Чему равен периметр прямоугольника. Периметр и площадь прямоугольника
Периметр - один из математических, а точнее - геометрических терминов, применяется в основном для вычисления сторон фигуры.
Из нашей статьи вы узнаете, что такое периметр и как он измеряется на примере основных геометрических фигур.
Определение периметра
Периметром называют общую длину всех сторон или окружности той или иной фигуры. Обозначается периметр большой буквой «Р», а измерять его можно в различных единицах длины, таких как миллиметры (мм), сантиметры (см), метры (м) и т. д. Для различных фигур существуют различные формулы для нахождения периметра. Ниже мы приведем несколько примеров, как узнать периметр у прямоугольника и некоторых других фигур.
Измеряем периметр
Если вам необходимо узнать периметр у сложной фигуры (к таким фигурам можно отнести фигуры с неровными линиями), то для этого вам понадобится веревка или нитка. При помощи этих вещей необходимо описать точный контур фигуры, а чтобы не запутаться, вы можете на веревке сделать отметки карандашом. Или же можно просто ее обрезать, а после приложить все части к линейке. Таким образом, вы узнаете, чему равен периметр практически у любой сложной фигуры.
Существует еще одно приспособление для вычисления периметра у сложных фигур: его называют курвиметр (роликовый дальномер). С его помощью вам нужно установить ролик в любую точку фигуры и описать роликом контур фигуры. Полученное число и будет равно периметру. О нахождении периметра у других геометрических фигур вы сможете узнать из нашей статьи . Ну а мы расскажем ещё о нескольких способах изменения периметра для разных фигур.
Круг, квадрат, равносторонний треугольник
Давайте также рассмотрим, как узнать периметр круга. Это довольно-таки просто: достаточно лишь определить длину окружности, а сделать это можно, умножив радиус «r» на число π≈3,14 и затем на 2 (P=L=2∙π∙r).
Прямоугольник (или параллелограмм) АВСД, то он обладает следующими свойствами: параллельные стороны попарно равны (см. ). АВ = СД и АС = ВД. Зная отношение сторон в этой фигуре, можно вывести прямоугольника (и параллелограмма): Р = АВ + СД + АС+ ВД. Пусть одни стороны будут равны числу а, другие – числу в, тогда Р = а + а + в + в = 2*а = 2* в = 2*(а + в). Пример 1. В АВСД стороны равны АВ = СД = 7 см и АС = ВД = 3 см. Найти периметр такого прямоугольника. Решение: Р = 2*(а + в). Р = 2*(7 +3) = 20 см.
Решая задачи на сумму длин сторон с фигурой, называемой квадрат или ромб, следует применять несколько видоизмененную формулу периметра. Квадрат и ромб – фигуры, имеющие одинаковые четыре стороны. Исходя из определения периметра, Р = АВ + СД + АС+ ВД и допуская длины буквой а, то Р = а + а + а + а = 4*а. Пример 2. Ромб стороны 2 см. Найти его периметр. Решение: 4*2 см = 8 см.
Если данный четырехугольник является трапецией, то в этом случае просто нужно сложить длины четырех ее сторон. Р = АВ + СД + АС+ ВД. Пример 3. Найти АВСД, если ее стороны равны: АВ = 1 см, СД = 3 см, АС = 4 см, ВД = 2 см. Решение: Р = АВ + СД + АС+ ВД = 1 см + 3 см + 4 см + 2 см = 10 см. Может случиться такое, что окажется равнобокой (у нее две боковые стороны равны), тогда ее периметр может свестись к формуле: Р = АВ + СД + АС+ ВД = а + в +а + с = 2*а + в + с. Пример 4. Найти периметр равнобокой , если ее боковые грани равны 4 см, а основания - 2 см и 6 см. Решение: Р = 2*а + в + с = 2 *4см + 2 см + 6 см = 16 см.
Видео по теме
Никто не мешает находить периметр четырехугольника (и любой другой фигуры), как сумму длин сторон, не используя выведенные формулы. Они даны для удобства и упрощения вычисления. Не является ошибкой метод решения, важен правильный ответ и знание математической терминологии.
Источники:
- как находить периметр прямоугольника
Все мы когда-то в школе начинаем изучать периметр прямоугольника. Так давайте вспомним, как же его вычислить и вообще что такое периметр?
Слово "периметр" произошло от двух греческих слов: «peri», которое означает "вокруг", "около" и "metron", которое означает "мерить", "измерять". Т.е. периметр, в переводе с греческого означает "измерение вокруг".
При решении, необходимо принять во внимание, что решить задачу о нахождении площади прямоугольника только из длины его сторон нельзя .
В этом несложно убедиться. Пусть периметр прямоугольника будет равен 20 см. Это будет верно, если его стороны 1 и 9, 2 и 8, 3 и 7 см. Все эти три прямоугольника будут иметь одинаковый периметр, равный двадцати сантиметрам. (1 + 9) * 2 = 20 точно также как и (2 + 8) * 2 = 20 см.
Как видно, мы можем подобрать бесконечное количество вариантов
размеров сторон прямоугольника, периметр которого будет равен заданному значению.
Площадь прямоугольников с заданным периметром 20 см, но с различными сторонами будет различна. Для приведенного примера - 9, 16 и 21 квадратных сантиметров соответственно.
S 1 = 1 * 9 = 9 см 2
S 2 = 2 * 8 = 16 см 2
S 3 = 3 * 7 = 21 см 2
Как видим, вариантов площади фигуры при заданном периметре - бесконечное количество.
Таким образом, для того, чтобы вычислить площадь прямоугольника из его периметра, нужно обязательно знать либо соотношение его сторон, либо длину одной из них. Единственной фигурой, которая имеет однозначную зависимость своей площади от периметра, является круг. Только для круга и возможно решение.
В этом уроке:
- Задача 4. Изменение длины сторон при сохранении площади прямоугольника
Задача 1. Найти стороны прямоугольника из площади
Периметр прямоугольника равен 32 сантиметрам, а сумма площадей квадратов, построенных на каждой из его сторон - 260 квадратных сантиметров. Найдите стороны прямоугольника.Решение.
2(x+y)=32
Согласно условию задачи, сумма площадей квадратов построенных на каждой из его сторон (квадратов, соответственно, четыре) будет равна
2x 2 +2y 2 =260
x+y=16
x=16-y
2(16-y) 2 +2y 2 =260
2(256-32y+y 2)+2y 2 =260
512-64y+4y 2 -260=0
4y 2 -64y+252=0
D=4096-16x252=64
x 1 =9
x 2 =7
Теперь примем во внимание, что исходя из того, что x+y=16 (см. выше) при x=9, то y=7 и наоборот, если x=7, то y=9
Ответ : Стороны прямоугольника равны 7 и 9 сантиметров
Задача 2. Найти стороны прямоугольника из периметра
Периметр прямоугольника 26 см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух его смежных сторонах, равна 89 кв. см. Найдите стороны прямоугольника.
Решение.
Обозначим стороны прямоугольника как x и y.
Тогда периметр прямоугольника равен:
2(x+y)=26
Сумма площадей квадратов построенных на каждой из его сторон (квадратов, соответственно, два и это квадраты ширины и высоты, поскольку стороны смежные) будет равна
x 2 +y 2 =89
Решаем полученную систему уравнений. Из первого уравнения выводим, что
x+y=13
y=13-y
Теперь выполняем подстановку во второе уравнение, заменяя x его эквивалентом.
(13-y) 2 +y 2 =89
169-26y+y 2 +y 2 -89=0
2y 2 -26y+80=0
Решаем полученное квадратное уравнение.
D=676-640=36
x 1 =5
x 2 =8
Теперь примем во внимание, что исходя из того, что x+y=13 (см. выше) при x=5, то y=8 и наоборот, если x=8, то y=5
Ответ: 5 и 8 см
Задача 3. Найти площадь прямоугольника из пропорции его сторон
Найти площадь прямоугольника если его периметр равен 26 см а стороны пропорциональны как 2 к 3.
Решение.
Обозначим стороны прямоугольника через коэффициент пропорциональности x.
Откуда длина одной стороны будет равна 2x, другой - 3х.
Тогда:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
Теперь, исходя из полученных данных, определим площадь прямоугольника:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 см 2
Задача 4 . Изменение длины сторон при сохранении площади прямоугольника
Длина прямоугольника увеличена на 25%. На сколько процентов надо уменьшить ширину, чтобы его площадь не изменилась?Решение
.
Площадь прямоугольника равна
S = ab
В нашем случае один из множителей увеличился на 25%, что означает a 2 = 1,25a . Таким образом, новая площадь прямоугольника должна быть равна
S 2 = 1,25ab
Таким образом, для того, чтобы вернуть площадь прямоугольника к начальному значению, то
S 2 = S / 1.25
S 2 = 1,25ab / 1.25
Поскольку новый размер а изменять нельзя, то
S 2 = (1,25a) b / 1.25
1 / 1,25 = 0,8
Таким образом, величину второй стороны нужно уменьшить на (1 - 0,8) * 100% = 20%
Ответ : ширину нужно уменьшить на 20%.
Как вычислять периметр?
Нам частенько приходилось слышать от учителей: "Занимайтесь прилежно, знания очень пригодятся вам в жизни", и, действительно, такое случается. Например, когда мы беремся за ремонт, нам совершенно необходимо знать, как рассчитать периметр той или иной фигуры, чтобы определить требуемое количество строительного материала. В этой статье для тех, кто забыл школьный курс, расскажем о том, как вычислять периметр различных фигур.
Что такое периметр?
Периметр - это длина линии, очерчивающей геометрическую фигуру; длина всех сторон плоской фигуры. Таким образом, чтобы найти периметр фигуры, достаточно измерить длину каждой стороны и сложить все результаты. Однако иногда можно сделать расчет более простым способом с помощью специальных формул. Далее разберем способы нахождения периметра различных фигур с помощью обоих методов.
Периметр треугольника
Перед тем как вычислить периметр треугольника, необходимо измерить длину каждой стороны. После этого просто сложите их - это и будет периметр.
Однако если мы имеем дело с равнобедренным треугольником, можно измерить одну из равных сторон и умножить полученное значение на два, а затем прибавить к нему длину основания.
Для вычисления периметра равностороннего треугольника, достаточно и вовсе померить только одну сторону и умножить полученное значение на три.
Периметр четырехугольника
Разберем в данном разделе, как вычислить периметр квадрата, ромба, прямоугольника, параллелепипеда и трапеции.
Квадрат и ромб
Как известно, у квадрата четыре стороны и все они равны, а значит, для вычисления периметра квадрата необходимо померить одну из его сторон, а затем умножить полученное значение на 4. Собственно говоря, точно так же находится периметр ромба, потому как у ромба все стороны равны.
Прямоугольник и параллелограмм
У прямоугольника стороны равны попарно, таким образом, для вычисления периметра, потребуется померить большую и меньшую сторону, каждое из полученных значений умножить на два и сложить получившиеся значения. Аналогично находится периметр параллелограмма.
Трапеция
Еще один тип четырехугольника - трапеция. У этой фигуры, как правило, все стороны разной длины, а потому для нахождения периметра придется измерить каждую сторону и сложить их. Однако трапеция может быть равнобедренной. В таком случае для расчета периметра можно воспользоваться следующей формулой: P = a+b+2c, где c - длина одной из равных сторон.
Существует, кстати, еще один способ определения периметра равнобедренной трапеции - так называемый "метод средней линии". Сначала нужно провести эту самую среднюю линию (она проводится через две точки - середины равных сторон), затем надо измерить ее, умножить полученное значение на два и прибавить две длины равных сторон.
Периметр многоугольника
Для нахождения периметра многоугольника, как правило, действует правило - измерь все стороны и сложи их. Однако некоторые частные случаи позволяют более просто справиться с задачей. Например, если перед вами так называемый правильный шестиугольник, его периметр можно посчитать, умножив длину стороны на 6.
Для расчета периметра круга или, как говорят чаще, длины окружности, существует специальная формула: P=2πr, где π - постоянное значение, равное 3,14; r - радиус окружности. Формула также может выглядеть так: P=πd, где d- диаметр окружности.
Кстати, фактически π - это отношение длины окружности к ее диаметру. Доказано, что это значение для всех окружностей одинаково и равно 3,14.
Цель: ознакомить с приёмом нахождения периметра прямоугольника.
Задачи: формировать умение решать задачи, связанные с нахождением периметра фигур, вырабатывать умения чертить геометрические фигуры, закрепить умение вычислять, применяя с переместительное свойство сложения, развивать навык устного счёта, логическое мышление, воспитывать познавательную активность и умение работать в коллективе.
Оборудование: ИКТ (мультимедийный проектор, презентация к уроку), картинки с геометрическими фигурами для физминутки, модель магического квадрата, у учеников – модели геометрических фигур, маркерные доски, линейки, учебники, тетради.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент
Проверка готовности к уроку. Приветствие.
Начинается урок,
Он пойдёт ребятам впрок.
Постарайтесь всё понять –
И внимательно считать.
2. Устный счёт
а) Использование магических фигур. (Приложение 1 )
– Заполним клетки магического квадрата, назовите его особенности (сумма чисел по горизонталям, вертикалям и диагоналям равны) и определите волшебное число. (39)
По цепочке дети заполняют квадрат на доске и в тетрадях .
