Задачи на тему сложение и вычитание десятичных дробей. Вычитание десятичных дробей, правила, примеры, решения

Дробью будем называть одну или несколько равных между собой долей одного целого. Дробь записывается с помощью двух натуральных чисел, которые разделены между собой чертой. Например, 1 / 2 , 14 / 4 , ¾, 5 / 9 и т.д.

Цифра, которая записана сверху над чертой, называется числителем дроби, а цифра записанная под чертой, называется знаменателем дроби.

Для чисел, у которых знаменатель равен 10, 100, 1000, и т.д. условились записывать число без знаменателя. Для этого сначала пишут целую часть числа, ставят запятую и пишут дробную часть этого числа, то есть числитель дробной части.

Например, вместо 6(7 / 10) пишут 6,7. Такую запись принято называть десятичной дробью .

Разберемся, как выполнять простейшие арифметические действия с десятичными дробями.

Сложение десятичных дробей в смешанной форме

Допустим нам нужно сложить десятичные дроби 2,7 и 1,651.

Первым делом необходимо уравнять количество цифр после запятой. Для этого нужно приписать к десятичной дроби 2,7 справа два нуля, получим: 2,7 = 2,700.

2,700 = 2 * (700 / 1000);
1,651 = 1 * (651 / 1000).

Для сложения воспользуемся правилом, целые части складываем отдельно, дробные отдельно, и результаты складываем между собой.

2 + 1 = 3;
700 / 1000 + 651 / 1000 = 1351 / 1000 = 1 * (351 / 1000);
3 + 1 * (351 / 1000) = 4 * (351 / 1000).

А теперь, записываем это число в десятичной форме, имеем: 4,351.

Получаем в итоге, 2,7 + 1,651.= 4,351.

Сложение десятичных дробей в столбик

Еще одним способом сложения десятичных дробей, является сложение чисел в столбик.

Снова, уравниваем количество цифр после запятой, приписывая нули. Записываем одно число над другим и складываем.

3,700
+
2,651
_____
6,351

Со сложением разобрались, теперь найдем разность тех же чисел.

Вычитание десятичных дробей в смешанной форме

Опять, же повторяем первый пункт и уравниваем количество цифр после запятой, дописывая нули.

2,7 = 2,700.

Запишем эти числа в смешанной форме.

2,700 = 2 * (700 / 1000);
1,651 = 1 * (651 / 1000).

Для нахождения разности воспользуемся правилом, работаем отдельно с целыми и с дробными частями, а потом складываем полученные результаты.

2 - 1 = 1;
700 / 1000 - 651 / 1000 = 49 / 1000 = 49 / 1000 ;
1 + 49 / 1000 = 1 * (49 / 1000).

А теперь, записываем это число в десятичной форме, имеем: 1,049.

Получаем в итоге, 2,7 - 1,651.= 1,049.

Вычитание десятичных дробей в столбик

Такой же результат моно было бы получить и при вычитании столбиком.

3,700
-
2,651
_____
1,049

Общее правило сложения и вычитания десятичных дробей

1. Уравнять в дробях количество знаков после запятой

В этой статье внимание сосредоточим на вычитании десятичных дробей . Здесь мы рассмотрим правила вычитания конечных десятичных дробей, остановимся на вычитании десятичных дробей столбиком, а также рассмотрим, как проводится вычитание бесконечных периодических и непериодических десятичных дробей. Наконец, поговорим о вычитании десятичных дробей из натуральных чисел, обыкновенных дробей и смешанных чисел, и о вычитании натуральных чисел, обыкновенных дробей и смешанных чисел из десятичных дробей.

Сразу скажем, что здесь мы будем рассматривать лишь вычитание меньшей десятичной дроби из большей десятичной дроби, другие случаи разберем в статьях вычитание рациональных чисел и вычитание действительных чисел .

Навигация по странице.

Общие принципы вычитания десятичных дробей

По своей сути вычитание конечных десятичных дробей и бесконечных периодических десятичных дробей представляет вычитание соответствующих обыкновенных дробей. Действительно, указанные десятичные дроби являются десятичной записью обыкновенных дробей, о чем сказано в статье перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби и обратно .

Рассмотрим примеры вычитания десятичных дробей, отталкиваясь от озвученного принципа.

Пример.

Выполните вычитание из десятичной дроби 3,7 десятичной дроби 0,31 .

Решение.

Так как 3,7=37/10 и 0,31=31/100 , то . Так вычитание десятичных дробей свелось к вычитанию обыкновенных дробей с разными знаменателями : . Полученную дробь представим в виде десятичной дроби: 339/100=3,39 .

Ответ:

3,7−0,31=3,39 .

Заметим, что вычитание конечных десятичных дробей удобно проводить столбиком, об этом методе мы поговорим в .

Сейчас разберем пример вычитания периодических десятичных дробей.

Пример.

Отнимите от периодической десятичной дроби 0,(4) периодическую десятичную дробь 0,41(6) .

Решение.

Ответ:

0,(4)−0,41(6)=0,02(7) .

Осталось озвучить принцип вычитания бесконечных непериодических дробей .

Вычитание бесконечных непериодических дробей сводится к вычитанию конечных десятичных дробей. Для этого вычитаемые бесконечные десятичные дроби округляют до некоторого разряда, обычно, до самого младшего из возможных (смотрите округление чисел ).

Пример.

Проведите вычитание конечной десятичной дроби 0,52 из бесконечной непериодической десятичной дроби 2,77369… .

Решение.

Округлим бесконечную непериодическую десятичную дробь до 4 знака после запятой, имеем 2,77369…≈2,7737 . Таким образом, 2,77369…−0,52≈2,7737−0,52 . Вычислив разность конечных десятичных дробей, получаем 2,2537 .

Ответ:

2,77369…−0,52≈2,2537 .

Вычитание десятичных дробей столбиком

Очень удобным способом вычитания конечных десятичных дробей является вычитание столбиком. Вычитание десятичных дробей столбиком очень схоже с вычитанием столбиком натуральных чисел .

Чтобы выполнить вычитание десятичных дробей столбиком , нужно:

уравнять количество десятичных знаков в записях десятичных дробей (если оно, конечно, отличается), дописав справа некоторое количество нулей к одной из дробей;
вычитаемое записать под уменьшаемым так, чтобы цифры соответствующих разрядов находились друг под другом, и запятая находилась под запятой;
выполнить вычитание столбиком, не обращая внимания на запятые;
в полученной разности поставить запятую так, чтобы она располагалась под запятыми уменьшаемого и вычитаемого.

Рассмотрим пример вычитания десятичных дробей столбиком.

Пример.

Выполните вычитание десятичной дроби 10,30501 из десятичной дроби 4 452,294 .

Решение.

Очевидно, количество десятичных знаков дробей различно. Уравняем его, дописав два нуля справа в записи дроби 4 452,294 , при этом получится равная ей десятичная дробь 4 452,29400 .

Теперь запишем вычитаемое под уменьшаемым, как это предполагает метод вычитания десятичных дробей столбиком:

Проводим вычитание, не обращая внимания на запятые:

Осталось лишь поставить десятичную запятую в полученной разности:

На этом этапе запись приняла законченный вид, и вычитание десятичных дробей столбиком закончено. Получился следующий результат .

Ответ:

4 452,294−10,30501=4 441,98899 .

Вычитание десятичной дроби из натурального числа и наоборот

Вычитание конечной десятичной дроби из натурального числа удобнее всего выполнить столбиком, записав уменьшаемое натуральное число в виде десятичной дроби с нулями в дробной части. Разберемся с этим при решении примера.

Пример.

Отнимите от натурального числа 15 десятичную дробь 7,32 .

Решение.

Представим натуральное число 15 в виде десятичной дроби, дописав после десятичной запятой две цифры 0 (так как вычитаемая десятичная дробь имеет две цифры в дробной части), имеем 15,00 .

Теперь выполним вычитание десятичных дробей столбиком:

В итоге получаем 15−7,32=7,68 .

Ответ:

15−7,32=7,68 .

Вычитание бесконечной периодической десятичной дроби из натурального числа можно свести к вычитанию обыкновенной дроби из натурального числа. Для этого периодическую десятичную дробь достаточно заменить соответствующей обыкновенной дробью.

Пример.

Проведите вычитание из натурального числа 1 периодической десятичной дроби 0,(6) .

Решение.

Периодической десятичной дроби 0,(6) отвечает обыкновенная дробь 2/3 . Таким образом, 1−0,(6)=1−2/3=1/3 . Полученную обыкновенную дробь можно записать в виде десятичной дроби 0,(3) .

Ответ:

1−0,(6)=0,(3) .

Вычитание бесконечной непериодической десятичной дроби из натурального числа сводится к вычитанию конечной десятичной дроби. Для этого бесконечную непериодическую десятичную дробь нужно округлить до некоторого разряда.

Пример.

Отнимите от натурального числа 5 бесконечную непериодическую десятичную дробь 4,274… .

