Преобразование периодической дроби в обыкновенную. Периодическая дробь

Помните, как в самом первом уроке про десятичные дроби я говорил, что существуют числовые дроби, не представимые в виде десятичных (см. урок «Десятичные дроби »)? Мы еще учились раскладывать знаменатели дробей на множители, чтобы проверить, нет ли там чисел, отличных от 2 и 5.

Так вот: я наврал. И сегодня мы научимся переводить абсолютно любую числовую дробь в десятичную. Заодно познакомимся с целым классом дробей с бесконечной значащей частью.

Периодическая десятичная дробь - это любая десятичная дробь, у которой:

Значащая часть состоит из бесконечного количества цифр;

Через определенные интервалы цифры в значащей части повторяются.

Набор повторяющихся цифр, из которых состоит значащая часть, называется периодической частью дроби, а количество цифр в этом наборе - периодом дроби. Остальной отрезок значащей части, который не повторяется, называется непериодической частью.

Поскольку определений много, стоит подробно рассмотреть несколько таких дробей:

Эта дробь встречается в задачах чаще всего. Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 3; длина периода: 1.

Непериодическая часть: 0,58; периодическая часть: 3; длина периода: снова 1.

Непериодическая часть: 1; периодическая часть: 54; длина периода: 2.

Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 641025; длина периода: 6. Для удобства повторяющиеся части отделены друг от друга пробелом - в настоящем решении так делать не обязательно.

Непериодическая часть: 3066; периодическая часть: 6; длина периода: 1.

Как видите, определение периодической дроби основано на понятии значащей части числа . Поэтому если вы забыли что это такое, рекомендую повторить - см. урок « ».

Переход к периодической десятичной дроби

Рассмотрим обыкновенную дробь вида a /b . Разложим ее знаменатель на простые множители. Возможны два варианта:

В разложении присутствуют только множители 2 и 5. Эти дроби легко приводятся к десятичным - см. урок «Десятичные дроби ». Такие нас не интересуют;
В разложении присутствует что-то еще, кроме 2 и 5. В этом случае дробь непредставима в виде десятичной, зато из нее можно сделать периодическую десятичную дробь.

Чтобы задать периодическую десятичную дробь, надо найти ее периодическую и непериодическую часть. Как? Переведите дробь в неправильную, а затем разделите числитель на знаменатель «уголком».

При этом будет происходить следующее:

Сначала разделится целая часть , если она есть;
Возможно, будет несколько чисел после десятичной точки;
Через некоторое время цифры начнут повторяться .

Вот и все! Повторяющиеся цифры после десятичной точки обозначаем периодической частью, а то, что стоит спереди - непериодической.

Задача. Переведите обыкновенные дроби в периодические десятичные:

Все дроби без целой части, поэтому просто делим числитель на знаменатель «уголком»:

Как видим, остатки повторяются. Запишем дробь в «правильном» виде: 1,733 ... = 1,7(3).

В итоге получается дробь: 0,5833 ... = 0,58(3).

Записываем в нормальном виде: 4,0909 ... = 4,(09).

Получаем дробь: 0,4141 ... = 0,(41).

Переход от периодической десятичной дроби к обыкновенной

Рассмотрим периодическую десятичную дробь X = abc (a 1 b 1 c 1). Требуется перевести ее в классическую «двухэтажную». Для этого выполним четыре простых шага:

Найдите период дроби, т.е. подсчитайте, сколько цифр находится в периодической части. Пусть это будет число k ;
Найдите значение выражения X · 10 k . Это равносильно сдвигу десятичной точки на полный период вправо - см. урок «Умножение и деление десятичных дробей »;
Из полученного числа надо вычесть исходное выражение. При этом периодическая часть «сжигается», и остается обычная дробь ;
В полученном уравнении найти X . Все десятичные дроби переводим в обыкновенные.

Задача. Приведите к обыкновенной неправильной дроби числа:

9,(6);
32,(39);
0,30(5);
0,(2475).

Работаем с первой дробью: X = 9,(6) = 9,666 ...

В скобках содержится лишь одна цифра, поэтому период k = 1. Далее умножаем эту дробь на 10 k = 10 1 = 10. Имеем:

10X = 10 · 9,6666 ... = 96,666 ...

