Сфера и ее свойства. Основные геометрические формулы

Определение.

Сфера (поверхность шара ) - это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром сферы (О).

Сферу можно описать, как объёмную фигуру, которая образуется вращением окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Определение.

Шар - это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, расстояние от которых не превышает определенного расстояния до точки, называемой центром шара (О) (совокупность всех точек трехмерного пространства ограниченных сферой).

Шар можно описать как объёмную фигуру, которая образуется вращением круга вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Определение. Радиус сферы (шара) (R) - это расстояние от центра сферы (шара) O к любой точке сферы (поверхности шара).

Определение. Диаметр сферы (шара) (D) - это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара) и проходящий через ее центр.

Формула. Объём шара :

V =	4	π R 3 =	1	π D 3
	3		6

Формула. Площадь поверхности сферы через радиус или диаметр:

S = 4π R 2 = π D 2

Уравнение сферы

1. Уравнение сферы с радиусом R и центром в начале декартовой системе координат :

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Уравнение сферы с радиусом R и центром в точке с координатами (x 0 , y 0 , z 0) в декартовой системе координат :

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Определение. Диаметрально противоположными точками называются любые две точки на поверхности шара (сфере), которые соединены диаметром.

Основные свойства сферы и шара

1. Все точки сферы одинаково удалены от центра.

2. Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.

3. Любое сечение шара плоскостью есть кругом.

4. Сфера имеет наибольший объём среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности.

5. Через любые две диаметрально противоположные точки можно провести множество больших окружностей для сферы или кругов для шара.

6. Через любые две точки, кроме диаметрально противоположных точек, можно провести только одну большую окружность для сферы или большой круг для шара.

7. Любые два больших круга одного шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, а окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.

8. Если расстояние между центрами любых двух шаров меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие шары пересекаются , а в плоскости пересечения образуется круг.

Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства

Определение. Секущая сферы - это прямая, которая пересекает сферу в двух точках. Точки пересечения называются точками протыкания поверхности или точками входа и выхода на поверхности.

Определение. Хорда сферы (шара) - это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара).

Определение. Секущая плоскость - это плоскость, которая пересекает сферу.

Определение. Диаметральная плоскость - это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или шара, сеченме образует соответственно большую окружность и большой круг . Большая окружность и большой круг имеют центр, который совпадают с центром сферы (шара).

Любая хорда, проходящая через центр сферы (шара) является диаметром.

Хорда является отрезком секущей прямой.

Расстояние d от центра сферы до секущей всегда меньше чем радиус сферы:

d < R

Расстояние m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:

m < R

Местом сечения секущей плоскости на сфере всегда будет малая окружность , а на шаре местом сечения будет малый круг . Малая окружность и малый круг имеют свои центры, не совпадающих с центром сферы (шара). Радиус r такого круга можно найти по формуле:

r = √R 2 - m 2 ,

Где R - радиус сферы (шара), m - расстояние от центра шара до секущей плоскости.

Определение. Полусфера (полушар) - это половина сферы (шара), которая образуется при ее сечении диаметральной плоскостью.

Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства

Определение. Касательная к сфере - это прямая, которая касается сферы только в одной точке.

Определение. Касательная плоскость к сфере - это плоскость, которая соприкасается со сферой только в одной точке.

Касательная пряма (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы проведенному к точке соприкосновения

Расстояние от центра сферы до касательной прямой (плоскости) равно радиусу сферы.

Определение. Сегмент шара - это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.

Формула. Площадь внешней поверхности сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:

S = 2π Rh

Сфера и шар

Слово «сфера» произошло от греческого слова «сфайра», которое переводится на русский язык как «мяч».

ШАР-символ будущего.

Символ шара-глобальность шара Земли. Символ будущего, он отличается от креста тем, что последний олицетворяет собой страдание и человеческую смерть. В Древнем Египте впервые пришли к заключению, что земля шарообразна. Это предположение послужило основой для многочисленных размышлений о бессмертии земли и возможности бессмертия населяющих ее живых организмах.

Человек, держащий шар в руках, символизирует субъекта, несущего тяготы мира Не случайно подобными скульптурами украшены некоторые вокзалы Западной Европы, например в Хельсинки: здесь запечатлены тяготы, выпадающие на плечи путешественника.

Таким образом, шар и глобус - это знаки промысла, проведения, вечности, власти и могущество коронованных особ

Каменное полушарие сферы воплощается в религиозных храмах - куполах православных церквей в России; ступах, связанных с местом пребывания бодхисаттв в Индии. В Индонезии ступы приобрели форму колокола с каменным шпилем наверху и называются дагобы.

В греко-римской мифологии шар символизировал удачу, судьбу, ассоциируясь с Тихэ (Фортуной), стоящей на шаре. Знаменитая картина Пикассо «Девочка на шаре» - танцующая Фортуна.

Форма шара в природе Многие ягоды имеют форму шара.

Планеты имеют форму шара.

Некоторые деревья имеют сферическую форму.

Определение сферы Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки

Сфера –это поверхность, полученная вращением полуокружности вокруг диаметра

Данная точка (О) называется центром сферы. Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, называется радиусом сферы (R-радиус сферы). Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы. Очевидно, что диаметр сферы равен 2R.

Определение шара Шар – это тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки (или фигура, ограниченная сферой). Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара.

Шаровой сегмент Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой - нибудь плоскостью.

Шаровой слой Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями.

Шаровой сектор Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим 900, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов.

Плоскость,проходящая через центр шара,называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом,а сечение сферы - большой окружностью. Сечение шара

Закрепляем Решите задачу № 573, №574 (а)

Уравнение сферы в прямоугольной системе координат M(x;y;z)-произвольная точка, принадлежащая сфере. /MC/= v(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 т.к. MC=R, то (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2

Задание 1.Найдите координаты центра и радиуса сферы, заданной уравнением: x?+y?+z?=49 (X-3)?+(y+2)?+z?=2 2. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если A(2;-4;7) R=3 A(0;0;0) R=v2 A(2;0;0) R=4 3. Решите задачу №577(а)

Взаимное расположение сферы и плоскости Обозначим радиус сферы буквой R, а расстояние от ее центра до плоскости?-буквой d. Введем систему координат так, чтобы плоскость Oxy совпадала с плоскостью?, а центр С сферы лежал на положительной полуоси Oz.

В этой системе координат точка C (о;о;d), поэтому сфера имеет уравнение x2+y2+(z-d)2=R? Плоскость совпадает с координатной плоскостью Oxy, и поэтому ее уравнение имеет вид z=0

Таким образом вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости сводится к исследованию системы уравнений. Подставив z=0 во второе уравнение, получим x?+y?=R?-d? Возможны 3 случая:

x?+y?=R?-d? Если d>R, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

x?+y?=R?-d? Если d=R, то сфера и плоскость именуют только одну общую точку. В этом случае? называют касательной плоскостью к сфере

x?+y?=R?-d? Если d

Закрепляем Решите задачу №580, №581

Касательная плоскость к сфере Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания А плоскости и сферы.

Теорема:Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости. Доказательство: Рассмотрим плоскость?, касающуюся сферы с центром О в точке А. Докажем, что ОА перпендикулярен?. Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к плоскости?, и, следовательно расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы. Поэтому сфера и плоскость пересекаются по окружности. Это противоречит тому, что-касательная, т.е. сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Полученное противоречие доказывает, что ОА перпендикулярен?.

Обратная теорема:Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Закрепляем Решите задачу № 592

Площадь сферы Сферу нельзя развернуть на плоскость! Описанным около сферы многогранником называется многогранник, всех граней которого которого касается сфера. Сфера называется вписанной в многогранник

Задание: Площадь сечения сферы, проходящего через её центр, равна 9м2. Найдите площадь сферы. Решение: Сечение, проходящее через центр сферы есть окружность. Sсеч =?r2, 9= ?R2, R=v9/? . Sсферы=4 ?r2 , Sсферы=4? · 9/? =36м2

В главе 2 мы продолжим “строительную геометрию" и расскажем о строении и свойствах важнейших пространственных фигур - шара и сферы, цилиндров и конусов, призм и пирамид. Большинство предметов, созданных руками человека, - здания, машины, мебель, посуда и т.д., и т.п., состоит из частей, имеющих форму этих фигур.

