Сфера и шар шаровой сегмент. Геометрическое понятие о сфере: формула, свойства, площадь поверхности нашей планеты
Сфера и шар
Слово «сфера» произошло от греческого слова «сфайра», которое переводится на русский язык как «мяч».
ШАР-символ будущего.
Символ шара-глобальность шара Земли. Символ будущего, он отличается от креста тем, что последний олицетворяет собой страдание и человеческую смерть. В Древнем Египте впервые пришли к заключению, что земля шарообразна. Это предположение послужило основой для многочисленных размышлений о бессмертии земли и возможности бессмертия населяющих ее живых организмах.
Человек, держащий шар в руках, символизирует субъекта, несущего тяготы мира Не случайно подобными скульптурами украшены некоторые вокзалы Западной Европы, например в Хельсинки: здесь запечатлены тяготы, выпадающие на плечи путешественника.
Таким образом, шар и глобус - это знаки промысла, проведения, вечности, власти и могущество коронованных особ
Каменное полушарие сферы воплощается в религиозных храмах - куполах православных церквей в России; ступах, связанных с местом пребывания бодхисаттв в Индии. В Индонезии ступы приобрели форму колокола с каменным шпилем наверху и называются дагобы.
В греко-римской мифологии шар символизировал удачу, судьбу, ассоциируясь с Тихэ (Фортуной), стоящей на шаре. Знаменитая картина Пикассо «Девочка на шаре» - танцующая Фортуна.
Форма шара в природе Многие ягоды имеют форму шара.
Планеты имеют форму шара.
Некоторые деревья имеют сферическую форму.
Определение сферы Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки
Сфера –это поверхность, полученная вращением полуокружности вокруг диаметра
Данная точка (О) называется центром сферы. Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, называется радиусом сферы (R-радиус сферы). Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы. Очевидно, что диаметр сферы равен 2R.
Определение шара Шар – это тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки (или фигура, ограниченная сферой). Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара.
Шаровой сегмент Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой - нибудь плоскостью.
Шаровой слой Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями.
Шаровой сектор Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим 900, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов.
Плоскость,проходящая через центр шара,называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом,а сечение сферы - большой окружностью. Сечение шара
Закрепляем Решите задачу № 573, №574 (а)
Уравнение сферы в прямоугольной системе координат M(x;y;z)-произвольная точка, принадлежащая сфере. /MC/= v(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 т.к. MC=R, то (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2
Задание 1.Найдите координаты центра и радиуса сферы, заданной уравнением: x?+y?+z?=49 (X-3)?+(y+2)?+z?=2 2. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если A(2;-4;7) R=3 A(0;0;0) R=v2 A(2;0;0) R=4 3. Решите задачу №577(а)
Взаимное расположение сферы и плоскости Обозначим радиус сферы буквой R, а расстояние от ее центра до плоскости?-буквой d. Введем систему координат так, чтобы плоскость Oxy совпадала с плоскостью?, а центр С сферы лежал на положительной полуоси Oz.
В этой системе координат точка C (о;о;d), поэтому сфера имеет уравнение x2+y2+(z-d)2=R? Плоскость совпадает с координатной плоскостью Oxy, и поэтому ее уравнение имеет вид z=0
Таким образом вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости сводится к исследованию системы уравнений. Подставив z=0 во второе уравнение, получим x?+y?=R?-d? Возможны 3 случая:
x?+y?=R?-d? Если d>R, то сфера и плоскость не имеют общих точек.
x?+y?=R?-d? Если d=R, то сфера и плоскость именуют только одну общую точку. В этом случае? называют касательной плоскостью к сфере
x?+y?=R?-d?
Если d Закрепляем
Решите задачу №580, №581 Касательная плоскость к сфере
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере,
а их общая точка называется точкой касания А плоскости и сферы. Теорема:Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.
Доказательство:
Рассмотрим плоскость?, касающуюся сферы с центром О в точке А. Докажем, что ОА перпендикулярен?.
Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к плоскости?, и, следовательно расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы. Поэтому сфера и плоскость пересекаются по окружности. Это противоречит тому, что-касательная, т.е. сфера и плоскость имеют только одну общую точку.
Полученное противоречие доказывает, что ОА перпендикулярен?. Обратная теорема:Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере. Закрепляем
Решите задачу № 592 Площадь сферы
Сферу нельзя развернуть на плоскость!
Описанным около сферы многогранником называется многогранник, всех граней которого которого касается сфера.
Сфера называется вписанной в многогранник Задание: Площадь сечения сферы, проходящего через её центр, равна 9м2. Найдите площадь сферы.
Решение:
Сечение, проходящее через центр сферы есть окружность.
Sсеч =?r2,
9= ?R2,
R=v9/? .