Вычитаем исходную дробь и решаем уравнение:

10X − X = 96,666 ... − 9,666 ... = 96 − 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Теперь разберемся со второй дробью. Итак, X = 32,(39) = 32,393939 ...

Период k = 2, поэтому умножаем все на 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Снова вычитаем исходную дробь и решаем уравнение:

100X − X = 3239,3939 ... − 32,3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Приступаем к третьей дроби: X = 0,30(5) = 0,30555 ... Схема та же самая, поэтому я просто приведу выкладки:

Период k = 1 ⇒ умножаем все на 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 · 0,30555 ... = 3,05555 ...
10X − X = 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

Наконец, последняя дробь: X = 0,(2475) = 0,2475 2475 ... Опять же, для удобства периодические части отделены друг от друга пробелами. Имеем:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10 000;
10 000X = 10 000 · 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10 000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Чтобы рациональное число m/n записать в виде десятичной дроби, нужно числитель разделить на знаменатель. При этом частное записывается конечной или бесконечной десятичной дробью.

Записать данное число в виде десятичной дроби.

Решение. Разделим в столбик числитель каждой дроби на ее знаменатель: а) делим 6 на 25; б) делим 2 на 3; в) делим 1 на 2, а затем получившуюся дробь припишем к единице — целой части данного смешанного числа.

Несократимые обыкновенные дроби, знаменатели которых не содержат других простых делителей, кроме 2 и 5 , записываются конечной десятичной дробью.

В примере 1 в случае а) знаменатель 25=5·5; в случае в) знаменатель равен 2, поэтому, мы получили конечные десятичные дроби 0,24 и 1,5 . В случае б) знаменатель равен 3, поэтому результат нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.

А можно ли без деления в столбик обратить в десятичную дробь такую обыкновенную дробь, знаменатель которой не содержит других делителей, кроме 2 и 5? Разберемся! Какую дробь называют десятичной и записывают без дробной черты? Ответ: дробь со знаменателем 10; 100; 1000 и т.д. А каждое из этих чисел — это произведение равного количества «двоек» и «пятерок». На самом деле: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 и т.д.

Следовательно, знаменатель несократимой обыкновенной дроби нужно будет представить в виде произведения «двоек» и «пятерок», а затем домножить на 2 и (или) на 5 так, чтобы «двоек» и «пятерок» стало поровну. Тогда знаменатель дроби будет равен 10 или 100 или 1000 и т.д. Чтобы значение дроби не изменилось — числитель дроби умножим на то же число, на которое умножили знаменатель.

Представить в виде десятичной дроби следующие обыкновенные дроби:

Решение. Каждая из данных дробей является несократимой. Разложим знаменатель каждой дроби на простые множители.

20=2·2·5. Вывод: не хватает одной «пятерки».

8=2·2·2. Вывод: не хватает трех «пятерок».

25=5·5. Вывод: не хватает двух «двоек».

Замечание. На практике чаще не используют разложение знаменателя на множители, а просто задаются вопросом: на сколько нужно умножить знаменатель, чтобы в результате получилась единица с нулями (10 или 100 или 1000 и т.д.). А затем на это же число умножают и числитель.

Так, в случае а) (пример 2 ) из числа 20 можно получить 100 умножением на 5, поэтому, на 5 нужно умножить числитель и знаменатель.

В случае б) (пример 2 ) из числа 8 число 100 не получится, но получится число 1000 умножением на 125. На 125 умножается и числитель (3) и знаменатель (8) дроби.

В случае в) (пример 2 ) из 25 получится 100, если умножить на 4. Значит, и числитель 8 нужно умножить на 4.

Бесконечная десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр неизменно повторяются в одной и той же последовательности, называется периодической десятичной дробью. Совокупность повторяющихся цифр называется периодом этой дроби. Для краткости период дроби записывают один раз, заключая его в круглые скобки.

В случае б) (пример 1 ) повторяющаяся цифра одна и равна 6. Поэтому, наш результат 0,66... запишется так: 0,(6) . Читают: нуль целых, шесть в периоде.

Если между запятой и первым периодом есть одна или несколько не повторяющихся цифр, то такая периодическая дробь называется смешанной периодической дробью.

Несократимая обыкновенная дробь, знаменатель которой вместе с другими множителями содержит множитель 2 или 5 , обращается в смешанную периодическую дробь.

Записать в виде десятичной дроби числа:

Любое рациональное число можно записать в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Записать в виде бесконечной периодической дроби числа.

Что если они знают теорию рядов, то значит без неё никаких метаматических понятий вводить нельзя. Более того, эти люди полагают, что тот, кто не использует её повсеместно, - невежда. Оставим воззрения этих людей на их совести. Давайте лучше разберёмся с тем, что такое бесконечная периодическая дробь и как с ней быть нам, необразованным людям, не знающим пределов.

Поделим 237 на 5. Нет, не нужно запускать «Калькулятор». Давайте лучше вспомним среднюю (или даже начальную?) школу и просто поделим столбиком:

Ну как, вспомнили? Тогда можно и к делу переходить.

Понятие «дробь» в математике имеет два значения:

Нецелое число.
Форма записи нецелого числа.

Существует два вида дробей - в смысле, две формы записи нецелых чисел:

Простые (или вертикальные ) дроби, вроде 1/2 или 237/5.
Десятичные дроби, например, 0,5 или 47,4.

Заметим, что вообще само использование дроби-записи не означает, что записанное есть дробь-число, например 3/3 или 7,0 - не дроби в первом смысле слова, но во втором, конечно, дроби.

В математике, вообще искони принят счёт десятичный, а потому и десятичные дроби удобнее простых, т. е. дробь с десятичным знаменателем (Владимир Даль. Толковый словарь живого великорусского языка. «Десять»).

А раз так, то хочется всякую дробь вертикальную сделать десятичной («горизонтальной»). А для этого нужно просто-напросто числитель поделить на знаменатель. Возьмём, например, дробь 1/3 и попробуем сделать из неё десятичную.

Даже совсем необразованный заметит: сколько ни дели - не разделится: так и будут тройки до бесконечности появляться. Так и запишем: 0,33... Имеем в виду при этом «число, которое получается, когда делишь 1 на 3», или, короче, «одна третья». Естественно, что одна третья - дробь в первом смысле слова, а «1/3» и «0,33...» - дроби во втором смысле слова, то есть формы записи числа, которое находится на числовой прямой на таком расстоянии от нуля, что если трижды его отложить, получится единица.

Теперь попробуем разделить 5 на 6:

Снова запишем: 0,833... Имеем в виду «число, которое получается, когда делишь 5 на 6», или, короче, «пять шестых». Однако, тут возникает путаница: имеется ли в виду 0,83333 (и дальше тройки повторяются), или же 0,833833 (и дальше 833 повторяется). Поэтому запись с многоточием нас не устраивает: непонятно, откуда начинается повтряющаяся часть (она называется «период»). Поэтому период мы будем брать в скобки, вот так: 0,(3); 0,8(3).

0,(3) не просто равно одной третьей, это есть одна третья, ведь мы специально эту запись придумали, чтобы представлять это число в виде десятичной дроби.

Эта запись и называется бесконечной периодической дробью , или просто периодической дробью.

Всегда, когда мы делим одно число на другое, если не получается дробь конечная, то получается дробь бесконечная периодическая, то есть обязательно когда-нибудь последовательности цифр начнут повторяться. Почему это так можно понять чисто умозрительно, посмотрев внимательно на алгоритм деления столбиком:

В местах, обозначенных галочками, не могут всё время получаться разные пары чисел (потому, что таких пар в принципе конечное множество). А как только там появится такая пара, которая уже была, разность тоже будет такой же - и дальше весь процесс начнёт повторяться. Нет нужды проверять это, ведь совершенно очевидно, что при повторении тех же действий результаты будут те же.

Теперь, когда мы хорошо понимаем суть периодической дроби, давайте попробуем умножить одну треть на три. Да, получится, конечно, один, но давайте запишем эту дробь в десятичной форме и умножим столбиком (двусмыслицы из-за многоточия здесь не возникает, так как все цифры после запятой одинаковые):

И снова мы замечаем, что всё время будут после запятой появляться девятки, девятки и девятки. То есть, используя, обратно, скобочную запись, мы получим 0,(9). Поскольку мы знаем, что произведение одной трети и трёх есть единица, то 0,(9) - это такая вот причудливая форма записи единицы. Однако использовать такую форму записи нецелесообразно, ведь единица прекрасно записывается и без использования периода, вот так: 1.