Решение.

Сначала округлим бесконечную десятичную дробь, мы можем провести округление до сотых, имеем 4,274…≈4,27 . Тогда 5−4,274…≈5−4,27 .

Представим натуральное число 5 как 5,00 , и выполним вычитание десятичных дробей столбиком:

Ответ:

5−4,274…≈0,73 .

Осталось озвучить правило вычитания натурального числа из десятичной дроби : чтобы вычесть натуральное число из десятичной дроби, надо это натуральное число вычесть из целой части уменьшаемой десятичной дроби, а дробную часть оставить без изменения. Это правило относится как к конечным десятичным дробям, так и к бесконечным. Рассмотрим решение примера.

Пример.

Выполните вычитание натурального числа 17 из десятичной дроби 37,505 .

Решение.

Целая часть десятичной дроби 37,505 равна 37 . Вычтем из нее натуральное число 17 , имеем 37−17=20 . Тогда 37,505−17=20,505 .

Ответ:

37,505−17=20,505 .

Вычитание десятичной дроби из обыкновенной дроби или смешанного числа и наоборот

Вычитание конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби из обыкновенной дроби можно свести к вычитанию обыкновенных дробей. Для этого вычитаемую десятичную дробь достаточно перевести в обыкновенную дробь.

Пример.

Отнимите десятичную дробь 0,25 от обыкновенной дроби 4/5 .

Решение.

Так как 0,25=25/100=1/4 , то разность обыкновенной дроби 4/5 и десятичной дроби 0,25 равна разности обыкновенных дробей 4/5 и 1/4 . Итак, 4/5−0,25=4/5−1/4=16/20−5/20=11/20 . В десятичной записи полученная обыкновенная дробь имеет вид 0,55 .

Ответ:

4/5−0,25=11/20=0,55 .

Аналогично вычитание конечной десятичной дроби или периодической десятичной дроби из смешанного числа сводится к вычитанию обыкновенной дроби из смешанного числа.

Пример.

Выполните вычитание десятичной дроби 0,(18) из смешанного числа .

Решение.

Для начала переведем периодическую десятичную дробь 0,(18) в обыкновенную дробь: . Таким образом, . Полученное смешанное число в десятичной записи имеет вид 8,(18) .

Для начала нужно уравнять число знаков после запятой.
Дальше необходимо записать десятичные дроби друг под другом таким образом, чтобы запятые были друг под другом. Это самая важная часть!
Далее, выполнить вычитание десятичных дробей, без учета запятых, по правилам вычитания в столбик натуральных чисел.
И последнее, поставить в ответе запятую под запятыми.

Второй вариант вычитания десятичных дробей :

Если вы хорошо разбираетесь в десятичных дробях, в том, что такое десятые, сотые и др., то вам будет интересен этот вариант.

Правила вычитания десятичных дробей в строчку:

Вычитаем десятичные дроби справа налево. Т.е., начиная с крайнего правого числа после запятой.
Вычитаем поразрядно. Целые из целых, десятые из десятых, сотые из сотых, тысячные из тысячных и так далее.
При вычитании большей цифры из меньшей, у соседа слева меньшей цифры занимаем десяток.

Например:

Крайняя правая цифра в заданных дробях - сотого разряда. 1 - 1 = 0 . Получаем ноль, то есть, в разряде сотых разности записываем 0 .

Десятые вычитаем из десятых. 2 - в уменьшаемом, 3 - вычитаемом. Т.к. из 2 (меньшего) нельзя вычитать 3 (большее), то нужно занять десяток у левой цифры для 2. Здесь это 5. 2 + 10 = 12. Таким образом, 3 вычитаем не из 2 , а из 12 .

12 - 3 = 9

Записываем 9 в разность. Так как мы из 5 вычли 1 десяток, в уменьшаемом остается не 15 , а 14 , чтобы это не забыть ставим над 5 пустой кружок или точку, как удобнее.

Вычитаем из 14 8:

14 - 8 = 6

Обратите внимание! Десятые можно вычитать только из десятых, сотые из сотых, тысячные из тысячных и так далее. Если в одной из дробей, отсутствует цифра соответствующего разряда, вместо неё записываем 0 .

Во втором числе крайняя правая цифра это два (сотый разряд), а в первом числе сотых не видно. Значит, к первому числу справа от 9 дописываем 0 и далее производим вычитание опираясь на основные правила.