Sсферы=4 ?r2 ,
Sсферы=4? · 9/? =36м2 Шар и сфера — это прежде всего геометрические фигуры, и если шар — это геометрическое тело, то сфера — это поверхность шара. Этими фигурами интересовались еще многие тысячи лет назад до н.э. Впоследствии когда было открыто, что Земля — это шар, а небо — небесная сфера, получило развитие новое увлекательное направление в геометрии — геометрия на сфере или сферическая геометрия. Для того, чтобы рассуждать о размере и объеме шара, нужно сначала дать ему определение. Шаром радиуса R с центром в точке О в геометрии называют тело, которое создано всеми точками пространство, имеющими общее свойство. Эти точки находятся на расстоянии, не превышающем радиуса шара, то есть заполняют все пространство меньше радиуса шара во все стороны от его центра. Если мы рассмотрим только те точки, которые равноудалены от центра шара — мы будем рассматривать его поверхность или оболочку шара. Как можно получить шар? Мы можем вырезать из бумаги круг и начать его вращать вокруг его же диаметра. То есть диаметр круга будет осью вращения. Образованная фигура — будет шар. Поэтому шар называют также телом вращения. Потому что он может быть образован путем вращения плоской фигуры — круга. В Древней Греции умели не только работать с шаром и сферой, как с геометрическими фигурами, например, использовать их при строительстве, а также умели расчитывать площадь поверхности шара и объем шара. Сферой иначе называется поверхность шара. Сфера — это не тело — это поверхность тела вращения. Однако так как и Земля и многие тела имеют сферическую форму, например капля воды, то изучение геометрических соотношений внутри сферы получило большое распространение. Если мы проведем прямую линию, которая коснется сферы всего в одной точке, то эта линия будет называться касательной. Кроме того, эта касательная к сфере в этой точке будет перпендикулярна к радиусу сферы, проведенному в точку касания. Если мы продолжим хорду до прямой в одну и другую сторону от сферы, то эта хорда станет называться секущей. Или можно сказать иначе — секущая к сфере содержит в себе ее хорду. Формула для вычисления объема шара имеет вид: где R — радиус шара. Если нужно найти объем шарового сегмента — воспользуйтесь формулой: V сег =πh 2 (R-h/3), h — высота шарового сегмента. Чтобы вычислить площадь сферы или площадь поверхности шара (это одно и то же): где R — радиус сферы. Архимед очень любил шар и сферу, он даже попросил оставить на его гробницу рисунок, на котором в цилиндр вписан шар. Архимед считал, что объем шара и его поверхность равны двум третьим от объема и поверхности цилиндра, в который вписан шар» Определение. Сферу можно описать, как объёмную фигуру, которая образуется вращением окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°. Определение. Шар можно описать как объёмную фигуру, которая образуется вращением круга вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°. Определение.
Радиус сферы (шара)
(R) - это расстояние от центра сферы (шара) O
к любой точке сферы (поверхности шара). Определение.
Диаметр сферы (шара)
(D) - это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара) и проходящий через ее центр. Формула.
Объём шара
:
Формула.
Площадь поверхности сферы
через радиус или диаметр:
S = 4π
R 2 = π
D 2 1. Уравнение сферы с радиусом R и центром в начале декартовой системе координат
:
x
2 + y
2 + z
2 = R 2 2. Уравнение сферы с радиусом R и центром в точке с координатами (x
0 , y
0 , z
0) в декартовой системе координат
:
(x
- x
0) 2 + (y
- y
0) 2 + (z
- z
0) 2 = R 2 Определение.
Диаметрально противоположными точками
называются любые две точки на поверхности шара (сфере), которые соединены диаметром. 1. Все точки сферы одинаково удалены от центра. 2. Любое сечение сферы плоскостью является окружностью. 3. Любое сечение шара плоскостью есть кругом. 4. Сфера имеет наибольший объём среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности. 5. Через любые две диаметрально противоположные точки можно провести множество больших окружностей для сферы или кругов для шара. 6. Через любые две точки, кроме диаметрально противоположных точек, можно провести только одну большую окружность для сферы или большой круг для шара. 7. Любые два больших круга одного шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, а окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках. 8. Если расстояние между центрами любых двух шаров меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие шары пересекаются
, а в плоскости пересечения образуется круг. Определение.
Секущая сферы
- это прямая, которая пересекает сферу в двух точках. Точки пересечения называются точками протыкания
поверхности или точками входа и выхода на поверхности. Определение.
Хорда сферы (шара)
- это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара). Определение.
Секущая плоскость
- это плоскость, которая пересекает сферу. Определение.
Диаметральная плоскость
- это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или шара, сеченме образует соответственно большую окружность
и большой круг
. Большая окружность и большой круг имеют центр, который совпадают с центром сферы (шара). Любая хорда, проходящая через центр сферы (шара) является диаметром. Хорда является отрезком секущей прямой. Расстояние d
от центра сферы до секущей всегда меньше чем радиус сферы:
d
< R Расстояние m
между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:
m
< R Местом сечения секущей плоскости на сфере всегда будет малая окружность
, а на шаре местом сечения будет малый круг
. Малая окружность и малый круг имеют свои центры, не совпадающих с центром сферы (шара). Радиус r
такого круга можно найти по формуле:
r
= √R 2 - m
2
, Где R - радиус сферы (шара), m
- расстояние от центра шара до секущей плоскости. Определение.