§ 4. СФЕРА И ШАР

После прямых и плоскостей сфера и шар - самые простые, но очень важные и богатые разнообразными свойствами пространственные фигуры. О геометрических свойствах шара и его поверхности - сферы - написаны целые книги. Некоторые из этих свойств были известны еще древнегреческим геометрам, а некоторые найдены совсем недавно, в последние годы. Эти свойства (вместе с законами естествознания) объясняют, почему, например, форму шара имеют небесные тела и икринки рыб, почему в форме шара делают батискафы и футбольные мячи, почему так распространены в технике шарикоподшипники и т.д. Мы можем доказать лишь самые простые свойства шара. Доказательства других, хотя и очень важных свойств, часто требуют применения совсем не элементарных методов, хотя формулировки таких свойств могут быть очень простыми: например, среди всех тел, имеющих данную площадь поверхности, наибольший объем у шара.

4.1. Определения сферы и шара.

Определяются сфера и шар в пространстве совершенно так же, как окружность и круг на плоскости. Сферой называется фигура, состоящая из всех точек пространства, удаленных от данной

ной точки на одно и то же (положительное) расстояние.

Эта точка называется центром сферы, а расстояние - ее радиусом (рис. 4.1).

Итак, сфера с центром О и радиусом R - это фигура, образованная всеми точками X пространства, для которых

Шаром называется фигура, образованная всеми точками пространства, находящимися на расстоянии не большем данного (положительного) расстояния от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние - его радиусом.

Итак, шар с центром О и радиусом R - это фигура, образованная всеми точками X пространства, для которых

Те точки X шара с центром О и радиусом R, для которых образуют сферу. Говорят, что эта сфера ограничивает данный шар или что она является его поверхностью.

Сфера - это одно из первых тел, обладающих высокой симметрией, свойства которого изучают в школьном курсе геометрии. В данной статье рассматривается формула сферы, ее отличие от шара, а также приводится расчет площади поверхности нашей планеты.

Сфера: понятие в геометрии

Чтобы лучше понять формулу поверхности, которая будет дана ниже, необходимо познакомиться с понятием сферы. В геометрии она представляет собой трехмерное тело, которое заключает в себе некоторый объем пространства. Математическое определение сферы следующее: это совокупность точек, которые лежат на определенном одинаковом расстоянии от одной фиксированной точки, называемой центром. Отмеченное расстояние - это радиус сферы, который обозначается r или R и измеряется в метрах (километрах, сантиметрах и других единицах длины).

На рисунке ниже приведена описанная фигура. Линии показывают контуры ее поверхности. Черная точка - центр сферы.

Получить эту фигуру можно, если взять окружность и начать ее вращать вокруг любой из осей, проходящей через диаметр.

Сфера и шар: в чем разница и в чем сходство?

Часто школьники путают эти две фигуры, которые внешне похожи друг на друга, но обладают совершенно разными физическими свойствами. Сфера и шар в первую очередь отличаются своей массой: сфера - это бесконечно тонкий слой, шар же - это объемное тело конечной плотности, которая одинакова во всех его точках, ограниченных сферической поверхностью. То есть шар обладает конечной массой и является вполне реальным объектом. Сфера - это фигура идеальная, не имеющая массы, которая в действительности не существует, но она является удачной идеализацией в геометрии при изучении ее свойств.

Примерами реальных объектов, форма которых практически соответствует сфере, являются новогодняя игрушка в виде шарика для украшения елки или мыльный пузырь.

Что касается сходства между рассматриваемыми фигурами, то можно назвать следующие их признаки:

обе они обладают одинаковой симметрией;
для обеих формула площади поверхности является одинаковой, более того, они обладают равной площадью поверхности, если их радиусы равны;
обе фигуры при равных радиусах занимают одинаковый объем в пространстве, только шар его заполняет полностью, а сфера лишь ограничивает своей поверхностью.

Сфера и шар равного радиуса приведены на рисунке ниже.

Заметим, что шар, так же как и сфера, является телом вращения, поэтому его можно получить, если вращать вокруг диаметра круг (не окружность!).