Третий вариант вычитания десятичных дробей :

Изучаем другие действия, которые можно совершать с десятичными дробями. В этом материале мы узнаем, как правильно подсчитать разность десятичных дробей. Отдельно разберем правила для конечных и бесконечных дробей (как периодических, так и непериодических), а также посмотрим, как считать разность дробей столбиком. Во второй части мы объясним, как вычесть десятичную дробь из натурального числа, обыкновенной дроби, смешанного числа.

Отметим заранее, что в этой статье рассмотрены только случаи, когда меньшая дробь вычитается из большей, т.е. результат этого действия положителен; другие случаи относятся к нахождению разности рациональных и действительных чисел и должны быть объяснены отдельно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Процесс вычисления как конечных, так и бесконечных периодических десятичных дробей можно свести к нахождению разности дробей обыкновенных. Раньше мы говорили о том, что десятичные дроби можно записывать в виде обыкновенных дробей. Исходя из этого правила, разберем несколько примеров нахождения разности.

Пример 1

Найдите разность 3 , 7 - 0 , 31 .

Решение

Переписываем десятичные дроби в виде обыкновенных: 3 , 7 = 37 10 и 0 , 31 = 31 100 .

Что делать потом, мы уже изучали. Мы получили ответ, который переводим обратно в десятичную дробь: 339 100 = 3 , 39 .

Подсчеты, связанные с десятичными дробями, удобно производить столбиком. Как же пользоваться этим методом? Покажем, решив задачу.

Пример 2

Вычислите разность между периодической дробью 0 , (4) и периодической десятичной дробью 0 , 41 (6) .

Решение

Переведем записи периодических дробей в обыкновенные и подсчитаем.

0 , 4 (4) = 0 , 4 + 0 , 004 + . . . = 0 , 4 1 - 0 , 1 = 0 , 4 0 , 9 = 4 9 . 0 , 41 (6) = 0 , 41 + (0 , 006 + 0 , 0006 + . . .) = 41 100 + 0 , 006 0 , 9 = = 41 100 + 6 900 = 41 100 + 1 150 = 123 300 + 2 300 = 125 300 = 5 12

Итого: 0 , (4) - 0 , 41 (6) = 4 9 - 5 12 = 16 36 - 15 36 = 1 36

Если нужно, ответ мы можем представить в виде десятичной дроби:

Ответ: 0 , (4) − 0 , 41 (6) = 0 , 02 (7) .

Разберем далее, как найти разность, если у нас в условиях стоят бесконечные непериодические дроби. Такой случай также можно свести к нахождению разности конечных десятичных дробей, для чего понадобится округлить бесконечные дроби до определенного разряда (обычно самого меньшего из возможных).

Пример 3

Найдите разность 2 , 77369 … - 0 , 52 .

Решение

Вторая дробь в условии – конечная, а первая – бесконечная непериодическая. Мы можем округлить ее до четырех знаков после запятой: 2 , 77369 … ≈ 2 , 7737 . После этого можно выполнять вычитание: 2 , 77369 … − 0 , 52 ≈ 2 , 7737 − 0 , 52 .

Ответ: 2 , 2537 .

Вычитание столбиком – быстрый и наглядный способ узнать разность конечных десятичных дробей. Процесс подсчета очень схож с аналогичным для натуральных чисел.

если в указанных десятичных дробях отличается количество знаков после запятой, уравняем его. Для этого допишем к нужной дроби нули;
запишем вычитаемую дробь под уменьшаемой, разместив значения разрядов строго друг под другом, а запятую под запятой;
выполним подсчет столбиком так же, как мы это делаем для натуральных чисел, запятую при этом игнорируем;
в ответе отделим нужное количество чисел запятой так, чтобы она располагалась на том же месте.

Разберем конкретный пример использования этого метода на практике.

Пример 4

Найдите разность 4 452 , 294 - 10 , 30501 .

Решение

Для начала выполним первый шаг – уравняем количество десятичных знаков. Допишем два нуля в первую дробь и получим дробь вида 4 452 , 29400 , значение которой идентично исходной.

Запишем получившиеся числа друг под другом в нужном порядке, чтобы получился столбик:

Считаем как обычно, игнорируя запятые:

В получившемся ответе поставим запятую в нужном месте:

Подсчеты окончены.

Наш результат: 4 452 , 294 − 10 , 30501 = 4 441 , 98899 .

Найти разность между конечной десятичной дробью и натуральным числом легче всего описанным выше способом – столбиком. Для этого число, из которого мы вычитаем, необходимо записать в виде десятичной дроби, в дробной части которой стоят нули.

Пример 5

Вычислите 15 - 7 , 32 .

Запишем уменьшаемое число 15 в виде дроби 15 , 00 , поскольку дробь, которую нам нужно вычесть, имеет два знака после запятой. Далее выполняем подсчет столбиком, как обычно:

Таким образом, 15 − 7 , 32 = 7 , 68 .

Если из натурального числа нам нужно вычесть бесконечную периодическую дробь, то мы опять же сводим эту задачу к аналогичному вычислению. Заменяем периодическую десятичную дробь на обыкновенную.

Пример 6

Вычислите разность 1 - 0 , (6) .

Решение

Указанной в условии периодической десятичной дроби соответствует обычная 2 3 .

Считаем: 1 − 0 , (6) = 1 − 2 3 = 1 3 .

Полученный ответ можно перевести в периодическую дробь 0 , (3) .

Если данная в условии дробь непериодическая, поступаем так же, предварительно округлив ее до нужного разряда.

Пример 7

Отнимите 4 , 274 … от 5 .

Решение

Указанную бесконечную дробь мы округлим до сотых и получим 4 , 274 … ≈ 4 , 27 .

После этого вычисляем 5 − 4 , 274 … ≈ 5 − 4 , 27 .

Преобразуем 5 в 5 , 00 и запишем столбик:

В итоге 5 − 4 , 274 … ≈ 0 , 73 .

Если перед нами стоит обратная задача – вычесть натуральное число из десятичной дроби, то мы выполняем вычитание из целой части дроби, а дробную часть не трогаем совсем. Мы поступаем так и с конечными, и с бесконечными дробями.

Пример 8

Найдите разность 37 , 505 – 17 .

Решение

Отделяем от дроби целую часть 37 и вычитаем требуемое число из нее. Получаем 37 , 505 − 17 = 20 , 505 .

Эту задачу также необходимо свести к вычитанию обыкновенных дробей – как в случае со смешанными числами, так и с десятичными дробями.

Пример 9

Вычислите разность 0 , 25 - 4 5 .

Решение

Представим 0 , 25 в виде обыкновенной дроби – 0 , 25 = 25 100 = 1 4 .

Теперь нам нужно найти разность между 1 4 и 4 5 .

Считаем: 4 5 − 0 , 25 = 4 5 − 1 4 = 16 20 − 5 20 = 11 20 .

Запишем ответ в виде десятичной записи: 0 , 55 .

Если в условии стоит смешанное число, из которого надо вычесть конечную или периодическую десятичную дробь, то поступаем аналогично.

Пример 10

Условие: отнимите 0 , (18) от 8 4 11 .

Перепишем периодическую дробь в виде обыкновенной. 0 , (18) = 0 , 18 + 0 , 0018 + 0 , 000018 + . . . = 0 , 18 1 - 0 , 01 = 0 , 18 0 , 99 = 18 99 = 2 11

Получается, что 8 4 11 - 0 , (18) = 8 4 11 - 2 11 = 8 2 11 .

В виде десятичной дроби ответ можно записать как 8 , (18) .

Таким же образом мы действуем, когда вычитаем смешанное число или обыкновенную дробь из конечной или периодической дроби.

Пример 11

Подсчитайте 9 40 - 0 , 03 .

Решение

Заменяем дробь 0 , 03 на обыкновенную 3 100 .

У нас получается, что: 9 40 − 0 , 03 = 9 40 − 3 100 = 90 400 − 12 400 = 78 400 = 39 200

Ответ можно оставить так или преобразовать в десятичную дробь 0 , 195 .

Если нам требуется выполнять вычитание с участием бесконечных непериодических дробей, то нам нужно будет свести их к конечным. Со смешанными числами поступаем аналогично. Для этого запишем обыкновенную дробь или смешанное число в виде десятичной дроби и округлим вычитаемую дробь до определенного разряда. Проиллюстрируем нашу мысль примером:

Пример 12

Отнимите 4 , 38475603 … . из 10 2 7 .

Решение

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

В итоге 10 2 7 - 4 , 38475603 . . . = 10 , (285714) - 4 , 38475603 . . . .

Теперь округлим вычитаемые числа до седьмого знака: 10 , (285714) = 10 , 285714285714 … ≈ 10 , 2857143 и 4 , 38475603 … ≈ 4 , 3847560

Тогда 10 , (285714) − 4 , 38475603 … ≈ 10 , 2857143 − 4 , 3847560 .

Единственное, что осталось сделать – вычесть одну конечную десятичную дробь из другой. Выполним подсчет столбиком: