Свойства десятичных логарифмов формулы. Любое число \(a\) может быть представлено как логарифм с основанием \(b\): \(a=\log_{b}{b{a}}\). Логарифм произведения и логарифм частного

• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

Логарифмом числа N по основаниюа называется показатель степених , в которую нужно возвестиа , чтобы получить числоN

При условии, что
,
,

Из определения логарифма следует, что
, т.е.
- это равенство является основным логарифмическим тождеством.

Логарифмы по основанию 10 называются десятичными логарифмами. Вместо
пишут
.

Логарифмы по основанию e называются натуральными и обозначаются
.

Основные свойства логарифмов.

Логарифм единицы при любом основании равен нулю

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

3) Логарифм частного равен разности логарифмов

Множитель
называется модулем перехода от логарифмов при основанииa к логарифмам при основанииb .

С помощью свойств 2-5 часто удается свести логарифм сложного выражения к результату простых арифметических действий над логарифмами.

Например,

Такие преобразования логарифма называются логарифмированием. Преобразования обратные логарифмированию называются потенцированием.

Глава 2. Элементы высшей математики.

1. Пределы

Пределом функции
является конечное число А, если при стремлении xx 0 для каждого наперед заданного
, найдется такое число
, что как только
, то
.

Функция, имеющая предел, отличается от него на бесконечно малую величину:
, где- б.м.в., т.е.
.

Пример. Рассмотрим функцию
.

При стремлении
, функцияy стремится к нулю:

1.1. Основные теоремы о пределах.

Предел постоянной величины равен этой постоянной величине

.

Предел суммы (разности) конечного числа функций равен сумме (разности) пределов этих функций.

Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций.

Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя не равен нулю.

Замечательные пределы

,
, где

1.2. Примеры вычисления пределов

Однако, не все пределы вычисляются так просто. Чаще вычисление предела сводится к раскрытию неопределенности типа: или .

.

2. Производная функции

Пусть мы имеем функцию
, непрерывную на отрезке
.

Аргумент получил некоторое приращение
. Тогда и функция получит приращение
.

Значению аргумента соответствует значение функции
.

Значению аргумента
соответствует значение функции .

Следовательно, .

Найдем предел этого отношения при
. Если этот предел существует, то он называется производной данной функции.

Определение 3Производной данной функции
по аргументу называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента произвольным образом стремится к нулю.

Производная функции
может быть обозначена следующим образом:

; ; ; .

Определение 4Операция нахождения производной от функции называетсядифференцированием.

2.1. Механический смысл производной.

Рассмотрим прямолинейное движение некоторого твердого тела или материальной точки.

Пусть в некоторый момент времени движущаяся точка
находилась на расстоянии от начального положения
.

Через некоторый промежуток времени
она переместилась на расстояние
. Отношение =- средняя скорость материальной точки
. Найдем предел этого отношения, учитывая что
.

Следовательно, определение мгновенной скорости движения материальной точки сводится к нахождению производной от пути по времени.

2.2. Геометрическое значение производной

Пусть у нас есть графически заданная некоторая функция
.

Рис. 1. Геометрический смысл производной

Если
, то точка
, будет перемещаться по кривой, приближаясь к точке
.

Следовательно
, т.е. значение производной при данном значении аргумента численно равняется тангенсу угла образованного касательной в данной точке с положительным направлением оси
.

2.3. Таблица основных формул дифференцирования.

Степенная функция

Показательная функция

Логарифмическая функция

Тригонометрическая функция

Обратная тригонометрическая функция

2.4. Правила дифференцирования.

Производная от

Производная суммы (разности) функций

Производная произведения двух функций

Производная частного двух функций

2.5. Производная от сложной функции.

Пусть дана функция
такая, что ее можно представить в виде

и
, где переменнаяявляется промежуточным аргументом, тогда

Производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по x.

Пример1.

Пример2.

3. Дифференциал функции.

Пусть есть
, дифференцируемая на некотором отрезке
и пустьу этой функции есть производная

,

тогда можно записать

(1),

где - бесконечно малая величина,

так как при

Умножая все члены равенства (1) на
имеем:

Где
- б.м.в. высшего порядка.

Величина
называется дифференциалом функции
и обозначается

.

3.1. Геометрическое значение дифференциала.

Пусть дана функция
.

Рис.2. Геометрический смысл дифференциала.

.

Очевидно, что дифференциал функции
равен приращению ординаты касательной в данной точке.

3.2. Производные и дифференциалы различных порядков.

Если есть
, тогда
называется первой производной.

Производная от первой производной называется производной второго порядка и записывается
.

Производной n-го порядка от функции
называется производная (n-1)-го порядка и записывается:

.

Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка.

.

.

3.3 Решение биологических задач с применением дифференцирования.

Задача1. Исследования показали, что рост колонии микроорганизмов подчиняется закону
, гдеN – численность микроорганизмов (в тыс.),t –время (дни).

б) Будет ли в этот период численность колонии увеличиваться или уменьшаться?

Ответ. Численность колонии будет увеличиваться.

Задача 2. Вода в озере периодически тестируется для контроля содержания болезнетворных бактерий. Черезt дней после тестирования концентрация бактерий определяется соотношением

.

Когда в озере наступит минимальная концентрация бактерий и можно будет в нем купаться?

РешениеФункция достигает max или min, когда ее производная равна нулю.

,

Определим max или min будет через 6 дней. Для этого возьмем вторую производную.

Ответ: Через 6 дней будет минимальная концентрация бактерий.

Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.

Основное логарифмическое тождество

Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a ≠ 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического "тождества" при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.

Два очевидных следствия определения логарифма

Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень - единицу.

Логарифм произведения и логарифм частного

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании "слева направо" происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного - расширение ОДЗ.

Действительно, выражение log a (f (x) g (x)) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.

Преобразуя данное выражение в сумму log a f (x) + log a g (x) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).

Степень можно выносить за знак логарифма

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть - только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.

Формула перехода к новому основанию

Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.

Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Несколько простых примеров с логарифмами

Пример 1. Вычислите: lg2 + lg50.
Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.

Пример 2. Вычислите: lg125/lg5.
Решение. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).

Таблица формул, связанных с логарифмами

Как известно, при перемножении выражений со степенями их показатели всегда складываются (a b *a c = a b+c). Этот математический закон был выведен Архимедом, а позже, в VIII веке, математик Вирасен создал таблицу целых показателей. Именно они послужили для дальнейшего открытия логарифмов. Примеры использования этой функции можно встретить практически везде, где требуется упростить громоздкое умножение на простое сложение. Если вы потратите минут 10 на прочтение этой статьи, мы вам объясним, что такое логарифмы и как с ними работать. Простым и доступным языком.

Определение в математике

Логарифмом называется выражение следующего вида: log a b=c, то есть логарифмом любого неотрицательного числа (то есть любого положительного) "b" по его основанию "a" считается степень "c", в которую необходимо возвести основание "a", чтобы в итоге получить значение "b". Разберем логарифм на примерах, допустим, есть выражение log 2 8. Как найти ответ? Очень просто, нужно найти такую степень, чтобы из 2 в искомой степени получить 8. Проделав в уме некоторые расчеты, получаем число 3! И верно, ведь 2 в степени 3 дает в ответе число 8.

Разновидности логарифмов

Для многих учеников и студентов эта тема кажется сложной и непонятной, однако на самом деле логарифмы не так страшны, главное - понять общий их смысл и запомнить их свойста и некоторые правила. Существует три отдельных вида логарифмических выражений:

1. Натуральный логарифм ln a, где основанием является число Эйлера (e = 2,7).
2. Десятичный a, где основанием служит число 10.
3. Логарифм любого числа b по основанию a>1.

Каждый из них решается стандартным способом, включающим в себя упрощение, сокращение и последующее приведение к одному логарифму с помощью логарифмических теорем. Для получения верных значений логарифмов следует запомнить их свойства и очередность действий при их решениях.

Правила и некоторые ограничения

В математике существует несколько правил-ограничений, которые принимаются как аксиома, то есть не подлежат обсуждению и являются истиной. Например, нельзя числа делить на ноль, а еще невозможно извлечь корень четной степени из отрицательных чисел. Логарифмы также имеют свои правила, следуя которым можно с легкостью научиться работать даже с длинными и емкими логарифмическими выражениями:

• основание "a" всегда должно быть больше нуля, и при этом не быть равным 1, иначе выражение потеряет свой смысл, ведь "1" и "0" в любой степени всегда равны своим значениям;
• если а > 0, то и а b >0, получается, что и "с" должно быть больше нуля.

Как решать логарифмы?

К примеру, дано задание найти ответ уравнения 10 х = 100. Это очень легко, нужно подобрать такую степень, возведя в которую число десять, мы получим 100. Это, конечно же, 10 2 =100.

А теперь давайте представим данное выражение в виде логарифмического. Получим log 10 100 = 2. При решении логарифмов все действия практически сходятся к тому, чтобы найти ту степень, в которую необходимо ввести основание логарифма, чтобы получить заданное число.

Для безошибочного определения значенияя неизвестной степени необходимо научиться работать с таблицей степеней. Выглядит она следующим образом:

Как видите, некоторые показатели степени можно угадать интуитивно, если имеется технический склад ума и знание таблицы умножения. Однако для больших значений потребуется таблица степеней. Ею могут пользоваться даже те, кто совсем ничего не смыслит в сложных математических темах. В левом столбце указаны числа (основание a), верхний ряд чисел - это значение степени c, в которую возводится число a. На пересечении в ячейках определены значения чисел, являющиеся ответом (a c =b). Возьмем, к примеру, самую первую ячейку с числом 10 и возведем ее в квадрат, получим значение 100, которое указано на пересечении двух наших ячеек. Все так просто и легко, что поймет даже самый настоящий гуманитарий!

Уравнения и неравенства

Получается, что при определенных условиях показатель степени - это и есть логарифм. Следовательно, любые математические численные выражения можно записать в виде логарифмического равенства. Например, 3 4 =81 можно записать в виде логарифма числа 81 по основанию 3, равному четырем (log 3 81 = 4). Для отрицательных степеней правила такие же: 2 -5 = 1/32 запишем в виде логарифма, получим log 2 (1/32) = -5. Одной из самых увлекательных разделов математики является тема "логарифмы". Примеры и решения уравнений мы рассмотрим чуть ниже, сразу же после изучения их свойств. А сейчас давайте разберем, как выглядят неравенства и как их отличить от уравнений.

Дано выражение следующего вида: log 2 (x-1) > 3 - оно является логарифмическим неравенством, так как неизвестное значение "х" находится под знаком логарифма. А также в выражении сравниваются две величины: логарифм искомого числа по основанию два больше, чем число три.

Самое главное отличие между логарифмическими уравнениями и неравенствами заключается в том, что уравнения с логарифмами (пример - логарифм 2 x = √9) подразумевают в ответе одно или несколько определенных числовых значений, тогда как при решении неравенства определяются как область допустимых значений, так и точки разрыва этой функции. Как следствие, в ответе получается не простое множество отдельных чисел как в ответе уравнения, а а непрерывный ряд или набор чисел.

Основные теоремы о логарифмах

При решении примитивных заданий по нахождению значений логарифма, его свойства можно и не знать. Однако когда речь заходит о логарифмических уравнениях или неравенствах, в первую очередь, необходимо четко понимать и применять на практике все основные свойства логарифмов. С примерами уравнений мы познакомимся позже, давайте сначала разберем каждое свойство более подробно.

1. Основное тождество выглядит так: а logaB =B. Оно применяется только при условии, когда а больше 0, не равно единице и B больше нуля.
2. Логарифм произведения можно представить в следующей формуле: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. При этом обязательным условием является: d, s 1 и s 2 > 0; а≠1. Можно привести доказательство для этой формулы логарифмов, с примерами и решением. Пусть log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2 , тогда a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Получаем, что s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства степеней), а далее по определению: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, что и требовалось доказать.
3. Логарифм частного выглядит так: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Теорема в виде формулы приобретает следующий вид: log a q b n = n/q log a b.

Называется эта формула "свойством степени логарифма". Она напоминает собой свойства обычных степеней, и неудивительно, ведь вся математика держится на закономерных постулатах. Давайте посмотрим на доказательство.

Пусть log a b = t, получается a t =b. Если возвести обе части в степень m: a tn = b n ;

но так как a tn = (a q) nt/q = b n , следовательно log a q b n = (n*t)/t, тогда log a q b n = n/q log a b. Теорема доказана.

Примеры задач и неравенств

Самые распространенные типы задач на тему логарифмов - примеры уравнений и неравенств. Они встречаются практически во всех задачниках, а также входят в обязательную часть экзаменов по математике. Для поступления в университет или сдачи вступительных испытаний по математике необходимо знать, как правильно решать подобные задания.

К сожалению, единого плана или схемы по решению и определению неизвестного значения логарифма не существует, однако к каждому математическому неравенству или логарифмическому уравнению можно применить определенные правила. Прежде всего следует выяснить, можно ли упростить выражение или привести к общему виду. Упрощать длинные логарифмические выражения можно, если правильно использовать их свойства. Давайте скорее с ними познакомимся.

При решении же логарифмических уравнений, следует определить, какой перед нами вид логарифма: пример выражения может содержать натуральный логарифм или же десятичный.

Вот примеры ln100, ln1026. Их решение сводится к тому, что нужно определить ту степень, в которой основание 10 будет равно 100 и 1026 соответственно. Для решений же натуральных логарифмов нужно применить логарифмические тождества или же их свойства. Давайте на примерах рассмотрим решение логарифмических задач разного типа.

Как использовать формулы логарифмов: с примерами и решениями

Итак, рассмотрим примеры использования основных теорем о логарифмах.

1. Свойство логарифма произведения можно применять в заданиях, где необходимо разложить большое значение числа b на более простые сомножители. Например, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Ответ равен 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - как видите, применяя четвертое свойство степени логарифма, удалось решить на первый взгляд сложное и нерешаемое выражение. Необходимо всего лишь разложить основание на множители и затем вынести значения степени из знака логарифма.

Задания из ЕГЭ

Логарифмы часто встречаются на вступительных экзаменах, особенно много логарифмических задач в ЕГЭ (государственный экзамен для всех выпускников школ). Обычно эти задания присутствуют не только в части А (самая легкая тестовая часть экзамена), но и в части С (самые сложные и объемные задания). Экзамен подразумевает точное и идеальное знание темы "Натуральные логарифмы".

Примеры и решения задач взяты из официальных вариантов ЕГЭ. Давайте посмотрим, как решаются такие задания.

Дано log 2 (2x-1) = 4. Решение:
перепишем выражение, немного его упростив log 2 (2x-1) = 2 2 , по определению логарифма получим, что 2x-1 = 2 4 , следовательно 2x = 17; x = 8,5.

• Все логарифмы лучше всего приводить к одному основанию, чтобы решение не было громоздким и запутанным.
• Все выражение, стоящие под знаком логарифма, указываются как положительные, поэтому при вынесении множителем показателя степени выражения, который стоит под знаком логарифма и в качестве его основания, остающееся под логарифмом выражение должно быть положительно.

Что такое логарифм?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Что такое логарифм? Как решать логарифмы? Эти вопросы многих выпускников вводят в ступор. Традиционно тема логарифмов считается сложной, непонятной и страшной. Особенно - уравнения с логарифмами.

Это абсолютно не так. Абсолютно! Не верите? Хорошо. Сейчас, за какие-то 10 - 20 минут вы:

1. Поймете, что такое логарифм .