Полусфера (полушар)
- это половина сферы (шара), которая образуется при ее сечении диаметральной плоскостью. Определение.
Касательная к сфере
- это прямая, которая касается сферы только в одной точке. Определение.
Касательная плоскость к сфере
- это плоскость, которая соприкасается со сферой только в одной точке. Касательная пряма (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы проведенному к точке соприкосновения Расстояние от центра сферы до касательной прямой (плоскости) равно радиусу сферы. Определение.
Сегмент шара
- это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента
называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента
h
называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.
Формула.
Площадь внешней поверхности сегмента сферы
с высотой h
через радиус сферы R:
S = 2π
Rh
Сфера - это одно из первых тел, обладающих высокой симметрией, свойства которого изучают в школьном курсе геометрии. В данной статье рассматривается формула сферы, ее отличие от шара, а также приводится расчет площади поверхности нашей планеты. Чтобы лучше понять формулу поверхности, которая будет дана ниже, необходимо познакомиться с понятием сферы. В геометрии она представляет собой трехмерное тело, которое заключает в себе некоторый объем пространства. Математическое определение сферы следующее: это совокупность точек, которые лежат на определенном одинаковом расстоянии от одной фиксированной точки, называемой центром. Отмеченное расстояние - это радиус сферы, который обозначается r или R и измеряется в метрах (километрах, сантиметрах и других единицах длины). На рисунке ниже приведена описанная фигура. Линии показывают контуры ее поверхности. Черная точка - центр сферы. Получить эту фигуру можно, если взять окружность и начать ее вращать вокруг любой из осей, проходящей через диаметр. Часто школьники путают эти две фигуры, которые внешне похожи друг на друга, но обладают совершенно разными физическими свойствами. Сфера и шар в первую очередь отличаются своей массой: сфера - это бесконечно тонкий слой, шар же - это объемное тело конечной плотности, которая одинакова во всех его точках, ограниченных сферической поверхностью. То есть шар обладает конечной массой и является вполне реальным объектом. Сфера - это фигура идеальная, не имеющая массы, которая в действительности не существует, но она является удачной идеализацией в геометрии при изучении ее свойств. Примерами реальных объектов, форма которых практически соответствует сфере, являются новогодняя игрушка в виде шарика для украшения елки или мыльный пузырь. Что касается сходства между рассматриваемыми фигурами, то можно назвать следующие их признаки: Сфера и шар равного радиуса приведены на рисунке ниже. Заметим, что шар, так же как и сфера, является телом вращения, поэтому его можно получить, если вращать вокруг диаметра круг (не окружность!). Так называются геометрические величины, знание которых позволяет описать либо всю фигуру, либо отдельные ее части. Основными ее элементами являются следующие: Из приведенного описания этой фигуры можно самостоятельно догадаться об этих свойствах. Они следующие: Эта величина обозначается латинской буквой S. Формула вычисления площади сферы имеет следующий вид: S = 4*pi*R 2 , где pi ≈ 3,1416. Формула демонстрирует, что площадь S может быть вычислена при условии знания радиуса фигуры. Если же известен ее диаметр D, тогда формулу сферы можно записать так: Иррациональное число pi, для которого приведены четыре знака после запятой, в ряде математических расчетов можно использовать с точностью до сотых, то есть 3,14. Любопытно также рассмотреть вопрос, скольким стерадианам соответствует вся поверхность рассматриваемой фигуры. Исходя из определения этой величины, получаем: Ω = S/R 2 = 4*pi*R 2 /R 2 = 4*pi стерадиан. Для вычисления любого объемного угла следует в выражение выше подставить соответствующее значение площади S. Формулу сферы можно применить для определения на которой мы живем. Перед тем как приступать к вычислениям, следует сделать пару оговорок: Используя формулу сферы, получаем: S = 4*pi*R 2 = 4*3,1416*6371 2 ≈ 510,066 млн. км 2 . Россия, по официальным данным, занимает площадь 17,125 млн км 2 , что составляет 3,36% от поверхности планеты. Если же учесть, что к суше относятся лишь 150,387 млн км 2 , тогда площадь нашей страны составит 11,4% от всей территории, не покрытой водой.Шар
Возьмем какую-нибудь плоскость и разрежем ею наш шар. Подобно тому как мы режем ножом апельсин. Кусок, который мы отсечем от шара, называется шаровым сегментом.
Например, если мы соединим две точки сферы между собой прямой линией, то эта прямая линия назовется хордой, а если эта хорда пройдет через центр сферы, который совпадает с центром шара, то хорда назовется диаметром сферы.Объем шара
Площадь поверхности шара или сферыV =
4
π
R 3 =
1
π
D 3
3
6
Уравнение сферы
Основные свойства сферы и шара
Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства
Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства
Сфера: понятие в геометрии
Сфера и шар: в чем разница и в чем сходство?
Элементы сферы
Геометрические свойства сферы
Площадь поверхности фигуры
Поверхность планеты Земля