Элементы сферы

Так называются геометрические величины, знание которых позволяет описать либо всю фигуру, либо отдельные ее части. Основными ее элементами являются следующие:

Радиус r, который уже был упомянут ранее. Он является расстоянием от центра фигуры до сферической поверхности. По сути, это единственная величина, которая описывает все свойства сферы.
Диаметр d, или D. Это отрезок, концы которого лежат на сферической поверхности, а середина проходит через центральную точку фигуры. Диаметр сферы можно провести бесконечным числом способов, но все полученные отрезки будут иметь одинаковую длину, которая равна удвоенному радиусу, то есть D = 2*R.
Площадь поверхности S - двумерная характеристика, формула для которой будет приведена ниже.
Связанные со сферой трехмерные углы измеряются в стерадианах. Один стерадиан - это угол, вершина которого лежит в центре сферы, и который опирается на часть сферической поверхности, имеющей площадь R 2 .

Геометрические свойства сферы

Из приведенного описания этой фигуры можно самостоятельно догадаться об этих свойствах. Они следующие:

Любая прямая, которая пересекает сферу и проходит через ее центр, является осью симметрии фигуры. Поворот сферы вокруг этой оси на любой угол переводит ее в саму себя.
Плоскость, которая пересекает рассматриваемую фигуру через ее центр, делит сферу на две равные части, то есть является плоскостью отражения.

Площадь поверхности фигуры

Эта величина обозначается латинской буквой S. Формула вычисления площади сферы имеет следующий вид:

S = 4*pi*R 2 , где pi ≈ 3,1416.

Формула демонстрирует, что площадь S может быть вычислена при условии знания радиуса фигуры. Если же известен ее диаметр D, тогда формулу сферы можно записать так:

Иррациональное число pi, для которого приведены четыре знака после запятой, в ряде математических расчетов можно использовать с точностью до сотых, то есть 3,14.

Любопытно также рассмотреть вопрос, скольким стерадианам соответствует вся поверхность рассматриваемой фигуры. Исходя из определения этой величины, получаем:

Ω = S/R 2 = 4*pi*R 2 /R 2 = 4*pi стерадиан.

Для вычисления любого объемного угла следует в выражение выше подставить соответствующее значение площади S.

Поверхность планеты Земля

Формулу сферы можно применить для определения на которой мы живем. Перед тем как приступать к вычислениям, следует сделать пару оговорок:

Во-первых, Земля не обладает идеальной сферической поверхностью. Ее экваториальный и полярный радиусы равны 6378 км и 6357 км соответственно. Отличие между этими цифрами не превышает 0,3%, поэтому для расчета можно взять средний радиус 6371 км.
Во-вторых, рельеф является трехмерным, то есть на ней имеются впадины и горы. Эти характерные особенности планеты приводят к увеличению ее площади поверхности, тем не менее, в расчете их учитывать не будем, поскольку даже самая большая гора, Эверест, составляет 0,1% от земного радиуса (8,848/6371).

Используя формулу сферы, получаем:

S = 4*pi*R 2 = 4*3,1416*6371 2 ≈ 510,066 млн. км 2 .

Россия, по официальным данным, занимает площадь 17,125 млн км 2 , что составляет 3,36% от поверхности планеты. Если же учесть, что к суше относятся лишь 150,387 млн км 2 , тогда площадь нашей страны составит 11,4% от всей территории, не покрытой водой.

‌‌‌V‌ районная научно-практическая конференция исследовательских, проектных и творческих работ учащихся «Первые шаги в науке»

Исследовательская работа по теме:

«Сфера и шар – обычные геометрические тела».

Выполнил: ученик 9 класса МБОУ

«Кочетовская средняя общеобразовательная школа» Романов Дима.

Руководитель: учитель математики и физики Тремаскина В.С.

Введение ___________________________________________________________3

1. История изучения геометрических тел: шар, сфера_______________________3

2. Сфера и шар.

2.1. Понятие сферы и шара___________________________________________3-4

2.2. Уравнение сферы________________________________________________4

2.3. Взаимное расположение сферы и плоскости_________________________4-6

2.4. Касательная плоскость к сфере____________________________________6-7

2.5. Площадь сферы и объём шара____________________________________ 7

2.6. Получение сферы_______________________________________________ 7-8

2.7. Нахождение сферы и шара в природе______________________________ 9-13

2.8.Сфера и шар в повседневной жизни_________________________________14-15

2.9.Применение сферы и шара в архитектуре____________________________16-22

2.10. Применение сферы и шара в геодезии______________________________23

2.11Применение сферы и шара в астрономии и географии_________________24

2.12. Сфера и шар в искусстве_________________________________________25

Заключение___________________________________________________________25

Литература___________________________________________________________26

Актуальность выбранной темы.

На протяжении веков человечество не переставало пополнять свои научные знания в той или иной области наук. Множество ученых геометров, да и простых людей, интересовались такой фигурой как шар и его “оболочкой”, носящей название сфера. Многие реальные объекты в физике, астрономии, биологии и других естественных науках имеют форму шара. Поэтому вопросам изучения свойств шара отводилась в различные исторические эпохи и отводится в наше время значительная роль.

Цель исследования: изучить геометрические тела шар и сферу, рассмотреть их применение в разных областях науки, в повседневной жизни, в природе, создать презентацию «Сфера и шар – обычные геометрические тела».

Задачи:

1. Собрать материал о шаре и сфере используя различные источники информации, в том числе Интернет-ресурсы.

2. Систематизировать материал о шаре и сфере.

4. Создать презентацию«Сфера и шар – обычные геометрические тела ».

5. Представить работу на уроке геометрии при изучении темы «Сфера и шар».

Объект исследования : сфера и шар

Предмет исследования : элементы и свойства сферы и шара

Гипотеза: Шары нам нужны для того что бы делать наш мир более разнообразным и объёмным.

Методы: частично-поисковый, исследовательский, сравнительный анализ, синтез, практический.

Результат исследования: полученные знания нужны не только астрономам, штурманам морских кораблей, самолетов, космических кораблей, которые по звездам определяют свои координаты, но и строителям шахт, метрополитенов, тоннелей, архитекторам, а также при геодезических съёмках больших территорий поверхности Земли, когда становится необходимым учитывать её шарообразность, в повседневной жизни.

Научная новизна: теоретический материал представлен в форме доступной для понимания учащимися старших классов.

Практическая значимость: данный материал может использоваться в качестве основы для элективного курса в классах физико-математического профиля, на уроках при изучении тем «Сфера и шар».

Введение

На протяжении многих веков человечество не переставало пополнять свои научные знания в той или иной области науки. Стереометрия, как наука о фигурах в пространстве, неотъемлемо связана со многими из научных дисциплин. К таким дисциплинам относятся: математика, физика, информатика и программирование, а также химия и биология. В последних стоит проблема изучения микромира, который представляет собой сложнейшую комбинацию различных частиц в пространстве относительно друг друга. В архитектуре постоянно используются теоремы и следствия из стереометрии.

Множество учёных геометров, да и простых людей, интересовались такой фигурой как шар и его «оболочкой», носящей название сфера. Удивительно, но шар является единственным телом, обладающим большей площадью поверхности при объёме, равном объёму других сравниваемых тел, таких как куб, призма или прочие всевозможные многогранники. С шарами мы имеем дело ежедневно. К примеру, почти каждый человек пользуется шариковый ручкой в конец стержня которой вмонтирован металлический шар, вращающийся под действием сил трения между ним и бумагой и в процессе поворота на своей поверхности шар «выносит» очередную порцию чернил. В автомобильной промышленности изготавливаются шаровые опоры, являющиеся очень важной деталью в автомобиле и обеспечивающей правильный поворот колёс и устойчивость машины на дороге. Элементы машин, самолётов, ракет, мотоциклов, снарядов, плавательных судов, подвергающиеся постоянным воздействиям воды или воздуха, преимущественно имеют какие либо сферические поверхности, называемые обтекателями.

История изучения геометрических тел: шар, сфера

Шаром принято называть тело, ограниченное сферой, т.е. шар и сфера – это разные геометрические тела. Однако оба слова « шар» и « сфера» происходят от одного и того же греческого слова « сфайра» - мяч. При этом слово « шар» образовалось от перехода согласных сф в ш.

В XI книге «Начал» Евклид определяет шар как фигуру, описанную вращающимся около неподвижного диаметра полукругом. В древности сфера была в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы.

Сфера всегда широко применялась в различных областях науки и техники.

2.1. Понятие сферы и шара

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы.

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий

через ее центр, называется диаметром сферы.

Центр, радиус, диаметр сферы называется также центром, радиусом и диаметром шара.

2.2. Уравнение сферы

Зададим прямоугольную систему координат О xyz

Построим сферу c центром в точке C (x 0;y 0;z 0)

и радиусом R

МС = (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2

МС = R , или МС2 = R2

следовательно уравнение

сферы имеет вид:

(x - x 0 ) 2 + (y - y 0 ) 2 + (z - z 0 ) 2 = R 2

2.3. Взаимное расположение сферы и плоскости

Дано:

Сфера радиуса R с центром С (х 0 ; у 0 ; z 0), точка М (х; у; z ) лежит на сфере.

