Умножение буквенных выражений. Упрощение выражений

С помощью любого языка можно выразить одну и ту же информацию разными словами и оборотами. Не является исключением и математический язык. Но одно и то же выражение можно эквивалентным образом записать по-разному. И в некоторых ситуациях одна из записей является более простой. Об упрощении выражений мы и поговорим на этом уроке.

Люди общаются на разных языках. Для нас важным сравнением является пара «русский язык - математический язык». Одну и ту же информацию можно сообщить на разных языках. Но, кроме этого, её можно и на одном языке произнести по-разному.

Например: «Петя дружит с Васей», «Вася дружит с Петей», «Петя с Васей друзья». Сказано по-разному, но одно и то же. По любой из этих фраз мы бы поняли, о чём идёт речь.

Давайте посмотрим на такую фразу: «Мальчик Петя и мальчик Вася дружат». Мы поняли, о чем идет речь. Тем не менее, нам не нравится, как звучит эта фраза. Не можем ли мы её упростить, сказать то же, но проще? «Мальчик и мальчик» - можно же один раз сказать: «Мальчики Петя и Вася дружат».

«Мальчики»… Разве по именам не понятно, что они не девочки. Убираем «мальчики»: «Петя и Вася дружат». А слово «дружат» можно заменить на «друзья»: «Петя и Вася - друзья». В итоге первую, длинную некрасивую фразу заменили эквивалентным высказыванием, которое проще сказать и проще понять. Мы эту фразу упростили. Упростить- значит сказать проще, но не потерять, не исказить смысл.

В математическом языке происходит примерно то же самое. Одно и то же можно сказать, записать по-разному. Что значит упростить выражение? Это значит, что для исходного выражения существует множество эквивалентных выражений, то есть тех, что означают одно и то же. И из всего этого множества мы должны выбрать самое простое, на наш взгляд, или самое подходящее для наших дальнейших целей.

Например, рассмотрим числовое выражение . Ему эквивалентное будет .

Также будет эквивалентно первым двум: .

Получается, что мы упростили наши выражения и нашли самое краткое эквивалентное выражение.

Для числовых выражений всегда нужно выполнять все действия и получать эквивалентное выражение в виде одного числа.

Рассмотрим пример буквенного выражения . Очевидно, что более простое будет .

При упрощении буквенных выражений необходимо выполнить все действия, которые возможны.

Всегда ли нужно упрощать выражение? Нет, иногда нам удобнее будет эквивалентная, но более длинная запись.

Пример : от числа нужно отнять число .

Вычислить можно, но если бы первое число было представлено своей эквивалентной записью: , то вычисления были бы мгновенными: .

То есть упрощенное выражение не всегда нам выгодно для дальнейших вычислений.

Тем не менее очень часто мы сталкиваемся с заданием, которое так и звучит «упростить выражение».

Упростить выражение: .

Решение

1) Выполним действия в первых и во вторых скобках: .

2) Вычислим произведения: .

Очевидно, последнее выражение имеет более простой вид, чем начальное. Мы его упростили.

Для того чтобы упростить выражение, его необходимо заменить на эквивалентное (равное).

Для определения эквивалентного выражения необходимо:

1) выполнить все возможные действия,

2) пользоваться свойствами сложение, вычитания, умножения и деления для упрощения вычислений.

Свойства сложения и вычитания:

1. Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых сумма не меняется.

2. Сочетательное свойство сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.

3. Свойство вычитания суммы из числа: чтобы вычесть сумму из числа, можно вычитать каждое слагаемое по отдельности.

Свойства умножения и деления

1. Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей произведение не меняется.

2. Сочетательное свойство: чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

3. Распределительное свойство умножения: чтобы число умножить на сумму, нужно его умножить на каждое слагаемое по отдельности.

Посмотрим, как мы на самом деле делаем вычисления в уме.

Вычислите:

Решение

1) Представим как

2) Представим первый множитель как сумму разрядных слагаемых и выполним умножение:

3) можно представить как и выполнить умножение:

4) Заменим первый множитель эквивалентной суммой:

Распределительный закон можно использовать и в обратную сторону: .

