Что расстояние от точки. Определение расстояний
Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. В начертательной геометрии она определяется графическим путем по приведенному ниже алгоритму.
Алгоритм
- Прямую переводят в положение, в котором она будет параллельна какой-либо плоскости проекции. Для этого применяют методы преобразования ортогональных проекций.
- Из точки проводят перпендикуляр к прямой. В основе данного построения лежит теорема о проецировании прямого угла.
- Длина перпендикуляра определяется путем преобразования его проекций или с использованием способа прямоугольного треугольника.
На следующем рисунке представлен комплексный чертеж точки M и прямой b, заданной отрезком CD. Требуется найти расстояние между ними.
Согласно нашему алгоритму, первое, что необходимо сделать, это перевести прямую в положение, параллельное плоскости проекции. При этом важно понимать, что после проведенных преобразований фактическое расстояние между точкой и прямой не должно измениться. Именно поэтому здесь удобно использовать метод замены плоскостей , который не предполагает перемещение фигур в пространстве.
Результаты первого этапа построений показаны ниже. На рисунке видно, как параллельно b введена дополнительная фронтальная плоскость П 4 . В новой системе (П 1 , П 4) точки C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 находятся на том же удалении от оси X 1 , что и C"", D"", M"" от оси X.
Выполняя вторую часть алгоритма, из M"" 1 опускаем перпендикуляр M"" 1 N"" 1 на прямую b"" 1 , поскольку прямой угол MND между b и MN проецируется на плоскость П 4 в натуральную величину. По линии связи определяем положение точки N" и проводим проекцию M"N" отрезка MN.
На заключительном этапе нужно определить величину отрезка MN по его проекциям M"N" и M"" 1 N"" 1 . Для этого строим прямоугольный треугольник M"" 1 N"" 1 N 0 , у которого катет N"" 1 N 0 равен разности (Y M 1 – Y N 1) удаления точек M" и N" от оси X 1 . Длина гипотенузы M"" 1 N 0 треугольника M"" 1 N"" 1 N 0 соответствует искомому расстоянию от M до b.
Второй способ решения
- Параллельно CD вводим новую фронтальную плоскость П 4 . Она пересекает П 1 по оси X 1 , причем X 1 ∥C"D". В соответствии с методом замены плоскостей определяем проекции точек C"" 1 , D"" 1 и M"" 1 , как это изображено на рисунке.
- Перпендикулярно C"" 1 D"" 1 строим дополнительную горизонтальную плоскость П 5 , на которую прямая b проецируется в точку C" 2 = b" 2 .
- Величина расстояния между точкой M и прямой b определяется длиной отрезка M" 2 C" 2 , обозначенного красным цветом.
Похожие задачи:
Требуется определить расстояние от точки до прямой. Общий план решения задачи:
- через заданную точку проводим плоскость, перпендикулярную заданной прямой;
- находим точку встречи прямой
с плоскостью;
- определяем натуральную величину расстояния.
Через заданную точку проводим плоскость, перпендикулярную прямой АВ . Плоскость задаем пересекающимися горизонталью и фронталью, проекции которых строим согласно алгоритму перпендикулярности (обратная задача).
Находим точку встречи прямой АВ с плоскостью. Это типовая задача о пересечении прямой с плоскостью (см. разд. «Пересечение прямой с плоскостью»).
Перпендикулярность плоскостей
Плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости. Поэтому для проведения плоскости, перпендикулярной другой плоскости, необходимо сначала провести перпендикуляр к плоскости, а затем через него провести искомую плоскость. На эпюре плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, одна из которых перпендикулярна плоскости ABC .
Если плоскости заданы следами, то возможны следующие случаи:
- если две перпендикулярные плоскости являются проецирующими, то их собирательные следы взаимно перпендикулярны;
- плоскость общего положения и проецирующая плоскость перпендикулярны, ссли собирательный след проецирующей плоскости перпендикулярен одноименному слсду плоскости общего положения;
- если одноименные следы двух плоскостей общего положения перпендикулярны, то плоскости не перпендикулярны друг другу.
Метод замены плоскостей проекций
замены плоскостей проекций |
||
заключается в том, что плоскости про- |
||
екций заменяются другими плоскос- |
||
так, чтобы | геометрический |
|
объект в новой системе плоскостей |
||
проекций стал занимать частное -по |
||
ложение, что позволяет упростить ре- |
||
шение задач. На пространственном ма- |
||
кете показана замена плоскостиV на |
||
новую V 1 . Показано также проециро- |
||
вание точки А на исходные плоскости |
||
проекций и новую плоскость проекций |
||
V 1 . При замене плоскостей проекций |
||
ортогональность системы сохраняется. |
Преобразуем пространственный макет в плоскостной путем поворота плоскостей по стрелкам. Получим три плоскости проекций, совмещенные в одну плоскость.
Затем удалим плоскости проекций и |
|||
проекции | |||
Из эпюра точки следует правило: при |
|||
замене V наV 1 для того, чтобы по- |
|||
фронтальную | |||
цию точки, необходимо от новой оси |
|||
отложить аппликату точки, взятую из |
|||
предыдущей системы плоскостей про- |
|||
екций. Аналогично можно доказать, |
|||
замене Н наН 1 необходимо |
|||
отложить ординату точки. |
Первая типовая задача метода замены плоскостей проекций
Первая типовая задача метода замены плоскостей проекций – это преобразование прямой общего положения сначала в линию уровня, а затем в проецирующую прямую. Эта задача является одной из основных, так как применяется при решении других задач, например, при определении расстояния между параллельными и скрещивающимися прямыми, при определении двугранного угла и т.д.
Производим замену V → V 1 . | ||||
ось проводим параллельно горизон- |
||||
проекции. | ||||
фронтальную проекцию прямой, для |
||||
откладываем |
||||
аппликаты точек. Новая фронтальная |
||||
проекция прямой является НВ прямой. |
||||
Сама прямая становится фронталью. |
||||
Определяется угол α °. |
Производим замену Н → Н 1 . Новую ось проводим перпендикулярно фронтальной проекции прямой. Строим новую горизонтальную проекцию прямой, для чего от новой оси откладываем ординаты прямой, взятые из предыдущей системы плоскостей проекций. Прямая становится горизон- тально-проецирующей прямой и «вырождается» в точку.
Формула для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости
Если задано уравнение прямой Ax + By + C = 0, то расстояние от точки M(M x , M y) до прямой можно найти, используя следующую формулу
Примеры задач на вычисление расстояния от точки до прямой на плоскости
Пример 1.
Найти расстояние между прямой 3x + 4y - 6 = 0 и точкой M(-1, 3).
Решение. Подставим в формулу коэффициенты прямой и координаты точки
Ответ: расстояние от точки до прямой равно 0.6.
уравнение плоскости проходящей через точки перпендикулярно векторуОбщее уравнение плоскости
Ненулевой вектор , перпендикулярный заданной плоскости, называетсянормальным вектором (или, короче, нормалью ) для этой плоскости.
Пусть в координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы:
а) точка ;
б) ненулевой вектор (рис.4.8,а).
Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно векторуКонец доказательства.
Рассмотрим теперь различные типы уравнений прямой на плоскости.
1) Общее уравнение плоскости P .
Из вывода уравнения следует, что одновременно A , B и C не равны 0 (объясните почему).
Точка принадлежит плоскостиP только в том случае, когда ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости. В зависимости от коэффициентов A , B , C и D плоскость P занимает то или иное положение:
‑ плоскость проходит через начало системы координат, ‑ плоскость не проходит через начало системы координат,
‑ плоскость параллельна оси X ,
X ,
‑ плоскость параллельна оси Y ,
‑ плоскость не параллельна оси Y ,
‑ плоскость параллельна оси Z ,
‑ плоскость не параллельна оси Z .
Докажите эти утверждения самостоятельно.
Уравнение
(6) легко выводится из уравнения (5).
Действительно, пусть точка лежит
на плоскости P
.
Тогда ее координаты удовлетворяют
уравнениюВычитая
из уравнения (5) уравнение (7) и группируя
слагаемые, получим уравнение (6). Рассмотрим
теперь два вектора с координатами соответственно.
Из формулы (6) следует, что их скалярное
произведение равно нулю. Следовательно,
вектор перпендикулярен
вектору Начало
и конец последнего вектора находятся
соответственно в точках которые
принадлежат плоскости P
.
Следовательно, вектор перпендикулярен
плоскости P
.
Расстояние от точкидо
плоскости P
,
общее уравнение которой определяется
по формулеДоказательство
этой формулы полностью аналогично
доказательству формулы расстояния
между точкой и прямой (см. рис. 2).
Рис.
2. К выводу формулы расстояния между
плоскостью и прямой.
Действительно, расстояние d между прямой и плоскостью равно
где ‑ точка лежащая на плоскости. Отсюда, как и в лекции № 11, получается выше приведенная формула. Две плоскости параллельны, если параллельны их нормальные вектора. Отсюда получаем условие параллельности двух плоскостей‑ коэффициенты общих уравнений плоскостей . Две плоскости перпендикулярны, если перпендикулярны их нормальные вектора, отсюда получаем условие перпендикулярности двух плоскостей, если известны их общие уравнения
Угол f
между
двумя плоскостями равен углу между их
нормальными векторами (см. рис. 3) и может,
поэтому, быть вычислен по формуле
Определение
угла между плоскостями.
(11)
Расстояние от точки до плоскости и способы его нахождения
Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость. Существует, по крайней мере, два способа найти расстояние от точки до плоскости:геометрический и алгебраический .
При геометрическом способе нужно сначала понять, как расположен перпендикуляр из точки на плоскость: может он лежит в какой –то удобной плоскости, является высотой в какой-нибудь удобном (или не очень) треугольнике, а может этот перпендикуляр вообще является высотой в какой-нибудь пирамиде.
После этого первого и самого сложного этапа задача распадается на несколько конкретных планиметрических задач (быть может, в разных плоскостях).
При алгебраическом способе для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно ввести систему координат, найти координаты точки и уравнение плоскости, и после этого применить формулу расстояния от точки до плоскости.