Чему равно расстояние МС?

Т. к. МС = R , то

С С СС

Дано: плоскость α , сфера (С; R ),

d - расстояние от центра С до плоскости α .

Введем систему координат, где точка С (x 0 ;y 0 ;z 0). Составим уравнения сферы и плоскости α .

П
усть точка С лежит на оси z . Тогда ее координаты (0; 0; d ).

Уравнение сферы:

Уравнение плоскости α : z = 0

Исследуем систему уравнений:

z = 0

Тогда

В зависимости от соотношения d и R возможны 3 случая…

1
) d < R .

Тогда

уравнение окружности (О; r )

Сечение сферы плоскостью – окружность

2
) d = R .

Тогда

Верно при

х = 0 и у = 0

Сфера и плоскость имеют одну общую точку.

3
) d > R .

Тогда

не имеет решений.

Сфера и плоскость не имеют общих точек.

2.4. Касательная плоскость к сфере

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Теорема. Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Дано: сфера с центром О и радиусом R , α - касательная к сфере в точке А плоскость.

Доказать: OA а .

Доказательство: Пусть OA не перпендикулярна плоскости а , тогда OA является наклонной к плоскости, значит, расстояние от центра до плоскости d < R . Т.е. сфера должна пересекаться с плоскостью по окружности, но это не удовлетворяет условию теоремы. Значит, OA а .

Докажем обратную теорему.

Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Дано: сфера с центром О и радиусом OA , а, OA а .

Доказать: а – касательная плоскость.

Доказательство: Т.к. OA а , то расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу. Значит, сфера и плоскость имеют одну общую точку. По определению, плоскость является касательной к сфере.

2.5. Площадь сферы и объём шара

и шара радиуса определяются формулами:

Доказательство

Возьмём четверть круга радиуса R с центром в точке . Уравнение окружности этого круга: , откуда .

Функция непрерывная, возрастающая, неотрицательная. При вращении четверти круга вокруг оси Ox образуется полушар, следовательно:

Откуда Ч. т. д.

Доказательство

Ч. т. д.

Часть шара, [ ] осекаемая от него какой-нибудь плоскостью, называется шаровым или сферическим сегментом. Основанием шарового сегмента называется кругABCD . Высотой шарового сегмента называется отрезок NM , т.е. длина перпендикуляра, восстановленного из центраN основания до пересечения с поверхностью шара. ТочкаM называется вершиной шарового сегмента.

Объем шарового сегмента выражается формулой:

V = π h 2 ( R − 1/3 h)

Шаровой слой - это часть шара [ ], заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями. Шаровой пояс или Шаровая зона - это кривая поверхность шарового слоя. Круги ABC и DEF это основания шарового пояса. Расстояние между основаниямиON - это высота шарового слоя.

Объем шарового слоя выражается формулой:

V = 1/6 π h 3 + 1/2 π( r 1 2 + r 2 2 ) h

Шаровой сектор - это часть шара [ ], ограниченная кривой поверхностью шарового сегмента и конической поверхностью основанием которой служит основание сегмента, а вершиной - центр шара.

Объем шарового сектора равен , основание которой имеет ту же площадь, что и вырезаемая сектором часть шаровой поверхности, а высота равна радиусу

V = 1/3 R S = 2/3 π R 2 h

2.6. Получение сферы

Сферу можно получить вращением полуокружности АСВ вокруг диаметра АВ

2.7. Нахождение сферы и шара в природе

Загадки природы - Шары-послания. Эти загадочные каменные образования идеально круглой формы были обнаружены в конце 1940-х годов в джунглях центрально американской Республики Коста-Рика. Шары имеют размеры от 10 см до 3-4 метров в диаметре. При аэросъемке выяснилось, что они разбросаны по поверхности земли не случайно, а составляют геометрические фигуры. Возможно даже, что шары не разбросаны, а разложены в виде огромной звездной карты; каждый шар - это звезда с соответствующим описанием.