Выполните действия:

1) 2)

Решение

1) Для удобства можно воспользоваться распределительным законом, только использовать его в обратную сторону - вынести общий множитель за скобки.

2) Вынесем за скобки общий множитель

Необходимо купить линолеум в кухню и прихожую. Площадь кухни - , прихожей - . Есть три вида линолеумов: по , и рублей за . Сколько будет стоить каждый из трёх видов линолеума? (Рис. 1)

Рис. 1. Иллюстрация к условию задачи

Решение

Способ 1. Можно по отдельности найти, сколько денег потребуется на покупку линолеума в кухню, а потом в прихожую и полученные произведения сложить.

В начале урока мы повторим основные свойства квадратных корней, а затем рассмотрим несколько сложных примеров на упрощение выражений, содержащих квадратные корни.

Тема: Функция . Свойства квадратного корня

Урок: Преобразование и упрощение более сложных выражений с корнями

1. Повторение свойств квадратных корней

Вкратце повторим теорию и напомним основные свойства квадратных корней.

Свойства квадратных корней:

1. , следовательно, ;

3. ;

4. .

2. Примеры на упрощение выражений с корнями

Перейдем к примерам использования этих свойств.

Пример 1. Упростить выражение .

Решение. Для упрощения число 120 необходимо разложить на простые множители:

Квадрат суммы раскроем по соответствующей формуле:

Пример 2. Упростить выражение .

Решение. Учтем, что данное выражение имеет смысл не при всех возможных значениях переменной, т. к. в данном выражении присутствуют квадратные корни и дроби, что приводит к «сужению» области допустимых значений. ОДЗ: ().

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю и распишем числитель последней дроби как разность квадратов:

Ответ. при.

Пример 3. Упростить выражение .

Решение. Видно, что вторая скобка числителя имеет неудобный вид и нуждается в упрощении, попробуем разложить ее на множители с помощью метода группировки.

Для возможности выносить общий множитель мы упростили корни путем их разложения на множители. Подставим полученное выражение в исходную дробь:

После сокращения дроби применяем формулу разности квадратов.

3. Пример на избавление от иррациональности

Пример 4. Освободиться от иррациональности (корней) в знаменателе: а) ; б) .

Решение. а) Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, применяется стандартный метод домножения и числителя и знаменателя дроби на сопряженный к знаменателю множитель (такое же выражение, но с обратным знаком). Это делается для дополнения знаменателя дроби до разности квадратов, что позволяет избавиться от корней в знаменателе. Выполним этот прием в нашем случае:

б) выполним аналогичные действия:

4. Пример на доказательство и на выделение полного квадрата в сложном радикале

Пример 5. Докажите равенство .

Доказательство. Воспользуемся определением квадратного корня, из которого следует, что квадрат правого выражения должен быть равен подкоренному выражению:

. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы:

, получили верное равенство.

Доказано.

Пример 6. Упростить выражение .

Решение. Указанное выражение принято называть сложным радикалом (корень под корнем). В данном примере необходимо догадаться выделить полный квадрат из подкоренного выражения. Для этого заметим, что из двух слагаемых является претендентом на роль удвоенного произведения в формуле квадрата разности (разности, т. к. присутствует минус). Распишем его в виде такого произведения: , тогда на роль одного из слагаемых полного квадрата претендует , а на роль второго - 1.

Подставим это выражение под корень.

Замечание 1

Логическую функцию можно записать с помощью логического выражения, а затем можно перейти к логической схеме. Упрощать логические выражения надо для того, чтобы получить как можно более простую (а значит, и более дешёвую) логическую схему. По сути, логическая функция, логическое выражение и логическая схема −это три разных языка, рассказывающие об одной сущности.

Для упрощения логических выражений используют законы алгебры логики .

Какие-то преобразования похожи на преобразования формул в классической алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), а другие преобразования основаны на свойствах, которыми операции классической алгебры не обладают (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, правил де Моргана и др.).

Законы алгебры логики формулируются для базовых логических операций - “НЕ” – инверсия (отрицание), “И” – конъюнкция (логическое умножение) и “ИЛИ” – дизъюнкция (логическое сложение).

Закон двойного отрицания означает, что операция “НЕ” обратима: если применить ее дважды, то в итоге логическое значение не изменится.

Закон исключенного третьего гласит, что любое логическое выражение либо истинно, либо ложно (“третьего не дано”). Поэтому если $A=1$, то $\bar{A}=0$ (и наоборот), а, значит, конъюнкция этих величин всегда равно нулю, а дизъюнкция равна единице.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Упростим эту формулу:

Рисунок 3.

Отсюда следует, что $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Ответ: в шахматы играют ученики $B$, $C$ и $D$, а ученик $A$ не играет.

При упрощении логических выражений можно выполнять такую последовательность действий :

Заменить все “небазовые” операции (эквивалентность, импликацию, исключающее ИЛИ и др.) на их выражения через базовые операции инверсию, конъюнкцию и дизъюнкцию.
Раскрыть инверсии сложных выражений по правилам де Моргана таким образом, чтобы операции отрицания остались только у отдельных переменных.
Затем упростить выражение, используя раскрытие скобок, вынесение общих множителей за скобки и другие законы алгебры логики.

Пример 2

Здесь последовательно использованы правило де Моргана, распределительный закон, закон исключенного третьего, переместительный закон, закон повторения, вновь переместительный закон и закон поглощения.

Раздел 5 ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ

В разделе узнаете:

ü о выражения и их упрощения;

ü какие свойства равенств;

ü как решать уравнения на основе свойств равенств;

ü какие виды задач решаются с помощью уравнений; что такое перпендикулярные прямые и как их строить;

ü какие прямые называются параллельными и как их строить;

ü что такое координатная плоскость;

ü как определить координаты точки на плоскости;

ü что такое график зависимости между величинами и как его построить;

ü как применить изученный материал на практике

§ 30. ВЫРАЖЕНИЯ И ИХ УПРОЩЕНИЕ

Вы уже знаете, что такое буквенные выражения и умеете их упрощать с помощью законов сложения и умножения. Например, 2а ∙ (-4 b ) = -8 ab . В полученном выражении число -8 называют коэффициентом выражения.

Имеет ли выражение cd коэффициент? Так. Он равен 1, поскольку cd - 1 ∙ cd .

Вспомним, что преобразование выражения со скобками в выражение без скобок, называют раскрытием, скобок. Например: 5(2х + 4) = 10х+ 20.

Обратная действие в этом примере - это вынесение общего множителя за скобки.

Слагаемые, содержащие одинаковые буквенные множители, называют подобными слагаемыми. С помощью вынесения общего множителя за скобки возводят подобные слагаемые:

5х + y + 4 - 2х + 6 y - 9 =

= (5х - 2х) + (y + 6 y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =

B х+ 7у - 5.

Правила раскрытия скобок

1. Если перед скобками стоит знак«+», то при раскрытии скобок знаки слагаемых в скобках сохраняют;

2. Если перед скобками стоит знак «-», то при раскрытии скобок знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные.

Задача 1 . Упростите выражение:

1) 4х+(-7х + 5);

2) 15 y -(-8 + 7 y ).

Решения. 1. Перед скобками стоит знак «+», поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых сохраняются:

4х +(-7х + 5) = 4х - 7х + 5=-3х + 5.

2. Перед скобками стоит знак«-», поэтому во время раскрытия скобок: знаки всех слагаемых меняются на противоположные:

15 - (- 8 + 7у) = 15у + 8 - 7у = 8у +8.

Для раскрытия скобок используют распределительную свойство умножения: а(b + c ) = ab + ас. Если а > 0, то знаки слагаемых b и с не изменяют. Если а < 0, то знаки слагаемых b и с меняют на противоположные.

Задача 2. Упростите выражение:

1) 2(6 y -8) + 7 y ;

2)-5(2-5х) + 12.

Решения. 1. Множитель 2 перед скобками е положительным, поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых сохраняем: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.

2. Множитель -5 перед скобками е отрицательным, поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых меняем на противоположные:

5(2 - 5х) + 12 = -10 + 25х +12 = 2 + 25х.

Узнайте больше

1. Слово «сумма» происходит от латинского summa , что означает «итог», «общее количество».

2. Слово «плюс» происходит от латинского plus , что означает «больше», а слово «минус» - от латинского minus , что значит «меньше». Знаки «+» и«-» используют для обозначения действий сложения и вычитания. Эти знаки ввел чешский ученый Й. Видман в 1489 г. в книге «Быстрый и приятный счет для всех торговцев» (рис. 138).

Рис. 138

ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ

1. Какие слагаемые называют подобными? Как возводят подобные слагаемые?

2. Как раскрывают скобки, перед которыми стоит знак «+»?

3. Как раскрывают скобки, перед которыми стоит знак «-»?

4. Как раскрывают скобки, перед которыми стоит положительный множитель?

5. Как раскрывают скобки, перед которыми стоит отрицательный множитель?

1374". Назовите коэффициент выражения:

1)12 а; 3)-5,6 ху;

2)4 6; 4)-с.

1375". Назовите слагаемые, которые отличаются только коэффициентом:

1) 10а + 76-26 + а; 3) 5 n + 5 m -4 n + 4;

2) bc -4 d - bc + 4 d ; 4)5х + 4у-х + у.

Как называются такие слагаемые?

1376". Есть ли подобными слагаемые в выражении:

1)11а+10а; 3)6 n + 15 n ; 5) 25р - 10р + 15р;

2) 14с-12; 4)12 m + m ; 6)8 k +10 k - n ?

1377". Надо ли менять знаки слагаемых в скобках, раскрывая скобки в выражении:

1)4 + (а+ 3 b ); 2)-c +(5-d ); 3) 16-(5 m -8 n )?

1378°. Упростите выражение и подчеркните коэффициент:

1379°. Упростите выражение и подчеркните коэффициент:

1380°. Сведите подобные слагаемые:

1) 4а - По + 6а - 2а; 4) 10 - 4 d - 12 + 4 d ;

2) 4 b - 5 b + 4 + 5 b ; 5) 5а - 12 b - 7а + 5 b ;

3)-7 ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m .

1381°. Сведите подобные слагаемые:

1) 6а - 5а + 8а -7а; 3) 5с + 4-2с-3с;

2)9 b +12-8-46; 4)-7 n + 8 m - 13 n - 3 m .

1382°. Вынесите общий множитель за скобки:

1)1,2 а +1,2 b ; 3) -3 n - 1,8 m ; 5)-5 p + 2,5 k -0,5 t ;

2) 0,5 с + 5 d ; 4) 1,2 n - 1,8 m ; 6)-8р - 10 k - 6 t .

1383°. Вынесите общий множитель за скобки:

1) 6а-12 b ; 3)-1,8 n -3,6 m ;

2) -0,2 с + 1 4 d ; А) 3р - 0,9 k + 2,7 t .

1384°. Раскройте скобки и сведите подобные слагаемые;

1) 5 + (4а -4); 4) -(5 c - d ) + (4 d + 5с);

2) 17х-(4х-5); 5) (n - m )- (-2 m - 3 n );

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7(-5х + у) - (-2у + 4х) + (х - 3у).

1385°. Раскройте скобки и сведите подобные слагаемые:

1) 10а + (4 - 4а); 3) (с - 5 d ) - (- d + 5с);

2) -(46- 10) + (4- 56); 4)-(5 n + m ) + (-4 n + 8 m )-(2 m -5 n ).

1386°. Раскройте скобки и найдите значение выражения:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Раскройте скобки и найдите значение выражения:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Раскройте скобки:

1)0,5 ∙ (а + 4); 4) (n - m ) ∙ (-2,4 p );

2)-с ∙ (2,7-1,2 d ); 5)3 ∙ (-1,5 р + к - 0,2 t );

3) 1,6 ∙ (2 n + m ); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t ) ∙ (-2а).

1389°. Раскройте скобки:

1) 2,2 ∙ (х-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 y );

2) -2 ∙ (1,2 n - m ); 4)6- (-р + 0,3 k - 1,2 t ).

1390. Упростите выражение:

1391. Упростите выражение:

1392. Сведите подобные слагаемые:

1393. Сведите подобные слагаемые:

1394. Упростите выражение:

1)2,8 - (0,5 а + 4) - 2,5 ∙ (2а - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, by ) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n ) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m ) ∙ 2.

1395. Упростите выражение:

1396. Найдите значение выражения;

1) 4-(0,2 а-3)-(5,8 а-16), если а = -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), если = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Найдите значение выражения:

1) -4∙ (я-2) + 2∙(6x - 1), если х =-0,25;

1398*. Найдите ошибку в решении:

1)5- (а-2,4)-7 ∙ (-а+ 1,2) = 5а - 12-7а + 8,4 = -2а-3,6;

2) -4 ∙ (2,3 а - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 а) = -9,2 а + 46 + 4,26 - 14,7 а = -5,5 а + 8,26.

1399*. Раскройте скобки и упростите выражение:

1) 2аb - 3(6(4а - 1) - 6(6 - 10а)) + 76;

1400*. Расставьте скобки так, чтобы получить правильное равенство:

1)а-6-а + 6 = 2а; 2) a -2 b -2 a + b = 3 a -3 b .

1401*. Докажите, что для любых чисел а и b , если а > b , то выполняется равенство:

1) (а + b ) + (а- b ) = 2а; 2) (а + b ) - (a - b ) = 2 b .

Будет ли правильным данное равенство, если: а) а < b ; б) а = 6?

1402*. Докажите, что для любого натурального числа а среднее арифметическое предыдущего и следующего за ним чисел равна числу а.

ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ

1403. Для приготовления фруктового десерта для трех человек нужно: 2 яблока, 1 апельсин, 2 банана и 1 киви. Как составить буквенный выражение для определения количества фруктов, необходимых для приготовления десерта я для гостей? Помогите Марин эти подсчитать, сколько фруктов нужно купить, если к ней в гости придут: 1) 5 друзей; 2) 8 друзей.

1404. Составьте буквенный выражение для определения времени, необходимого для выполнения домашнего задания по математике, если:

1) на решения задач потрачено а мин; 2) упрощение выражений в 2 раза больше, чем на решение задач. Сколько времени выполнял домашнее задание Василько, если на решение задач он потратил 15 мин?

1405. Обед в школьной ‘столовой состоит из салата, борща, голубцов и компота. Стоимость салата составляет 20 %, борща - 30 %, голубцов - 45 %, компота - 5 % общей стоимости всего обеда. Составьте выражение для нахождения стоимости обеда в школьной столовой. Сколько стоит обед, если цена салата - 2 грн?

ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ

1406. Решите уравнение:

1407. На мороженое Таня потратила всех имеющихся денег, а на конфеты - остальных. Сколько денег осталось у Тани,

если конфеты стоят 12 грн?

Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов. Приведем примеры таких выражений:
$5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 $
$xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 $

Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.

Например, многочлен
$8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 $
можно упростить.

Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
$8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = $
$= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 $

Приведем в полученном многочлене подобные члены:
$8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 $
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида .

За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен $12a^2b - 7b $ имеет третью степень, а трехчлен $2b^2 -7b + 6 $ - вторую.

Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени. Например:
$5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 $

Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.

Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки - это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:

Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.

Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.

Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена

С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
$9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = $
$= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = $
$= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 $

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения $(a + b)^2, \; (a - b)^2 $ и $a^2 - b^2 $, т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, $(a + b)^2 $ - это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.

Выражения $(a + b)^2, \; (a - b)^2 $ нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с таким заданием при умножении многочленов:
$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = $
$= a^2 + 2ab + b^2 $

Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.

$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $ - квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.

$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $ - квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $ - разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно - правые части левыми. Самое трудное при этом - увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.