б) Знакомство со свойствами магических треугольников. (Приложение 2 )
– Суммы чисел в углах, образующие треугольник равны. Найдём волшебные числа у треугольника. Определи пропущенное число. Отметь его на маркерной доске.
3. Подготовка к изучению нового материала
– Перед Вами геометрические фигуры. Назовите
их одним словом. (Четырёхугольники).
– Разделите их на 2 группы. (Приложение
3
)
– Что такое прямоугольники. (Прямоугольники –
четырехугольники, у которых все углы прямые.)
– Что можно узнать, зная длины сторон
четырёхугольников? Периметр – сумма длин сторон
фигур.
– Найдите периметр белой фигуры, жёлтой.
– Почему у прямоугольников известны не все
стороны?
– Какие свойства у противолежащих сторон
прямоугольников? (У прямоугольника
противоположные стороны равны).
– Если противоположные стороны равны, надо ли
измерять все стороны? (Нет.)
– Правильно, достаточно измерить длину и ширину.
– Как вычислить удобным способом? (Учащиеся
работают устно с комментированием.)
4. Изучение новой темы
– Прочитайте тему нашего урока: «Периметр
прямоугольника». (Приложение 4
)
– Помогите найти периметр данной фигуры, если её
длина равна – а
, а ширина – в
.
Желающие находят Р у доски. Учащиеся в тетрадях записывают решение.
– Как записать это по-другому?
Р = а + а + в + в ,
Р = а х 2 + в х 2,
Р = (а + в ) х 2.
– Мы получили формулу нахождения периметра прямоугольника. (Приложение 5 )
5. Закрепление
Стр. 44 № 2.
Дети читают и записывают условие, вопрос, чертят фигуру, находят Р разными способами, записывают ответ.
6. Физминутка. Сигнальные карточки
Сколько клеточек зелёных,
Столько выполним наклонов.
Столько раз руками хлопнем.
Столько раз ногами топнем.
Сколько здесь у нас кружков,
Столько сделаем прыжков.
Мы присядем столько раз,
Столь подтянемся сейчас.
– У Вас на партах лежат в конвертах
геометрические фигуры. Как мы их назовём?
– Что такое прямоугольники?
– Что вы знаете о противолежащих сторонах
прямоугольников?
– Измерьте стороны фигур по вариантам,
найдите периметр разными способами.
– Проверяем у соседа.
Взаимопроверка тетрадей .
– Прочитайте: Как нашли периметр? Что можно
сказать о периметрах данных фигур? (Они равны)
.
– Начертите прямоугольник с таким же Р, но
другими сторонами.
Р 1 = (2 + 6) х 2 = 16 Р 1 = 2 х 2 + 6 х 2 = 16
Р 1 = 2 + 2 + 6 + 6 = 16
Р 2 = 3 + 3 + 5 + 5 = 16 Р 2 = (3 + 5) х 2 = 16
Р 3 = 4 + 4 + 4 + 4 = 16 Р 4 = 1 + 1 + 7 + 7 = 16
8. Графический диктант
Слева 6 клеток. Поставили точку. Начинаем движение. 2 – вправо, 4 – вправо вниз, 10 – влево, 4 – вправо вверх. Какая фигура? Преврати её в прямоугольник. Дострой. Найди Р разными способами.
Р = (5 + 2) х 2 = 14.
Р = 5 + 5 + 2 + 2 = 14.
Р = 5 х 2 + 2 х 2 = 14.
Умножали, умножали.
Очень, очень мы устали.
Наши пальчики сплетём и соединим ладошки.
А потом, как только можем, крепко накрепко сожмём.
На дверях висит замок.
Кто его открыть не смог?
Мы замочком постучали,
Мы замочек повертели,
Мы замочек покрутили и открыли.
(Слова сопровождаются движениями)
10. Составление и решение задачи по условию (Приложение 8 )
Длина прямоугольника – 12 дм
Ширина – на 3 дм м.
Р – ?
В первом действии найдём ширину: 12 – 3 = 9 (дм) –
ширина
Зная длину и ширину, узнаем Р одним из способов.
Р = (12 + 9) х 2 = 42 дм
11. Самостоятельная работа
12. Итог урока
– Чему учились. Как находили Р прямоугольника?
13.Оценивание
Оцениваются ответы учащихся у доски и выборочно в процессе самостоятельной работы.
14.Домашнее задание
С. 44 № 5 (с пояснениями).