Среди гипотез происхождения шаров есть только экзотические версии: от пришельцев до скульпторов Атлантиды. Есть версия и о том, что шары вырезали (в расчете на будущие дивиденды от туризма) скучающие нацистские мигранты, наводнившие Латинскую Америку после краха «третьего рейха». Естественными причинами объяснить обилие шаров и странные рисунки на них не удалось. В Казахстане при разработке песчаного карьера на достаточно большой глубине также были обнаружены несколько крупных экземпляров таких валунов… Об этой находке сообщала комиссия «Феномен»; увы, фотографий находок не сохранилось.

Хрустальный шарик. Макросъёмка. На ветке какого-то дерева лежит шар из стекла, в нём отражается окружающая его природа. Очень симпатичные жёлтые цветочки и зелёная сочная трава.

Светящиеся шары

на фото в местах силы - результат распада урана или плазмоидная форма жизни?

Храм Гроба Господня и другие места Израиля

И
нтересное природное явление на берегу мичиганского озера сформировались тысячи правильных ледяных шаров

Морские водоросли в виде необычных шаров

Странные шары появились на побережье Хэмптона, что на восточном побережье США, в июне 2002 года. Приливная волна стала выносить несметное число таких зеленоватых шаров - мягких, отдаленно напоминающих губку и размером с мячик для тенниса или гольфа. На расстоянии примерно 300 метров или больше весь песчаный пляж буквально был усеян такими шарами. Тут же начались споры- что это и откуда? В дебаты оказались вовлеченными и биологи маринисты, и отдыхающие на пляже, и случайные прохожие. Прежде никто не видел здесь ничего подобного.

Природа боится симметрии, природа не знает идеальных геометрических фигур. Зато человек может заставить природу приобрести эти чуждые ей формы. Наглядный пример тому - творчество корейского художника Lee Jae-Hyo, который создает из стволов деревьев идеальные сферы

Т

ысячи небольших фиолетовых шариков странным образом оказались в центре пустыни в штате Аризона, США. Жители города Тусон Джеральдина Варгас и ее муж обнаружили необъяснимое скопление непонятных шаров пару недель назад во время прогулки по окрестностям. "Мы фотографировали природу пустыни, когда натолкнулись на это странное место... не понимаю, как мы сразу его не заметили? - рассказала Джеральдина журналистам. – Оно просто искрилось на солнце". Фотографы отправили фото со странными объектами своей знакомой зоологу, но она не смогла сказать, что же это такое, у нее даже не было никаких предположений на этот счет.

Шары из минералов.

Аметист.Бразилия.

Горный хрусталь.Южный.Челяб.обл.Продан.

Амазонит.Кольский п-ов.Продан.

2.8 Сфера и шар в повседневной жизни

Н
а геометрический шар похожи глобус, футбольный мяч, новогодние игрушки.

Шар из пенопласта своими руками

Зорбинг (zorbing) – это один из самых модных экстремальных развлечений на сегодняшний день. Зорбинг позволит вам испытать новые, необычно яркие и мощные ощущения и встряхнуться от обыденности повседневной жизни.

Что такое шар Зорб

Зорб (ZORB) представляет из себя прозрачную сферу (шар) диаметром 3,2 метра внутри которой находится сфера диаметром 1,8 метра, в которой находится зорбонавт (пассажир зорба ). Пространство между этими сферами наполняется воздухом, давлением которого сферы распираются между собой, а стропами, наоборот, удерживаются. Такая система очень хорошо амортизирует, сглаживает неровности трассы и делает катание безопасным.

2.9.Применение сферы и шара в архитектуре

Такой дом называется ВИГВАМ . Такие дома строят ИНДЕЙЦЫ .

Шары и полусферы из нержавеющей стали

Фонтан "Вращающийся шар " в Санкт-

Петербурге -

Современные дома

А если дом не просто на дереве, а ещё и в форме шара.

Это поселок из самых настоящих круглых домов .

С
овременные круглые дома

Монреальская Биосфера - выставочный павильон США на Экспо-67 в Канаде,

созданная архитектором Ричардом Фуллером.

Отель в виде прозрачных шаров

В
о французском городе Рубе (Roubaix) в одном из парков открыли портативные гостиничные номера Hotel Bolha. Сделали это специально для людей, которые даже в центре городских джунглей желают побыть ближе к природе. Концепцию пузыря придумал дизайнер Пьер Стефан Дюма. Такая продвинутая конструкция была создана с целью временного присоединения постояльцев к неизведанному. Ведь не многие могут себе позволить поспать под круглым потолком.

Платье из шаров.

Дачный офис Скоро весна (а там и лето) и многие начнут ездить на дачу отдыхать.
Но иногда на даче нужно поработать (чтоб тебя!). Нет места где уединится?
Можно вот в таком вот небольшом шарообразном сооружение «Archipod»:

ЭНЕРГОЭФФЕКТИВНОСТЬ в архитектуре . Умный Дом - молекула.

В парке науки и техники La Vilette, построенном на месте скотобойни на восточной окраине Парижа, бросается в глаза гигантский шар, в зеркальной поверхности которого отражается парижское небо и окружающий пейзаж. На сегодняшний день это здание считается самым совершенным в мире сооружением сферической формы. Парижане называют его «Жеод» (Gеode). Это – панорамный

кинотеатр с самым большим в Европе экраном . дом-шар зеркало

Такие шары из ниток можно просто подвесить к веткам дерева, если ваш праздник проходит на природе, или к потолку. А также ими можно оформить банкетный стол, дополнив композицию свечами и цветами.

2.10. Применение сферы и шара в геодезии.

Картографические проекции

отображения всей поверхности земного эллипсоида (См. ) или какую-либо её части на плоскость, получаемые в основном с целью построения карты.

Масштаб. К. п. строятся в определённом масштабе. Уменьшая мысленно земной эллипсоид в М раз, например в 10 000 000 раз, получают его геометрическую модель - , изображение которого уже в натуральную величину на плоскости даёт карту поверхности этого эллипсоида. Величина 1: М (в примере 1: 10 000 000) определяет главный, или общий, масштаб карты. Т. к. поверхности эллипсоида и шара не могут быть развёрнуты на плоскость без разрывов и складок (они не принадлежат к классу развёртывающихся поверхностей (См. )), любой К. п. присущи искажения длин линий, углов и т.п., свойственные всякой карте. Основной характеристикой К. п. в любой её точке является частный масштаб μ. Это - величина, обратная отношению бесконечно малого отрезка ds на земном эллипсоиде к его изображению dσ на плоскости: μ min ≤ μ ≤ μ max , и равенство здесь возможно лишь в отдельных точках или вдоль некоторых линий на карте. Т. о., главный масштаб карты характеризует её только в общих чертах, в некотором осреднённом виде. Отношение μ/М называют относительным масштабом, или увеличением длины, разность М = 1.

1. Сети сферических координатных линий.

2.11. Применение сферы и шара в астрономии и географии.

Сфера и шар, так же как окружность и круг, рассматривали еще в глубокой древности. Открытие шарообразности Земли, появление представлений о небесной сфере дали толчок к развитию специальной науки – СФЕРИКИ, изучающей расположенные на сфере фигуры.

Осуществляя кругосветные путешествия, мореплаватели заметили, что при возвращении в то же место наблюдается потеря или выигрыш целых суток, что было бы совершенно невозможно, если бы Земля имела форму диска.

Итак, доказательствами шарообразности Земли в настоящее время служат:

Всегда кругообразная фигура горизонта в океане и в открытых низменностях или плоскогорьях;

Кругосветные путешествия.

Постепенное приближение или удаление предметов;

И
зучая различные географические карты, мы обнаружили, что в географии есть географические названия, связанные с шаром. Например, между Северным и Южными островами Новой Земли есть пролив, который соединяет Баренцево и Карское моря, который называется Маточкин Шар, или пролив между берегами острова Вайгач и материком Евразии – Югорский Шар. Мы думаем, что эти проливы названы шарами в силу того, что их размеры, форма дна напоминают шаровую поверхность.

2.12. Сфера и шар в искусстве

Математика Эшера

Кроме того, «игрой» с логикой пространства являются картины Эшера, на которых изображены различные «невозможные фигуры»; Эшер изображал их как отдельно, так и в сюжетных литографиях и гравюрах

Три сферы. 1946

Рука с отражающей сферой. 1935

Заключение

Думаю, что собранный мной материал и знания, полученные в ходе проделанной работы можно использовать на уроках геометрии, труда, в повседневной жизни, в качестве основы для элективного курса в классах физико-математического профиля, а так же на внеклассных занятиях для расширения кругозора учеников.