Правила сложения логарифмов с одинаковыми основаниями. Логарифм. Свойства логарифма (сложение и вычитание)
Сегодня мы поговорим о формулах логарифмов и дадим показательные примеры решения .
Сами по себе подразумевают шаблоны решения согласно основным свойствам логарифмов. Прежде применять формулы логарифмов для решения напомним для вас, сначала все свойства:
Теперь на основе этих формул(свойств), покажем примеры решения логарифмов .
Примеры решения логарифмов на основании формул.
Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается log a b) - это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b, при этом b > 0, a > 0, а 1.
Согласно определения log a b = x, что равносильно a x = b, поэтому log a a x = x.
Логарифмы , примеры:
log 2 8 = 3, т.к. 2 3 = 8
log 7 49 = 2, т.к. 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, т.к. 5 -1 = 1/5
Десятичный логарифм - это обычный логарифм, в основании которого находится 10. Обозначается как lg.
log 10 100 = 2, т.к. 10 2 = 100
Натуральный логарифм - также обычный логарифм логарифм, но уже с основанием е (е = 2,71828... - иррациональное число). Обозначается как ln.
Формулы или свойства логарифмов желательно запомнить, потому что они понадобятся нам в дальнейшем при решении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств. Давайте еще раз отработаем каждую формулу на примерах.
- Основное логарифмическое тождество
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Логарифм произведения равен сумме логарифмов
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
- Логарифм частного равен разности логарифмов
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма
Показатель степени логарифмируемого числа log a b m = mlog a b
Показатель степени основания логарифма log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
если m = n, получим log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Переход к новому основанию
log a b = log c b/log c a,если c = b, получим log b b = 1
тогда log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Как видите, формулы логарифмов не так сложны как кажутся. Теперь рассмотрев примеры решения логарифмов мы можем переходить к логарифмическим уравнениям. Примеры решения логарифмических уравнений мы более подробно рассмотрим в статье: " ". Не пропустите!
Если у вас остались вопросы по решению, пишите их в комментариях к статье.
Заметка: решили получить образование другого класса обучение за рубежом как вариант развития событий.
Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       
Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.
Основное логарифмическое тождество
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a ≠ 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического "тождества" при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.
Два очевидных следствия определения логарифма
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень - единицу.
Логарифм произведения и логарифм частного
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log
a
b
c
=
log
a
b −
log
a
c
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)
(6)
Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании "слева направо" происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного - расширение ОДЗ.
Действительно, выражение log a (f (x) g (x)) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.
Преобразуя данное выражение в сумму log a f (x) + log a g (x) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).
Степень можно выносить за знак логарифма
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть - только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.
Формула перехода к новому основанию
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.
Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Несколько простых примеров с логарифмами
Пример 1. Вычислите: lg2 + lg50.
Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.
Пример 2. Вычислите: lg125/lg5.
Решение. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).
Таблица формул, связанных с логарифмами
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
Начнем со свойства логарифма единицы . Его формулировка такова: логарифм единицы равен нулю, то есть, log a 1=0 для любого a>0 , a≠1 . Доказательство не вызывает сложностей: так как a 0 =1 для любого a , удовлетворяющего указанным выше условиям a>0 и a≠1 , то доказываемое равенство log a 1=0 сразу следует из определения логарифма.
Приведем примеры применения рассмотренного свойства: log 3 1=0 , lg1=0 и .
Переходим к следующему свойству: логарифм числа, равного основанию, равен единице , то есть, log a a=1 при a>0 , a≠1 . Действительно, так как a 1 =a для любого a , то по определению логарифма log a a=1 .
Примерами использования этого свойства логарифмов являются равенства log 5 5=1 , log 5,6 5,6 и lne=1 .
К примеру, log 2 2 7 =7 , lg10 -4 =-4 и .
Логарифм произведения двух положительных чисел x и y равен произведению логарифмов этих чисел: log a (x·y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 . Докажем свойство логарифма произведения. В силу свойств степени a log a x+log a y =a log a x ·a log a y , а так как по основному логарифмическому тождеству a log a x =x и a log a y =y , то a log a x ·a log a y =x·y . Таким образом, a log a x+log a y =x·y , откуда по определению логарифма вытекает доказываемое равенство.
Покажем примеры использования свойства логарифма произведения: log 5 (2·3)=log 5 2+log 5 3 и .
Свойство логарифма произведения можно обобщить на произведение конечного числа n положительных чисел x 1 , x 2 , …, x n как log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Данное равенство без проблем доказывается .
Например, натуральных логарифм произведения можно заменить суммой трех натуральных логарифмов чисел 4 , e , и .
Логарифм частного двух положительных чисел x и y равен разности логарифмов этих чисел. Свойству логарифма частного соответствует формула вида , где a>0 , a≠1 , x и y – некоторые положительные числа. Справедливость этой формулы доказывается как и формула логарифма произведения: так как , то по определению логарифма .
Приведем пример использования этого свойства логарифма: .
Переходим к свойству логарифма степени . Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм модуля основания этой степени. Запишем это свойство логарифма степени в виде формулы: log a b p =p·log a |b| , где a>0 , a≠1 , b и p такие числа, что степень b p имеет смысл и b p >0 .
Сначала докажем это свойство для положительных b . Основное логарифмическое тождество позволяет нам представить число b как a log a b , тогда b p =(a log a b) p , а полученное выражение в силу свойство степени равно a p·log a b . Так мы приходим к равенству b p =a p·log a b , из которого по определению логарифма заключаем, что log a b p =p·log a b .
Осталось доказать это свойство для отрицательных b . Здесь замечаем, что выражение log a b p при отрицательных b имеет смысл лишь при четных показателях степени p (так как значение степени b p должно быть больше нуля, в противном случае логарифм не будет иметь смысла), а в этом случае b p =|b| p . Тогда b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , откуда log a b p =p·log a |b| .
Например, и ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
Из предыдущего свойства вытекает свойство логарифма из корня : логарифм корня n -ой степени равен произведению дроби 1/n на логарифм подкоренного выражения, то есть, , где a>0 , a≠1 , n – натуральное число, большее единицы, b>0 .
Доказательство базируется на равенстве (смотрите ), которое справедливо для любых положительных b , и свойстве логарифма степени: .
Вот пример использования этого свойства: .
Теперь докажем формулу перехода к новому основанию логарифма вида . Для этого достаточно доказать справедливость равенства log c b=log a b·log c a . Основное логарифмическое тождество позволяет нам число b представить как a log a b , тогда log c b=log c a log a b . Осталось воспользоваться свойством логарифма степени: log c a log a b =log a b·log c a . Так доказано равенство log c b=log a b·log c a , а значит, доказана и формула перехода к новому основанию логарифма .
Покажем пару примеров применения этого свойства логарифмов: и .
Формула перехода к новому основанию позволяет переходить к работе с логарифмами, имеющими «удобное» основание. Например, с ее помощью можно перейти к натуральным или десятичным логарифмам, чтобы можно было вычислить значение логарифма по таблице логарифмов . Формула перехода к новому основанию логарифма также позволяет в некоторых случаях находить значение данного логарифма, когда известны значения некоторых логарифмов с другими основаниями.
Часто используется частный случай формулы перехода к новому основанию логарифма при c=b вида . Отсюда видно, что log a b и log b a – . К примеру, .
Также часто используется формула , которая удобна при нахождении значений логарифмов. Для подтверждения своих слов покажем, как с ее помощью вычисляется значение логарифма вида . Имеем . Для доказательства формулы достаточно воспользоваться формулой перехода к новому основанию логарифма a : .
Осталось доказать свойства сравнения логарифмов.
Докажем, что для любых положительных чисел b 1
и b 2
, b 1 log a b 2
, а при a>1
– неравенство log a b 1 Наконец, осталось доказать последнее из перечисленных свойств логарифмов. Ограничимся доказательством его первой части, то есть, докажем, что если a 1 >1
, a 2 >1
и a 1 1
справедливо log a 1 b>log a 2 b
. Остальные утверждения этого свойства логарифмов доказываются по аналогичному принципу. Воспользуемся методом от противного. Предположим, что при a 1 >1
, a 2 >1
и a 1 1
справедливо log a 1 b≤log a 2 b
. По свойствам логарифмов эти неравенства можно переписать как и соответственно, а из них следует, что log b a 1 ≤log b a 2
и log b a 1 ≥log b a 2
соответственно. Тогда по свойствам степеней с одинаковыми основаниями должны выполняться равенства b log b a 1 ≥b log b a 2
и b log b a 1 ≥b log b a 2
, то есть, a 1 ≥a 2
. Так мы пришли к противоречию условию a 1
Список литературы.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).
Что такое логарифм?
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Что такое логарифм? Как решать логарифмы? Эти вопросы многих выпускников вводят в ступор. Традиционно тема логарифмов считается сложной, непонятной и страшной. Особенно - уравнения с логарифмами.
Это абсолютно не так. Абсолютно! Не верите? Хорошо. Сейчас, за какие-то 10 - 20 минут вы:
1. Поймете, что такое логарифм .
2. Научитесь решать целый класс показательных уравнений. Даже если ничего о них не слышали.
3. Научитесь вычислять простые логарифмы.
Причём для этого вам нужно будет знать только таблицу умножения, да как возводится число в степень...
Чувствую, сомневаетесь вы... Ну ладно, засекайте время! Поехали!
Для начала решите в уме вот такое уравнение:
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
В соотношении
может быть поставлена задача отыскания любого из трех чисел по двум другим, заданным. Если даны а и то N находят действием возведения в степень. Если даны N и то а находят извлечением корня степени х (или возведением в степень ). Теперь рассмотрим случай, когда по заданным а и N требуется найти х.
Пусть число N положительно: число а положительно и не равно единице: .
Определение. Логарифмом числа N по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить число N; логарифм обозначается через
Таким образом, в равенстве (26.1) показатель степени находят как логарифм N по основанию а. Записи
имеют одинаковый смысл. Равенство (26.1) иногда называют основным тождеством теории логарифмов; в действительности оно выражает определение понятия логарифма. По данному определению основание логарифма а всегда положительно и отлично от единицы; логарифмируемое число N положительно. Отрицательные числа и нуль логарифмов не имеют. Можно доказать, что всякое число при данном основании имеет вполне определенный логарифм. Поэтому равенство влечет за собой . Заметим, что здесь существенно условие в противном случае вывод был бы не обоснован, так как равенство верно при любых значениях х и у.
Пример 1. Найти
Решение. Для получения числа следует возвести основание 2 в степень Поэтому.
Можно проводить записи при решении таких примеров в следующей форме:
Пример 2. Найти .
Решение. Имеем
В примерах 1 и 2 мы легко находили искомый логарифм, представляя логарифмируемое число как степень основания с рациональным показателем. В общем случае, например для и т. д., этого сделать не удастся, так как логарифм имеет иррациональное значение. Обратим внимание на один связанный с этим утверждением вопрос. В п. 12 мы дали понятие о возможности определения любой действительной степени данного положительного числа. Это было необходимо для введения логарифмов, которые, вообще говоря, могут быть иррациональными числами.
Рассмотрим некоторые свойства логарифмов.
Свойство 1. Если число и основание равны, то логарифм равен единице, и, обратно, если логарифм равен единице, то число и основание равны.
Доказательство. Пусть По определению логарифма имеем а откуда
Обратно, пусть Тогда по определению
Свойство 2. Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.
Доказательство. По определению логарифма (нулевая степень любого положительного основания равна единице, см. (10.1)). Отсюда
что и требовалось доказать.
Верно и обратное утверждение: если , то N = 1. Действительно, имеем .
Прежде чем сформулировать следующее свойство логарифмов, условимся говорить, что два числа а и b лежат по одну сторону от третьего числа с, если они оба либо больше с, либо меньше с. Если одно из этих чисел больше с, а другое меньше с, то будем говорить, что они лежат по разные стороны от с.
Свойство 3. Если число и основание лежат по одну сторону от единицы, то логарифм положителен; если число и основание лежат по разные стороны от единицы, то логарифм отрицателен.
Доказательство свойства 3 основано на том, что степень а больше единицы, если основание больше единицы и показатель положителен или основание меньше единицы и показатель отрицателен. Степень меньше единицы, если основание больше единицы и показатель отрицателен или основание меньше единицы и показатель положителен.
Требуется рассмотреть четыре случая:
Ограничимся разбором первого из них, остальные читатель рассмотрит самостоятельно.
Пусть тогда в равенстве показатель степени не может быть ни отрицательным, ни равным нулю, следовательно, он положителен, т. е. что и требовалось доказать.
Пример 3. Выяснить, какие из указанных ниже логарифмов положительны, какие отрицательны:
Решение, а) так как число 15 и основание 12 расположены по одну сторону от единицы;
б) , так как 1000 и 2 расположены по одну сторону от единицы; при этом несущественно, что основание больше логарифмируемого числа;
в) , так как 3,1 и 0,8 лежат по разные стороны от единицы;
г) ; почему?
д) ; почему?
Следующие свойства 4-6 часто называют правилами логарифмирования: они позволяют, зная логарифмы некоторых чисел, найти логарифмы их произведения, частного, степени каждого из них.
Свойство 4 (правило логарифмирования произведения). Логарифм произведения нескольких положительных чисел по данному основанию равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию.
Доказательство. Пусть даны положительные числа .
Для логарифма их произведения напишем определяющее логарифм равенство (26.1):
Отсюда найдем
Сравнив показатели степени первого и последнего выражений, получим требуемое равенство:
Заметим, что условие существенно; логарифм произведения двух отрицательных чисел имеет смысл, но в этом случае получим
В общем случае, если произведение нескольких сомножителей положительно, то его логарифм равен сумме логарифмов модулей этих сомножителей.
Свойство 5 (правило логарифмирования частного). Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя, взятых по тому же основанию. Доказательство. Последовательно находим
что и требовалось доказать.
Свойство 6 (правило логарифмирования степени). Логарифм степени какого-либо положительного числа равен логарифму этого числа, умноженному на показатель степени.
Доказательство. Запишем снова основное тождество (26.1) для числа :
что и требовалось доказать.
Следствие. Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного числа, деленному на показатель корня:
Доказать справедливость этого следствия можно, представив как и воспользовавшись свойством 6.
Пример 4. Прологарифмировать по основанию а:
а) (предполагается, что все величины b, с, d, е положительны);
б) (преполагается, что ).
Решение, а) Удобно перейти в данном выражении к дробным степеням:
На основании равенств (26.5)-(26.7) теперь можно записать:
Мы замечаем, что над логарифмами чисел производятся действия более простые, чем над самими числами: при умножении чисел их логарифмы складываются, при делении - вычитаются и т.д.
Именно поэтому логарифмы получили применение в вычислительной практике (см. п. 29).
Действие, обратное логарифмированию, называется потенцированием, а именно: потенцированием называется действие, с помощью которого по данному логарифму числа находится само это число. По существу потенцирование не является каким-либо особым действием: оно сводится к возведению основания в степень (равную логарифму числа). Термин «потенцирование» можно считать синонимом термина «возведенение в степень».
При потенцировании надо пользоваться правилами, обратными по отношению к правилам логарифмирования: сумму логарифмов заменить логарифмом произведения, разность логарифмов - логарифмом частного и т. д. В частности, если перед знаком логарифма находится какой-либо множитель, то его при потенцировании нужно переносить в показатель степени под знак логарифма.
Пример 5. Найти N, если известно, что
Решение. В связи с только что высказанным правилом потенцирования множители 2/3 и 1/3, стоящие перед знаками логарифмов в правой части данного равенства, перенесем в показатели степени под знаками этих логарифмов; получим
Теперь разность логарифмов заменим логарифмом частного:
для получения последней дроби в этой цепочке равенств мы предыдущую дробь освободили от иррациональности в знаменателе (п. 25).
Свойство 7. Если основание больше единицы, то большее число имеет больший логарифм (а меньшее - меньший), если основание меньше единицы, то большее число имеет меньший логарифм {а меньшее - больший).
Это свойство формулируют также и как правило логарифмирования неравенств, обе части которых положительны:
При логарифмировании неравенств по основанию, большему единицы, знак неравенства сохраняется, а при логарифмировании по основанию, меньшему единицы, знак неравенства меняется на противоположный (см. также п. 80).
Доказательство основано на свойствах 5 и 3. Рассмотрим случай, когда Если , то и, логарифмируя, получим
(а и N/М лежат по одну сторону от единицы). Отсюда
Случай а следует , читатель разберет самостоятельно.