в последнюю дробь вместо D можно подставить b 2 −4·a·c , получаем . После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых приходим к дроби , а ее сокращение на 4·a дает . Этим доказано второе соотношение теоремы Виета для произведения корней.

Если опустить пояснения, то доказательство теоремы Виета примет лаконичный вид:
,
.

Остается лишь заметить, что при равном нулю дискриминанте квадратное уравнение имеет один корень. Однако, если считать, что уравнение в этом случае имеет два одинаковых корня, то равенства из теоремы Виета также имеют место. Действительно, при D=0 корень квадратного уравнения равен , тогда и , а так как D=0 , то есть, b 2 −4·a·c=0 , откуда b 2 =4·a·c , то .

На практике наиболее часто теорема Виета используется применительно к приведенному квадратному уравнению (со старшим коэффициентом a , равным 1 ) вида x 2 +p·x+q=0 . Иногда ее и формулируют для квадратных уравнений именно такого вида, что не ограничивает общности, так как любое квадратное уравнение можно заменить равносильным уравнением , выполнив деление его обеих частей на отличное от нуля число a . Приведем соответствующую формулировку теоремы Виета:

Теорема.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +p·x+q=0 равна коэффициенту при x , взятому с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену, то есть, x 1 +x 2 =−p , x 1 ·x 2 =q .

Теорема, обратная теореме Виета

Вторая формулировка теоремы Виета, приведенная в предыдущем пункте, указывает, что если x 1 и x 2 корни приведенного квадратного уравнения x 2 +p·x+q=0 , то справедливы соотношения x 1 +x 2 =−p , x 1 ·x 2 =q . С другой стороны, из записанных соотношений x 1 +x 2 =−p , x 1 ·x 2 =q следует, что x 1 и x 2 являются корнями квадратного уравнения x 2 +p·x+q=0 . Иными словами, справедливо утверждение, обратное теореме Виета. Сформулируем его в виде теоремы, и докажем ее.

Теорема.

Если числа x 1 и x 2 таковы, что x 1 +x 2 =−p и x 1 ·x 2 =q , то x 1 и x 2 являются корнями приведенного квадратного уравнения x 2 +p·x+q=0 .

Доказательство.

После замены в уравнении x 2 +p·x+q=0 коэффициентов p и q их выражения через x 1 и x 2 , оно преобразуется в равносильное уравнение .

Подставим в полученное уравнение вместо x число x 1 , имеем равенство x 1 2 −(x 1 +x 2)·x 1 +x 1 ·x 2 =0 , которое при любых x 1 и x 2 представляет собой верное числовое равенство 0=0 , так как x 1 2 −(x 1 +x 2)·x 1 +x 1 ·x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0 . Следовательно, x 1 – корень уравнения x 2 −(x 1 +x 2)·x+x 1 ·x 2 =0 , а значит, x 1 – корень и равносильного ему уравнения x 2 +p·x+q=0 .

Если же в уравнение x 2 −(x 1 +x 2)·x+x 1 ·x 2 =0 подставить вместо x число x 2 , то получим равенство x 2 2 −(x 1 +x 2)·x 2 +x 1 ·x 2 =0 . Это верное равенство, так как x 2 2 −(x 1 +x 2)·x 2 +x 1 ·x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0 . Следовательно, x 2 тоже является корнем уравнения x 2 −(x 1 +x 2)·x+x 1 ·x 2 =0 , а значит, и уравнения x 2 +p·x+q=0 .

На этом завершено доказательство теоремы, обратной теореме Виета.

Примеры использования теоремы Виета

Пришло время поговорить о практическом применении теоремы Виета и обратной ей теоремы. В этом пункте мы разберем решения нескольких наиболее характерных примеров.

Начнем с применения теоремы, обратной теореме Виета. Ее удобно применять для проверки, являются ли данные два числа корнями заданного квадратного уравнения. При этом вычисляется их сумма и разность, после чего проверяется справедливость соотношений . Если выполняются оба этих соотношения, то в силу теоремы, обратной теореме Виета, делается вывод, что данные числа являются корнями уравнения. Если же хотя бы одно из соотношений не выполняется, то данные числа не являются корнями квадратного уравнения. Такой подход можно использовать при решении квадратных уравнений для проверки найденных корней.

Пример.

Какая из пар чисел 1) x 1 =−5 , x 2 =3 , или 2) , или 3) является парой корней квадратного уравнения 4·x 2 −16·x+9=0 ?

Решение.

Коэффициентами заданного квадратного уравнения 4·x 2 −16·x+9=0 являются a=4 , b=−16 , c=9 . Согласно теореме Виета сумма корней квадратного уравнения должна быть равна −b/a , то есть, 16/4=4 , а произведение корней должно быть равно c/a , то есть, 9/4 .

Теперь вычислим сумму и произведение чисел в каждой из трех заданных пар, и сравним их с только что полученными значениями.

В первом случае имеем x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Полученное значение отлично от 4 , поэтому дальнейшую проверку можно не осуществлять, а по теореме, обратной теореме Виета, сразу сделать вывод, что первая пара чисел не является парой корней заданного квадратного уравнения.

Переходим ко второму случаю. Здесь , то есть, первое условие выполнено. Проверяем второе условие: , полученное значение отлично от 9/4 . Следовательно, и вторая пара чисел не является парой корней квадратного уравнения.

Остался последний случай. Здесь и . Оба условия выполнены, поэтому эти числа x 1 и x 2 являются корнями заданного квадратного уравнения.

Ответ:

Теорему, обратную теореме Виета, на практике можно использовать для подбора корней квадратного уравнения. Обычно подбирают целые корни приведенных квадратных уравнений с целыми коэффициентами, так как в других случаях это сделать достаточно сложно. При этом пользуются тем фактом, что если сумма двух чисел равна второму коэффициенту квадратного уравнения, взятому со знаком минус, а произведение этих чисел равно свободному члену, то эти числа являются корнями данного квадратного уравнения. Разберемся с этим на примере.

Возьмем квадратное уравнение x 2 −5·x+6=0 . Чтобы числа x 1 и x 2 были корнями этого уравнения, должны выполняться два равенства x 1 +x 2 =5 и x 1 ·x 2 =6 . Остается подобрать такие числа. В данном случае это сделать достаточно просто: такими числами являются 2 и 3 , так как 2+3=5 и 2·3=6 . Таким образом, 2 и 3 – корни данного квадратного уравнения.

Теорему, обратную теореме Виета, особенно удобно применять для нахождения второго корня приведенного квадратного уравнения, когда уже известен или очевиден один из корней. В этом случае второй корень находится из любого из соотношений .

Для примера возьмем квадратное уравнение 512·x 2 −509·x−3=0 . Здесь легко заметить, что единица является корнем уравнения, так как сумма коэффициентов этого квадратного уравнения равна нулю. Итак, x 1 =1 . Второй корень x 2 можно найти, например, из соотношения x 1 ·x 2 =c/a . Имеем 1·x 2 =−3/512 , откуда x 2 =−3/512 . Так мы определили оба корня квадратного уравнения: 1 и −3/512 .

Понятно, что подбор корней целесообразен лишь в самых простых случаях. В остальных случаях для поиска корней можно применить формулы корней квадратного уравнения через дискриминант.

Еще одно практическое применение теоремы, обратной теореме Виета, состоит в составлении квадратных уравнений по заданным корням x 1 и x 2 . Для этого достаточно вычислить сумму корней, которая дает коэффициент при x с противоположным знаком приведенного квадратного уравнения, и произведение корней, которое дает свободный член.

Пример.

Напишите квадратное уравнение, корнями которого являются числа −11 и 23 .

Решение.

Обозначим x 1 =−11 и x 2 =23 . Вычисляем сумму и произведение данных чисел: x 1 +x 2 =12 и x 1 ·x 2 =−253 . Следовательно, указанные числа являются корнями приведенного квадратного уравнения со вторым коэффициентом −12 и свободным членом −253 . То есть, x 2 −12·x−253=0 – искомое уравнение.

Ответ:

x 2 −12·x−253=0 .

Теорема Виета очень часто используется при решении заданий, связанных со знаками корней квадратных уравнений. Как же связана теорема Виета со знаками корней приведенного квадратного уравнения x 2 +p·x+q=0 ? Приведем два соответствующих утверждения:

Если свободный член q – положительное число и если квадратное уравнение имеет действительные корни, то либо они оба положительные, либо оба отрицательные.
Если же свободный член q – отрицательное число и если квадратное уравнение имеет действительные корни, то их знаки различны, другими словами, один корень положительный, а другой - отрицательный.

Эти утверждения вытекают из формулы x 1 ·x 2 =q , а также правил умножения положительных, отрицательных чисел и чисел с разными знаками. Рассмотрим примеры их применения.

Пример.

R он положителен. По формуле дискриминанта находим D=(r+2) 2 −4·1·(r−1)= r 2 +4·r+4−4·r+4=r 2 +8 , значение выражения r 2 +8 положительно при любых действительных r , таким образом, D>0 при любых действительных r . Следовательно, исходное квадратное уравнение имеет два корня при любых действительных значениях параметра r .

Теперь выясним, когда корни имеют разные знаки. Если знаки корней различны, то их произведение отрицательно, а по теореме Виета произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену. Следовательно, нас интересуют те значения r , при которых свободный член r−1 отрицателен. Таким образом, чтобы найти интересующие нас значения r , надо решить линейное неравенство r−1<0 , откуда находим r<1 .

Ответ:

при r<1 .

Формулы Виета

Выше мы говорили о теореме Виета для квадратного уравнения и разбирали утверждаемые ей соотношения. Но существуют формулы, связывающие действительные корни и коэффициенты не только квадратных уравнений, но и кубических уравнений, уравнений четверной степени, и вообще, алгебраических уравнений степени n . Их называют формулами Виета .

Запишем формулы Виета для алгебраического уравнения степени n вида , при этом будем считать, что оно имеет n действительных корней x 1 , x 2 , …, x n (среди них могут быть совпадающие):

Получить формулы Виета позволяет теорема о разложении многочлена на линейные множители , а также определение равных многочленов через равенство всех их соответствующих коэффициентов. Так многочлен и его разложение на линейные множители вида равны. Раскрыв скобки в последнем произведении и приравняв соответствующие коэффициенты, получим формулы Виета.

В частности при n=2 имеем уже знакомые нам формулы Виета для квадратного уравнения .

Для кубического уравнения формулы Виета имеют вид

Остается лишь заметить, что в левой части формул Виета находятся так называемые элементарные симметрические многочлены .

Список литературы.

Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : ил. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Теорема Виета (точнее, теорема, обратная теореме Виета) позволяет сократить время на решение квадратных уравнений. Только надо уметь ею пользоваться. Как научиться решать квадратные уравнения по теореме Виета? Это несложно, если немного порассуждать.

Сейчас мы будем говорить только о решении по теореме Виета приведенного квадратного уравнения.Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, в котором a, то есть коэффициент перед x², равен единице. Не приведенные квадратные уравнения решить по теореме Виета тоже можно, но там уже, как минимум, один из корней — не целое число. Их угадывать сложнее.

Теорема, обратная теореме Виета, гласит: если числа x1 и x2 таковы, что

то x1 и x2 — корни квадратного уравнения

При решении квадратного уравнения по теореме Виета возможны всего 4 варианта. Если запомнить ход рассуждений, находить целые корни можно научиться очень быстро.

I. Если q — положительное число,

это означает, что корни x1 и x2 — числа одинакового знака (поскольку только при умножении чисел с одинаковыми знаками получается положительное число).

I.a. Если -p — положительное число, (соответственно, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Если -p — отрицательное число, (соответственно, p>0), то оба корня — отрицательные числа (складывали числа одного знака, получили отрицательное число).

II. Если q — отрицательное число,

это значит, что корни x1 и x2 имеют разные знаки (при умножении чисел отрицательное число получается только в случае, когда знаки у множителей разные). В этом случае x1+x2 является уже не суммой, а разностью (ведь при сложении чисел с разными знаками мы вычитаем из большего по модулю меньшее). Поэтому x1+x2 показывает, на сколько одно отличаются корни x1 и x2, то есть, на сколько один корень больше другого (по модулю).

II.a. Если -p — положительное число, (то есть p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Если -p — отрицательное число, (p>0), то больший (по модулю) корень — отрицательное число.

Рассмотрим решение квадратных уравнений по теореме Виета на примерах.

Решить приведенное квадратное уравнение по теореме Виета:

Здесь q=12>0, поэтому корни x1 и x2 — числа одного знака. Их сумма равна -p=7>0, поэтому оба корня — положительные числа. Подбираем целые числа, произведение которых равно 12. Это 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Сумма равна 7 у пары 3 и 4. Значит, 3 и 4 — корни уравнения.

В данном примере q=16>0, значит, корни x1 и x2 — числа одного знака. Их сумма -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Здесь q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, то бОльшее число положительно. Значит, корни 5 и -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

2.5 Формула Виета для многочленов (уравнений) высших степеней

Формулы, выведенные Виетом для квадратных уравнений, верны и для многочленов высших степеней.

Пусть многочлен

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

Имеет n различных корней x 1 , x 2 …, x n .

В этом случае он имеет разложение на множители вида:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

Разделим обе части этого равенства на a 0 ≠ 0 и раскроем в первой части скобки. Получим равенство:

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n -2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняется равенство

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Например, для многочленов третей степени

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Имеем тождества

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Как и для квадратных уравнений, эту формулу называют формулами Виета. Левые части этих формул являются симметрическими многочленами от корней x 1 , x 2 …, x n данного уравнения, а правые части выражаются через коэффициент многочлена.

2.6 Уравнения, сводимые к квадратным (биквадратные)

К квадратным уравнениям сводятся уравнения четвертой степени:

ax 4 + bx 2 + c = 0,

называемые биквадратными, причем, а ≠ 0.

Достаточно положить в этом уравнении х 2 = y, следовательно,

ay² + by + c = 0

найдём корни полученного квадратного уравнения

y 1,2 =

Чтобы найти сразу корни х 1, x 2, x 3, x 4 , заменим y на x и получим

x² =

х 1,2,3,4 = .

Если уравнение четвёртой степени имеет х 1 , то имеет и корень х 2 = -х 1 ,

Если имеет х 3 , то х 4 = - х 3 . Сумма корней такого уравнения равна нулю.

2х 4 - 9x² + 4 = 0

Подставим уравнение в формулу корней биквадратных уравнений:

х 1,2,3,4 = ,

зная, что х 1 = -х 2 , а х 3 = -х 4 , то:

х 3,4 =

Ответ: х 1,2 = ±2; х 1,2 =

2.7 Исследование биквадратных уравнений

Возьмем биквадратное уравнение

ax 4 + bx 2 + c = 0,

где a, b, c –действительные числа, причем а > 0. Введя вспомогательную неизвестную y = x², исследуем корни данного уравнения, и результаты занесем в таблицу (см. приложение №1)

2.8 Формула Кардано

Если воспользоваться современной символикой, то вывод формулы Кардано может иметь такой вид:

х =

Эта формула определяет корни общего уравнения третей степени:

ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Эта формула очень громоздкая и сложная (она содержит несколько сложныных радикалов). Она не всегда примениться, т.к. очень сложна для заполнения.

F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Список или выбрать из 2-3 текстов наиболее интересные места. Таким образом, мы рассмотрели общие положения по созданию и проведению элективных курсов, которые будут учтены при разработке элективного курса по алгебре для 9 класса «Квадратные уравнения и неравенства с параметром». Глава II. Методика проведения элективного курса «Квадратные уравнения и неравенства с параметром» 1.1. Общие...

Решения от численных методов расчёта. Для определения корней уравнения не требуется знания теорий групп Абеля, Галуа, Ли и пр. и применения специальной математической терминологии: колец, полей, идеалов, изоморфизмов и т.д. Для решения алгебраического уравнения n - ой степени нужно только умение решать квадратные уравнения и извлекать корни из комплексного числа. Корни могут быть определены с...

С единицами измерений физических величин в системе MathCAD? 11. Подробно охарактеризуйте текстовые, графические и математические блоки. Лекция №2. Задачи линейной алгебры и решение дифференциальных уравнений в среде MathCAD В задачах линейной алгебры практически всегда возникает необходимость выполнять различные операции с матрицами. Панель операторов с матрицами находится на панели Math. ...

В математике существуют специальные приемы, с которыми многие квадратные уравнения решаются очень быстро и без всяких дискриминантов. Более того, при надлежащей тренировке многие начинают решать квадратные уравнения устно, буквально «с первого взгляда».

К сожалению, в современном курсе школьной математики подобные технологии почти не изучаются. А знать надо! И сегодня мы рассмотрим один из таких приемов - теорему Виета. Для начала введем новое определение.

Квадратное уравнение вида x 2 + bx + c = 0 называется приведенным. Обратите внимание: коэффициент при x 2 равен 1. Никаких других ограничений на коэффициенты не накладывается.

x 2 + 7x + 12 = 0 - это приведенное квадратное уравнение;
x 2 − 5x + 6 = 0 - тоже приведенное;
2x 2 − 6x + 8 = 0 - а вот это нифига не приведенное, поскольку коэффициент при x 2 равен 2.

Разумеется, любое квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 можно сделать приведенным - достаточно разделить все коэффициенты на число a . Мы всегда можем так поступить, поскольку из определения квадратного уравнения следует, что a ≠ 0.

Правда, далеко не всегда эти преобразования будут полезны для отыскания корней. Чуть ниже мы убедимся, что делать это надо лишь тогда, когда в итоговом приведенном квадратом уравнении все коэффициенты будут целочисленными. А пока рассмотрим простейшие примеры:

Задача. Преобразовать квадратное уравнение в приведенное:

3x 2 − 12x + 18 = 0;

−4x 2 + 32x + 16 = 0;

1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;

2x 2 + 7x − 11 = 0.

Разделим каждое уравнение на коэффициент при переменной x 2 . Получим:

3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - разделили все на 3;
−4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - разделили на −4;
1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - разделили на 1,5, все коэффициенты стали целочисленными;
2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 - разделили на 2. При этом возникли дробные коэффициенты.

Как видите, приведенные квадратные уравнения могут иметь целые коэффициенты даже в том случае, когда исходное уравнение содержало дроби.

Теперь сформулируем основную теорему, для которой, собственно, и вводилось понятие приведенного квадратного уравнения:

Теорема Виета. Рассмотрим приведенное квадратное уравнение вида x 2 + bx + c = 0. Предположим, что это уравнение имеет действительные корни x 1 и x 2 . В этом случае верны следующие утверждения:

x 1 + x 2 = −b . Другими словами, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при переменной x , взятому с противоположным знаком;

x 1 · x 2 = c . Произведение корней квадратного уравнения равно свободному коэффициенту.

Примеры. Для простоты будем рассматривать только приведенные квадратные уравнения, не требующие дополнительных преобразований:

x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 · x 2 = 20; корни: x 1 = 4; x 2 = 5;
x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 · x 2 = −15; корни: x 1 = 3; x 2 = −5;
x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 · x 2 = 4; корни: x 1 = −1; x 2 = −4.

Теорема Виета дает нам дополнительную информацию о корнях квадратного уравнения. На первый взгляд это может показаться сложным, но даже при минимальной тренировке вы научитесь «видеть» корни и буквально угадывать их за считанные секунды.

Задача. Решите квадратное уравнение:

x 2 − 9x + 14 = 0;

x 2 − 12x + 27 = 0;

3x 2 + 33x + 30 = 0;

−7x 2 + 77x − 210 = 0.

Попробуем выписать коэффициенты по теореме Виета и «угадать» корни:

x 2 − 9x + 14 = 0 - это приведенное квадратное уравнение.
По теореме Виета имеем: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Несложно заметить, что корни - числа 2 и 7;
x 2 − 12x + 27 = 0 - тоже приведенное.
По теореме Виета: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 · x 2 = 27. Отсюда корни: 3 и 9;
3x 2 + 33x + 30 = 0 - это уравнение не является приведенным. Но мы это сейчас исправим, разделив обе стороны уравнения на коэффициент a = 3. Получим: x 2 + 11x + 10 = 0.
Решаем по теореме Виета: x 1 + x 2 = −11; x 1 · x 2 = 10 ⇒ корни: −10 и −1;
−7x 2 + 77x − 210 = 0 - снова коэффициент при x 2 не равен 1, т.е. уравнение не приведенное. Делим все на число a = −7. Получим: x 2 − 11x + 30 = 0.
По теореме Виета: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 · x 2 = 30; из этих уравнений легко угадать корни: 5 и 6.

Из приведенных рассуждений видно, как теорема Виета упрощает решение квадратных уравнений. Никаких сложных вычислений, никаких арифметических корней и дробей. И даже дискриминант (см. урок «Решение квадратных уравнений ») нам не потребовался.

Разумеется, во всех размышлениях мы исходили из двух важных предположений, которые, вообще говоря, не всегда выполняются в реальных задачах:

Квадратное уравнение является приведенным, т.е. коэффициент при x 2 равен 1;
Уравнение имеет два различных корня. С точки зрения алгебры, в этом случае дискриминант D > 0 - по сути, мы изначально предполагаем, что это неравенство верно.

Однако в типичных математических задачах эти условия выполняются. Если же в результате вычислений получилось «плохое» квадратное уравнение (коэффициент при x 2 отличен от 1), это легко исправить - взгляните на примеры в самом начале урока. Про корни вообще молчу: что это за задача, в которой нет ответа? Конечно, корни будут.

Таким образом, общая схема решения квадратных уравнений по теореме Виета выглядит следующим образом:

Свести квадратное уравнение к приведенному, если это еще не сделано в условии задачи;
Если коэффициенты в приведенном квадратном уравнении получились дробными, решаем через дискриминант. Можно даже вернуться к исходному уравнению, чтобы работать с более «удобными» числами;
В случае с целочисленными коэффициентами решаем уравнение по теореме Виета;
Если в течение нескольких секунд не получилось угадать корни, забиваем на теорему Виета и решаем через дискриминант.

Задача. Решите уравнение: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Итак, перед нами уравнение, которое не является приведенным, т.к. коэффициент a = 5. Разделим все на 5, получим: x 2 − 7x + 10 = 0.

Все коэффициенты квадратного уравнения целочисленные - попробуем решить по теореме Виета. Имеем: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. В данном случае корни угадываются легко - это 2 и 5. Считать через дискриминант не надо.

Задача. Решите уравнение: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.

Смотрим: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 - это уравнение не является приведенным, разделим обе стороны на коэффициент a = −5. Получим: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 - уравнение с дробными коэффициентами.

Лучше вернуться к исходному уравнению и считать через дискриминант: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; x 2 = 0,4.

Задача. Решите уравнение: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Для начала разделим все на коэффициент a = 2. Получится уравнение x 2 + 5x − 300 = 0.

Это приведенное уравнение, по теореме Виета имеем: x 1 + x 2 = −5; x 1 · x 2 = −300. Угадать корни квадратного уравнения в данном случае затруднительно - лично я серьезно «завис», когда решал эту задачу.

Придется искать корни через дискриминант: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Если вы не помните корень из дискриминанта, просто отмечу, что 1225: 25 = 49. Следовательно, 1225 = 25 · 49 = 5 2 · 7 2 = 35 2 .

Теперь, когда корень из дискриминанта известен, решить уравнение не составит труда. Получим: x 1 = 15; x 2 = −20.