Как видим, 0,(9) - это один из тех случаев, когда целое число записано в форме дроби, вроде 3/3 или 7,0. То есть, 0,(9) - это дробь лишь во втором смысле слова, но никак не в первом.

Вот так, безо всяких пределов и рядов мы разобрались с тем, что такое 0,(9) и как с ним бороться.

Но всё же вспомним о том, что на самом-то деле мы умные и изучали анализ. Действительно, трудно отрицать, что:

Но, пожалуй, никто не будет спорить и с тем, что:

Всё это, конечно, верно. Действительно, 0,(9) является и суммой приведённого ряда, и удвоенным синусом указанного угла, и натуральным логарифмом числа Эйлера.

Но ни то, ни другое, ни третье не является определением.

Утверждать, что 0,(9) - сумма бесконечного ряда 9/(10 n), при n от единицы, - это всё равно, что утверждать, что синус - это сумма бесконечного ряда Тейлора:

Это совершенно верно , и это является важнейшим фактом для вычислительной математики, но это не определение, и, что самое главное, это ничуть не приближает человека к пониманию сути синуса. Суть же синуса некоторого угла состоит в том, что это всего навсего отношение противолежащего углу катета к гипотенузе.

Дак вот, периодическая дробь - это всего навсего десятичная дробь, которая получается, когда при делении столбиком один и тот же набор цифр повторется. Анализа тут нет и в помине.

И вот тут-то возникает вопрос: откуда вообще мы взяли число 0,(9)? Что на что мы делим столбиком, чтобы его получить? Действительно, нет таких чисел, при делении которых друг на друга столбиком мы бы имели бесконечно появляющиеся девятки. Но нам же удалось получить это число, умножая столбиком 0,(3) на 3? Не совсем. Ведь умножать нужно справа налево, чтобы корректно учитывать переносы разрядов, а мы это делали слева направо, хитро воспользовавшись тем, что переносов нигде всё равно не возникает. Поэтому правомерность записи 0,(9) зависит от того, признаём ли мы правомерность такого умножения столбиком или нет.

Следовательно, можно вообще сказать, что запись 0,(9) некорректна - и в определённой степени быть правым. Однако, поскольку нотация a ,(b ) принята, то просто некрасиво отказываться от неё при b = 9; лучше определиться с тем, что такая запись означает. Так что, если мы вообще принимаем запись 0,(9), то эта запись, конечно, означает число один.

Осталось лишь добавить, что если бы мы использовали, скажем, троичную систему счисления, то при делении столбиком единицы (1 3) на тройку (10 3) получилось бы 0,1 3 (читается «ноль целых одна третья»), а при делении единицы на двойку получилось бы 0,(1) 3 .

Так что периодичность дроби-записи - это не объективная какая-то характеристика дроби-числа, а всего лишь побочный эффект использования той или иной системы счисления.

Как известно, множество рациональных чисел (Q) включает в себя множества целых чисел (Z), которое в свою очередь включает множество натуральных чисел (N). Помимо целых чисел в рациональные числа входят дроби.

Почему же тогда все множество рациональных чисел рассматривают иногда как бесконечные десятичные периодические дроби? Ведь кроме дробей, они включают и целые числа, а также непериодические дроби.

Дело в том, что все целые числа, а также любую дробь можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. То есть для всех рациональных чисел можно использовать одинаковый способ записи.

Как представляется бесконечная периодическая десятичная дробь? В ней повторяющуюся группу цифр после запятой берут в скобки. Например, 1,56(12) - это дробь, у которой повторяется группа цифр 12, т. е. дробь имеет значение 1,561212121212... и так без конца. Повторяющаяся группа цифр называется периодом.

Однако в подобном виде мы можем представить любое число, если будем считать его периодом цифру 0, которая также повторяется без конца. Например, число 2 - это то же самое, что 2,00000.... Следовательно, его можно записать в виде бесконечной периодической дроби, т. е. 2,(0).

То же самое можно сделать и с любой конечной дробью. Например:

0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)

Однако на практике не используют преобразование конечной дроби в бесконечную периодическую. Поэтому разделяют конечные дроби и бесконечные периодические. Таким образом, правильнее говорить, что к рациональным числам принадлежат

все целые числа,
конечные дроби,
бесконечные периодические дроби.

При этом просто помнят, что целые числа и конечные дроби представимы в теории в виде бесконечных периодических дробей.

С другой стороны, понятия конечной и бесконечной дроби употребимы к десятичным дробям. Если говорить об обыкновенных дробях, то как конечную, так и бесконечную десятичную дробь можно однозначно представить в виде обыкновенной дроби. Значит, с точки зрения обыкновенных дробей, периодические и конечные дроби - это одно и то же. Кроме того, целые числа также могут быть представлены в виде обыкновенной дроби, если представить, что мы делим это число на 1.

Как представить десятичную бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной? Чаще используют примерно такой алгоритм:

Приводят дробь к виду, чтобы после запятой оказался только период.
Умножают бесконечную периодическую дробь на 10 или 100 или … так, чтобы запятая передвинулась вправо на один период (т. е. один период оказался в целой части).
Приравнивают исходную дробь (a) переменной x, а полученную путем умножения на число N дробь (b) - к Nx.
Из Nx вычитают x. Из b вычитаю a. Т. е. составляют уравнение Nx – x = b – a.
При решении уравнения получается обыкновенная дробь.

Пример перевода бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь:
x = 1,13333...
10x = 11,3333...
10x * 10 = 11,33333... * 10
100x = 113,3333...
100x – 10x = 113,3333... – 11,3333...
90x = 102
x =

Бывает, что для удобства расчетов нужно перевести обыкновенную дробь в десятичную и наоборот. О том, как это делать, мы поговорим в данной статье. Разберем правила перевода обыкновенных дробей в десятичные и обратно, а также приведем примеры.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Мы будем рассматривать перевод обыкновенных дробей в десятичные, придерживаясь определенной последовательности. Во первых, рассмотрим, как в десятичные переводятся обыкновенные дроби со знаменателем, кратным 10: 10, 100, 1000 и т.д.Дроби с такими знаменателями, по сути, являются, более громоздкой записью десятичных дробей.

Далее мы рассмотрим, как переводить в десятичные дроби обыкновенные дроби с любым, не только кратным 10, знаменателем. Отметим, что при обращении обыкновенных дробей в десятичные получаются не только конечные десятичные, но и бесконечные периодические десятичные дроби.

Приступим!

Перевод обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д. в десятичные дроби

Первым делом, скажем, что некоторые дроби нуждаются в определенной подготовке перед обращением в десятичный вид. В чем она заключается? Перед цифрой, стоящей в числителе, необходимо дописать столько нулей, чтобы количество цифр числителя стало равно числу нулей в знаменателе. Например, для дроби 3100 число 0 необходимо один раз дописать слева от 3 в числителе. Дробь 610, согласно изложенному выше правилу, не нуждается в доработке.

Рассмотрим еще один пример, после чего сформулируем правило, которым особенно удобно пользоваться на первых порах, пока опыта в обращении дробей не так много. Так, дробь 1610000 после дописывания нулей в числителе будет иметь вид 001510000.

Как перевести обыкновенную дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д. в десятичную?

Правило перевода обыкновенных правильных дробей в десятичные

Записываем 0 и ставим после него запятую.
Записываем число из числителя, которое получилось после дописывания нулей.

Теперь перейдем к примерам.

Пример 1. Перевод обыкновенных дробей в десятичные

Переведем обыкновенную дробь 39 100 в десятичную.

Сначала смотрим на дробь и видим, что никаких подготовительных действий проводить не нужно - количество цифр в числителе совпадает с количеством нулей в знаменателе.

Следуя правилу, записываем 0 , ставим после него десятичную запятую и записываем число из числителя. Получаем десятичную дробь 0 , 39 .

Разберем решение еще одного примера по этой теме.

Пример 2. Перевод обыкновенных дробей в десятичные

Запишем дробь 105 10000000 в виде десятичной дроби.

Количество нулей в знаменателе равно 7 , а в числителе только три цифры. Допишем перед числом в числителе еще 4 нуля:

0000105 10000000

Теперь записываем 0 , ставим после него десятичную запятую и записываем число из числителя. Получаем десятичную дробь 0 , 0000105 .

Рассмотренные во всех примерах дроби - обыкновенные правильные дроби. Но как перевести неправильную обыкновенную дробь в десятичную? Сразу скажем, что необходимость в подготовке с дописыванием нулей для таких дробей отпадает. Сформулируем правило.

Правило перевода обыкновенных неправильных дробей в десятичные

Записываем число, которое находится в числителе.
Десятичной запятой отделяем столько цифр справа, сколько нулей есть в знаменателе исходной обыкновенной дроби.

Ниже приведем пример на использование этого правила.

Пример 3. Перевод обыкновенных дробей в десятичные

Переведем дробь 56888038009 100000 из обыкновенной неправильной в десятичную.

Сначала запишем число из числителя:

Теперь справа отделим десятичной запятой пять цифр (количество нулей в знаменателе - пять). Получим:

Следующий вопрос, который закономерно возникает: как перевести в десятичную дробь смешанное число, если знаменателем его дробной части является число 10, 100, 1000 и т.д. Для обращения в десятичную дробь такого числа можно воспользоваться следующим правилом.

Правило перевода смешанных чисел в десятичные дроби

Выполняем подготовку дробной части числа, если это необходимо.
Записываем целую часть исходного числа и ставим после него запятую.
Записываем число из числителя дробной части вместе с дописанными нулями.

Обратимся к примеру.

Пример 4. Перевод смешанных чисел в десятичные дроби

Переведем смешанное число 23 17 10000 в десятичную дробь.

В дробной части имеем выражение 17 10000 . Выполним его подготовку и допишем слева от числителя еще два нуля. Получим: 0017 10000 .

Теперь записываем целую часть числа и ставим после него запятую: 23 , . .

После запятой записываем число из числителя вместе с нулями. Получаем результат:

23 17 10000 = 23 , 0017

Перевод обыкновенных дробей в конечные и бесконечные периодические дроби

Конечно, можно переводить в десятичные дроби и обыкновенные дроби со знаменателем, не равным 10, 100, 1000 и т.д.

Часто дробь можно легко привести к новому знаменателю, а затем уже воспользоваться правилом, изложенным в первом пункте данной статьи. Например, достаточно умножить числитель и знаменатель дроби 25 на 2, и мы получим дробь 410, которая легко приводится к десятичному виду 0,4.

Однако такой способ перевода обыкновенной дроби в десятичную удается использовать не всегда. Ниже рассмотрим, как поступать, если применить рассмотренный способ невозможно.

Принципиально новый способ обращения обыкновенной дроби в десятичную сводится к делению числителя на знаменатель столбиком. Эта операция очень похожа на деление натуральных чисел столбиком, но имеет свои особенности.

Числитель при делении представляется в виде десятичной дроби - справа от последней цифры числителя ставится запятая и дописываются нули. В получившемся частном десятичная запятая ставится тогда, когда заканчивается деление целой части числителя. Как именно работает этот способ, станет понятно после рассмотрения примеров.

Пример 5. Перевод обыкновенных дробей в десятичные

Переведем обыкновенную дробь 621 4 в десятичный вид.

Представим число 621 из числителя в виде десятичной дроби, добавив после запятой несколько нулей. 621 = 621 , 00

Теперь разделим столбиком 621 , 00 на 4 . Первые три шага деления будут такими же, как при делении натуральных чисел, и мы получим.

Когда мы добрались до десятичной запятой в делимом, а остаток отличен от нуля, ставим в частном десятичную запятую, и продолжаем делить, не обращая более внимания на запятую в делимом.

В итоге мы получаем десятичную дробь 155 , 25 , которая и является результатом обращения обыкновенной дроби 621 4

621 4 = 155 , 25

Рассмотрим решение еще одного примера, чтобы закрепить материал.

Пример 6. Перевод обыкновенных дробей в десятичные

Обратим обыкновенную дробь 21 800 .

Для этого в столбик разделим дробь 21 , 000 на 800 . Деление целой части закончится на первом же шаге, поэтому сразу после него ставим в частном десятичную запятую и продолжаем деление, не обращая внимания на запятую в делимом до того момента, пока не получим остаток, равный нулю.

В результате мы получили: 21 800 = 0 , 02625 .

Но как быть, если при делении мы так и не получим в остатке 0. В таких случаях деление можно продолжать бесконечно долго. Однако, начиная с определенного шага, остатки будут периодически повторяться. Соответственно, будут повторяться и цифры в частном. Это значит, что обыкновенная дробь переводится в десятичную бесконечную периодическую дробь. Проиллюстрируем сказанное на примере.

Пример 7. Перевод обыкновенных дробей в десятичные

Обратим обыкновенную дробь 19 44 в десятичную. Для этого выполним деление столбиком.

Мы видим, что при делении повторяются остатки 8 и 36 . При этом в частном повторяются цифры 1 и 8 . Это и есть период в десятичной дроби. При записи эти цифры берутся в скобки.

Таким образом, исходная обыкновенная дробь переведена в бесконечную периодическую десятичную дробь.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Пусть перед нами несократимая обыкновенная дробь. К какому виду она приведется? Какие обыкновенные дроби переводятся в конечные десятичные, а какие - в бесконечные периодические?

Во первых, скажем, что если дробь удается привести к одному из знаменателей 10, 100, 1000.., то она будет иметь вид конечной десятичной дроби. Чтобы дробь приводилась к одному из таких знаменателей, ее знаменатель должен быть делителем хотя бы одного из чисел 10, 100, 1000 и т.д. Из правил разложения чисел на простые множители следует, что делитель чисел 10, 100, 1000 и т.д. должен, при разложении на простые множители, содержать лишь числа 2 и 5.

Подытожим сказанное:

Обыкновенную дробь можно привести к виду конечной десятичной дроби, если ее знаменатель можно разложить на простые множители 2 и 5.
Если кроме чисел 2 и 5 в разложении знаменателя присутствуют другие простые числа, дробь приводится к виду бесконечной периодической десятичной дроби.

Приведем пример.

Пример 8. Перевод обыкновенных дробей в десятичные

Какая из данных дробей 47 20 , 7 12 , 21 56 , 31 17 переводится в конечную десятичную дробь, а какая - только в периодическую. Дадим ответ на этот вопрос, не выполняя непосредственно перевода обыкновенной дроби в десятичную.

Дробь 47 20 , как легко заметить, умножением числителя и знаменателя на 5 приводится к новому знаменателю 100 .

47 20 = 235 100 . Отсюда делаем вывод, что данная дробь переводится в конечную десятичную дробь.

Разложение знаменателя дроби 7 12 на множители дает 12 = 2 · 2 · 3 . Так как простой множитель 3 отличен от 2 и от 5 , данная дробь не может быть представлена в виде конечной десятичной дроби, а будет иметь вид бесконечной периодической дроби.

Дробь 21 56 , во-первых, нужно сократить. После сокращения на 7 получим несократимую дробь 3 8 , разложение знаменателя которой на множители дает 8 = 2 · 2 · 2 . Следовательно, это конечная десятичная дробь.

В случае с дробью 31 17 разложение знаменателя на множители представляет собой само простое число 17 . Соответственно, эту дробь можно обратить в бесконечную периодическую десятичную дробь.

Обыкновенную дробь нельзя перевести в бесконечную и непериодическую десятичную дробь

Выше мы говорили только о конечных и бесконечных периодических дробях. Но может ли какая-либо обыкновенная дробь быть обращена в вид бесконечной непериодической дроби?

Отвечаем: нет!

Важно!

При переводе бесконечной дроби в десятичную получается либо конечная десятичная дробь, либо бесконечная периодическая десятичная дробь.

Остаток от деления всегда меньше делителя. Другими словами, согласно теореме о делимости, если мы делим какое-то натуральное число на число q, то остаток деления в любом случае не может быть больше, чем q-1. После окончания деления возможна одна из следующих ситуаций:

Мы получаем в остатке 0, и на этом деление заканчивается.
Мы получаем остаток, который при последующем делении повторяется, в результате мы имеем бесконечную периодическую дробь.

Иных вариантов при обращении обыкновенной дроби в десятичную не может быть. Скажем также, что длина периода (количество цифр) в бесконечной периодической дроби всегда меньше, чем число цифр в знаменателе соответствующей обыкновенной дроби.

Перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби

Теперь пришло время рассмотреть обратный процесс перевода десятичной дроби в обыкновенную. Сформулируем правило перевода, которое включает три этапа. Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?

Правило перевода десятичных дробей в обыкновенные дроби

В числитель записываем число из исходной десятичной дроби, отбросив запятую и все нули слева, если они есть.
В знаменатель записываем единицу и за ней столько нулей, сколько цифр есть в исходной десятичной дроби после запятой.
При необходимости сокращаем полученную обыкновенную дробь.

Рассмотрим применение данного правила на примерах.

Пример 8. Перевод десятичных дробей в обыкновенные

Представим число 3 , 025 в виде обыкновенной дроби.

В числитель записываем саму десятичную дробь, отбросив запятую: 3025 .
В знаменателе пишем единицу, а после нее три нуля - именно столько цифр содержится в исходной дроби после запятой: 3025 1000 .
Полученную дробь 3025 1000 можно сократить на 25 , в результате чего мы получим: 3025 1000 = 121 40 .

Пример 9. Перевод десятичных дробей в обыкновенные

Переведем дробь 0 , 0017 из десятичных в обыкновенные.

В числителе запишем дробь 0 , 0017 , отбросив запятую и нули слева. Получится 17 .
В знаменатель записываем единицу, а после нее пишем четыре нуля: 17 10000 . Данная дробь несократима.

Если в десятичной дроби есть целая часть, то такую дробь можно сразу перевести в смешанное число. Как это сделать?

Сформулируем еще одно правило.

Правило перевода десятичных дробей в смешанные числа.

Число, стоящее в дроби до запятой, записываем как целая часть смешанного числа.
В числителе записываем число, стоящее в дроби после запятой, отбросив нули слева, если они есть.
В знаменателе дробной части дописываем единицу и столько нулей, сколько цифр есть в дробной части после запятой.

Обратимся к примеру

Пример 10. Перевод десятичной дроби в смешанное число

Представим дробь 155 , 06005 в виде смешанного числа.

Записываем число 155 , как целую часть.
В числителе записываем цифры после запятой, отбросив нуль.
В знаменателе записываем единицу и пять нулей

Поучаем смешанное число: 155 6005 100000

Дробную часть можно сократить на 5 . Сокращаем, и получаем финальный результат:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Перевод бесконечных периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби

Разберем на примерах, как осуществлять перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные. Прежде чем начать, уточним: любую периодическую десятичную дробь можно перевести в обыкновенную.

Самый простой случай - период дроби равен нулю. Периодическая дробь с нулевым периодом заменяется на конечную десятичную дробь, а процесс обращения такой дроби сводится к обращению конечной десятичной дроби.

Пример 11. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

Обратим периодическую дробь 3 , 75 (0) .

Отбросив нули справа, получим конечную десятичную дробь 3 , 75 .

Обращая данную дробь в обыкновенную по алгоритму, разобранному в предыдущих пунктах, получаем:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Как быть, если период дроби отличен от нуля? Периодическую часть следует рассматривать как сумму членов геометрический прогрессии, которая убывает. Поясним это на примере:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Для суммы членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии существует формула. Если первый член прогрессии равен b , а знаменатель q таков, что 0 < q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Рассмотрим несколько примеров с применением данной формулы.

Пример 12. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

Пусть у нас есть периодическая дробь 0 , (8) и нам нужно перевести ее в обыкновенную.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Здесь мы имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию с первым членом 0 , 8 и знаменателем 0 , 1 .

Применим формулу:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Это и есть искомая обыкновенная дробь.

Для закрепления материала рассмотрим еще один пример.

Пример 13. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

Обратим дробь 0 , 43 (18) .

Сначала записываем дробь в виде бесконечной суммы: