Вычислить определитель матрицы по правилу треугольника. Правила, по которым происходит сложение векторов

Правило параллелограмма

Если вектора заданы в прямоугольной системе координат ā (а 1, а 2), в-(в 1 ,в 2), то чтобы найти сумму надо сложить с-(а 1 +в 1 ;а 2 +в 2)

2) Арифметические векторы пространства R

Арифметическим вектором называется упорядоченная совокупностьn чисел.

Обозначается x = (x 1 , x 2 , ..., x n );

числа x 1 ,x 2 ,..., x n называютсякомпонентами арифметического вектора.

Для арифметических векторов определены линейные операции - сложение арифметических векторови умножение вектора на число:

для любых x = (x 1 , x 2 , ..., x n ), y = (y 1 , y 2 , ..., y n ) и любого числа α справедливо:

x + y = (x 1 + y 1 , x 2 +y 2 , ..., x n + y n );αx = (αx 1 , αx 2 , ..., αx n ).

Множество арифметических векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число называетсяпространством арифметических векторов Rn .

Вектор θ = (0, 0, ..., 0) называется нулевым вектором Rn ,

а вектор −x = (−x 1 , −x 2 , ..., −x n ) - противоположным вектором для вектора x вRn .

3)Скалярное произведение двух векторов в пространстве определяется аналогично случаю на плоскости:

Формула скалярного квадрата:

Справедлива формула, связывающая скалярное произведение векторов и проекции этих векторов:

4)Линейная зависимость векторов. Действия над векторами в координатной форме

Векторы называются линейно независимыми , если равенство

справедливо тогда и только тогда, когда В противном случае эти векторы называются линейно зависимыми . Для того чтобы векторы были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них можно было представить в виде линейной комбинации остальных.

5) Ортогональность векторов

Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Важной особенностью понятия является его привязка к конкретному используемому скалярному произведению: при смене произведения ортогональные элементы могут стать неортогональными, и наоборот.

6)Базис пространства R

Базис векторного пространства и его размерности.

Базисом на плоскости называется совокупность фиксированной точки и 2х неколлинеарных векторов, проведенных к ней.

Базисом в пространстве наз. совокупность фиксированной точки в пространстве и 3х некомпланарных векторов.

Любой вектор на плоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости. Любой вектор в пространстве может быть разложен по векторам базиса в пространстве.

ОС=OA+OB, OA=x*i, OB=j*y, OC=xi+yj. Числа х,у называются координатами вектора ОС в данном базисе

(НЕОБЯЗАТЕЛЬНО)Упорядоченная тройка ненулевых линейно-независимых векторов образует базис в трехмерном пространстве. Любой вектор пространства единственным образом может быть разложен по базисным векторам , т.е. представлен в виде

где – координаты вектора в базисе (записывают: ).

В пространстве линейная независимость векторов равносильна их некомпланарности, т.е. любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке, образуют базис.

Пусть задана тройка некомпланарных векторов. Совместим начала этих векторов. Если кратчайший поворот вектора до направления вектора , наблюдаемый с конца вектора совершается против часовой стрелки, то тройка векторов называется правой . В противном случае – левой . Всюду далее рассматриваются правые тройки базисных векторов.

В случае, когда базисные векторы попарно перпендикулярны, система координат называется прямоугольной декартовой . Если добавить, кроме того, условие нормированности базисных векторов (т.е. их единичную длину), то такой базис называют ортонормированным и обозначают : Прямоугольные декартовы координаты вектора является его проекциями на вектора соответственно.

Если точка M имеет прямоугольные декартовы координаты x , y , z в системе координат с началом в точке O (0, 0, 0) и базисом , то соответствующий радиус-вектор

Если и , то

Линейные операции для векторов и в координатной форме и их скалярное произведение вычисляются по формулам:

; (4)

. (8)

Направляющими косинусами вектора называются величины , где углы, которые образует вектор соответственно с осями . Их вычисляют по формулам:

(9)

Если единичный вектор, то .

7) Основные сведения о матрицах

Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из элементов некоторого множества. Горизонтальные ряды такой таблицы называются строками матрицы, а вертикальные – ее столбцами . Матрицы обозначают A, B, C, X … . Запись a ij используется для указания местоположения элемента матрицы (i – номер строки, j – номер столбца). Числовую матрицу размера (то есть состоящую из m строк и n столбцов чисел) в общем случае записывают в виде:

или в более компактной форме , .

Eё обозначают также .

Если , то матрицу называют квадратной и обычно обозначают A n . Элементы a ii , () такой матрицы образуют ее главную диагональ .

Квадратная матрица вида , (1)

где , называется диагональной . Если для любого , то матрица (1) называется единичной и обозначается E n .

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю. Обозначают такую матрицу буквой O .

Две матрицы одинакового размера

называются равными , если для всех .

8) Операции над матрицами (сложение, вычисление, умножение)

Суммой матриц (2) называется матрица A +B размера m×n, состоящая из элементов , где .

Произведением матрицы A m × n на число α называется матрица .

Разностью матриц (2) называется матрица A–B = A+ (–1)B.

Свойства операций сложения матриц и умножения на число :

3) 0·A=О ;

7) A и B – матрицы одинакового размера.

Для матриц A и B может быть введена операция умножения A ·B при условии, что матрицы согласованы , т. е. количество столбцов матрицы A равно количеству строк матрицы B .

Произведением матрицы A l × m на матрицу B m × n называется матрица элементы которой

Для получения элемента матрицы – произведения умножают последовательно каждый элемент строки матрицы А на каждый элемент j-го столбца матрицы В и находят сумму этих произведений.

Свойства операции умножения матриц :

В общем случае из существования AB не следует существование BA . Даже если оба эти произведения определены, они не всегда равны. Матрицы, для которых называются коммутативными .

Пусть A – квадратная матрица. Тогда k -я степень () матрицы A определяется равенством . По определению принимают при условии

Элементарными преобразованиями над строками матрицы A называют следующие операции:

1) перестановку строк;

2) умножение строки на ненулевое число;

3) прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на ненулевое число.

Говорят, что матрица A эквивалентна матрице B (пишут: A~B ), если матрица B получена из A при помощи элементарных преобразований строк.

9) Транспонирование матрицы,

возведение в степень - Матрица A T , полученная из матрицы A заменой столбцов строками с теми же номерами, называется транспонированной к матрице A , то есть

Свойства операции транспонирования матриц :

Если для квадратной матрицы A выполняется соотношение то матрица A называется симметрической матрицей, а если – то кососимметрической . Возведение в степень матрицы осуществляется произведением матрицы на себя в количестве указанной порядком степени

10) Определители. Основная теорема об определителях

Каждой квадратной матрице A порядка n можно поставить в соответствие единственное число, которое вычисляется по определенному правилу. Это число называется определителем (или детерминантом) матрицы A и обозначается |A|, или det A, или Δ(A). Порядок матрицы A является и порядком ее определителя. Определители порядка 1-3 определяются, соответственно, равенствами:

Основные методы вычисления определителей.

1. Для определителей 3-го порядка удобно использовать правило треугольников , которое схематично можно изобразить следующим образом:

Линии соединяют по три элемента, которые умножаются, а затем произведения складываются.

2. Определитель порядка n может быть вычислен разложением по любой строке (столбцу):

3. Метод эффективного понижения порядка определителя : используя свойства определителя, его преобразуют к такому виду, чтобы все элементы некоторой строки (столбца) определителя, кроме одного, были нулями, затем вычисляют определитель разложением по этой строке (столбцу).

4. Метод приведения к треугольному или диагональному виду с использованием свойств определителя, когда определитель равен произведению диагональных элементов.

Минором M ij элемента a i j , , называется определитель (n -1)-го порядка, который состоит из элементов матрицы, полученной из данной после «вычеркивания» i - той строки и j -того столбца.

Алгебраическим дополнением элемента a ij называется число А ij =(-1) i + j M ij . Определитель порядка n, где

, определяется как число.

Последнее равенство называют разложением определителя по элементам первой строки . Оно есть обобщение равенств (3).

11)Свойства определителей:

3) общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя;

4) перестановка двух строк (столбцов) меняет знак определителя на противоположный;

5) |A|=0, если выполняется одно из следующих условий:

· в определителе есть нулевая строка (нулевой столбец),

· в определителе есть пропорциональные строки (столбцы),

· в определителе есть строки (столбцы), являющиеся линейной комбинацией соответствующих элементов других строк (столбцов);

6) если к элементам одной строки (столбца) определителя прибавить линейную комбинацию соответствующих элементов других строк (столбцов), то значение определителя не изменится.

12) Обратная матрица

Квадратная матрица B , удовлетворяющая совместно с заданной матрицей A того же порядка равенствам называется обратной матрицей к A и обозначается A –1 . Обратная матрица A –1 существует при условии, что A – невырожденная матрица , т. е.

Обратную матрицу можно вычислить следующими способами.

1-й способ. Используют формулу

где С – матрица, составленная из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A .

13) Алгоритм вычисления обратной матрицы

1. Вычисляем определитель матрицы A . Если det A ≠ 0 , то матрица A имеет обратную

2. Составляем матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы A

3. Находим транспонированную матрицу для матрицы, составленной из алгебраических дополнений

4. Разделив матрицу ˜ A T на определитель, получаем искомую обратную матрицу

5. Проверяем, что A · A −1 = E , и записываем ответ

Аналогично вычисляется обратная матрица для невырожденной матрицы любого порядка

14) Ранг матрицы

Рангом матрицы A размера называется максимальный порядок отличных от нуля ее миноров. При этом любой ненулевой минор порядка называется базисным минором матрицы A .

Основные методы нахождения ранга матрицы A .

Метод окаймляющих миноров

Если в матрице A найден ненулевой минор M k порядка k , а все окаймляющие его миноры )-го порядка равны нулю, то ранг матрицы равен k ().

Метод элементарных преобразований

Используя элементарные преобразования строк, матрицу приводят к трапециевидной или треугольной форме, далее ранг находят по определению.

Как частный случай последнего метода, может быть рассмотрен метод нулей и единиц : элементарными преобразованиями строк матрицу приводят к эквивалентной, состоящей или из нулевых строк и столбцов, или из строк и столбцов, в которых содержится ровно одна единица, а остальные элементы – нулевые. Количество единиц в такой матрице равно ее рангу.

15) Системы линейных уравнений с n неизвестными

Система линейных алгебраических уравнений (или линейная система) имеет вид:

где a ij и b j –заданные числа.

Систему (17) можно записать в матричной форме

B –

X – матрица-столбец неизвестных. е. , , .

Решением системы (7) называется совокупность n чисел , которые после подстановки в уравнения системы вместо соответствующих неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное числовое тождество.

Система (7) называется совместной , если у нее существует хотя бы одно решение, в противном случае она называется несовместной . Совместная система (7) называется определенной , если она имеет одно решение и неопределенной , если более одного решения. Две системы называются эквивалентными (равносильными ), если множества их решений совпадают.

Определителем системы (9) называется определитель матрицы этой системы (состоящий из коэффициентов: , Если то система называется невырожденной ; если - вырожденной .

Методы решения невырожденных систем используются для решения линейных систем (9), состоящих из n уравнений с n неизвестными из которых .

16) Метод обратной матрицы состоит в решении матричного уравнения

где А – матрица системы, состоящая из коэффициентов;

B – матрица-столбец свободных членов;

X – матрица-столбец неизвестных. е. , , по формуле

17) Метод Крамера: для нахождения неизвестных необходимо использовать формулы

где – определитель, получаемый из определителя системы , , . заменой i -го столбца столбцом свободных членов.

Формулы (11) называются формулами Крамера .

Решение произвольных линейных систем

18) Метод Гаусса

используется в общем случае для систем вида (7)

(вырожденных и невырожденных). С помощью элементарных преобразований над строками расширенную матрицу системы (7) приводят к виду:

Соответствующая ей система, равносильная (7), примет вид:

(12)

Если хотя бы одно из чисел b r + 1 , … b m отлично от нуля, то система (11), а значит, и исходная система (7) несовместны.

Если b r + 1 = … = b m = 0, то система (11) позволяет получить явное выражение для базисных неизвестных x 1 , …, x r через свободные неизвестные x r + 1 , …, x n . Получаем бесконечное множество решений.

Если r = n , то свободные неизвестные отсутствуют, а значит, системы (11) и (7) имеют единственное решение. На практике обычно обходятся приведением матрицы системы (7) к треугольной или трапециевидной форме, после чего значения базисных переменных ищутся в обратном порядке.

19)Однородные системы уравнений

Однородной системой m линейных алгебраических уравнений для n неизвестных называется система уравнений

вида (1) или в матричном виде (2)

где А -заданная матрица из коэффициентов размером mxn,

Столбец n неизвестных, - нулевой столбец высоты m.

Однородная система всегда совместна (расширенная матрица совпадает с А) и имеет очевидные решения: х 1 = х 2 = … = х n = 0.

Это решение называется нулевым или тривиальным . Всякое другое решение, если оно есть, называется нетривиальным.

20) Расстояние между точками, площадь треугольника

Расстояние между двумя точками на плоскости рассчитывается по следующей формуле:

где x1 и y1 координаты первой точки, а x2 и y2 координаты второй точки.

Расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве расчитывается по следующей формуле:

где x1, y1 и z1 координаты первой точки, а x2, y2 и z2 координаты второй точки.

Площадь треугольника:

- S треуг

21)Деление отрезка в данном отношении

Координаты точки C , делящей отрезок AB в отношении , можно найти по формулам:

22) Полярные координаты

Полярная система координат - двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами - полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.

Пару полярных координат r и φ можно перевести в Декартовы координаты x и y путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса:

в то время как две декартовы координаты x и y могут быть переведены в полярную координату r:

r2 = y2 + x2 (по теореме Пифагора).

23) Уравнение прямой с угловым коэффициентом

24) Уравнение прямой проходящей, через данную точку в заданном направлении..

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

25) Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

26) Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках на осях.

Общее уравнение прямой

Уравнение прямой в отрезках на осях

27) Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.

Нормальное уравнение прямой

Расстояние от точки до прямой

28) Окружность

29) Эллипс

Эксцентриситет величина, характеризующая меру сжатия эллипса, Директрисы

30) Гипербола

Гипербола – ГМТ М на плоскости, модуль расстояний от которых до двух фиксированных точек и есть постоянная величина 2а, меньшая расстояния между фокусами 2с:

Эксцентриситет для гиперболы

Директрисы

Асимптоты гиперболы

31) Директрисы эллипса и гиперболы.

Эллипс

Эксцентриситет величина, характеризующая меру сжатия эллипса,

Директрисы

Отношение расстояния r от точки эллипса до фокуса к расстоянию d до ближайшей к этому фокусу директрисы равно эксцентриситету:

Гипербола

Эксцентриситет для гиперболы

Директрисы

Прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние от точки М(х,у) гиперболы до этой прямой стремится к 0 при х → ± бесконечность.

Асимптоты гиперболы

Отношение расстояния r от точки гиперболы до фокуса к расстоянию d до ближайшей к этому фокусу директрисы равно эксцентриситету:

32) Парабола

Парабола – множество точек плоскости, равноудалённых от фиксированной точки плоскости (фокуса) и фиксированной прямой плоскости (директрисы).

P-параметр параболы

33) Общее уравнение плоскости

Плоскостью в пространстве называется множество всех точек М (х ;у ;z ), координаты которых удовлетворяют уравнению

где А, В, С, D – заданные числа, причем А, В и С не равны нулю одновременно. Уравнение (6.1) называется общим уравнением плоскости .

Геометрический смысл коэффициентов А , В и С состоит в том, что вектор перпендикулярен плоскости, его называют нормальным вектором плоскости. Этот факт устанавливается так же, как и в случае общего уравнения прямой на плоскости.

Из уравнения (6.1) следует, что если D = 0, то плоскость проходит через начало координат, так как координаты начала координат О (0;0;0) удовлетворяют уравнению .

Пусть С =0. Тогда уравнение

определяет плоскость, проходящую через прямую с этим уравнением в плоскости хОу и перпендикулярную этой плоскости. Какова бы ни была точка М (х ;у ;z ), принадлежащая плоскости, ее координаты х , у удовлетворяют уравнению (6.2) независимо от того, какую она имеет третью координату z .

Если В = 0, С = 0, то уравнение

(А 0) (6.3)

есть частный случай уравнения (6.2). Преобразовав его к виду , заметим, что ему удовлетворяют точки, имеющие координату и произвольные координаты y и z , т.е. это плоскость, параллельная плоскости yOz или, что то же, перпендикулярная оси Ох .

34)Угол между двумя плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Уравнение поверхности

Уравнение линии

- (6.12)

канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку .

Угол между двумя плоскостями

Найдем теперь угол между плоскостями и . Поскольку векторы и перпендикулярны данным плоскостям, то угол между ними равен двугранному углу между плоскостями. Поэтому

. (6.8)

Если выражение в (6.8) положительное, то - острый угол, если отрицательное, то оно соответствует тупому двугранному углу .

Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Из формулы (6.8) получаем условие перпендикулярности двух плоскостей

Условие параллельности двух плоскостей получается из условия коллинеарности векторов и :

. (6.10)

Если , то плоскости совпадают, так как их уравнения отличаются постоянным множителем.

35) Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

в векторной форме:

где - единичный вектор, - расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

(знаки и противоположны).

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости - это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Расстояние от точки , до плоскости, заданной уравнением , вычисляется по формуле:

36) Общее уравнение прямой. Каноническое уравнение прямой.

Общее уравнение прямой

Если не параллельна , то есть не коллинеарен , то система уравнений

(3.42)

определяет прямую линию в пространстве.

Уравнения (3.42) называются общими уравнениями прямой в пространстве.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Отметим без доказательства, что расстояние от точки до плоскости, заданной уравнением , находится по формуле

Поэтому координаты этих векторов пропорциональны, т.е.

- (6.12)

канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку . Вектор - направляющий векторпрямой.

37) Параметрическое уравнение прямой

Обозначив общее значение дробей в уравнении буквой t , т.е. положив = t , получим

параметрические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку в направлении вектора . Параметр .

38) Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

Углом между прямыми в пространстве называется угол между двумя пересекающимися прямыми, проходящими через произвольную точку пространства параллельно данным.

и перпендикулярности прямой и плоскости

40) Угол между прямой и плоскостью

Пусть - угол между прямой и плоскостью . Тогда угол между векторами (направляющий вектор прямой) и (нормальный вектор плоскости) равен . Поэтому

41)Числовая последовательность Если каждому числу n из ряда 1,2,3..n поставлено в соответсвие вещественное число x n , то множество вещественных чисел x 1 ,x 2 …x n наз-ся числовой последовательностью, а x n -общим членом последов-ти. Сокращено обоз-ся {x n }. Последовательность задана, если указано условие получения любого ее элемента. Пусть даны послед-ти {x n } ,{y n }. Тогда суммой их называется последовательность {x n +y n }, а разностью – {x n -y n }. Произведением {xn} на число m назовем послед-ть {mx n } Произведение {x n } на {y n } есть {x n y n }, а частное – {x n /y n },где все члены {y n } ≠0. Последов-ть {x n } называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M(m), что любой элемент x n этой последовательности удовлетворяет неравенству x n ≤M (x n ≥M). Последовательность x n наз-ся бесконечно большой, если для любого A>0 существует такой номер N, что при n>N выполняется неравенство: |x n |>A. Последовательность x n наз-ся бесконечно малой, если для любого ε>0 существует такой номер N, что при n>N выполняется неравенство: |x n |< ε. Если x n -бесконечно большая посл-ть и все ее члены отличны от нуля, то послед-ть {1/x n } является бесконечно малой. Число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого положительного числа ε существует такой номер N , что при всех п > N выполняется неравенство

44)Сходимость последовательностей в пространстве Rn

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Если последовательность имеет своим пределом число а, то это записывается так: Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся

45 Открытые и замкнутые множества в Rn. Предельные точки множества. Множество точек пространства Rn называется открытым, если вместе с каждой своей точкой оно содержит некоторую окрестность этой точки. Множество называется замкнутым, если оно включает все свои граничные (предельные) точки, т.е. точки, окрестности которых содержат точки как принадлежащие множеству, так и не принадлежащие ему. Пусть Х - множество в пространстве Rn. Точка р называется внутренней точкой множества Х, если существует шар В (р; r) (р- центр, r-радиус), все точки которого принадлежат множеству Х. Точка р называется внешней точкой по отношению к Х, если существует шар В (р;r) ,ни одна точка которого не принадлежит множеству Х. Точка р называется граничной, если она не является ни внутренней, ни внешней. Множество Х называется открытым, если каждая его точка является внутренней. Пусть Х-множество в пространстве Rn. Точка р0 называется предельной для множества Х, если в любой окрестности точки р0 имеются точки множества Х, отличные от р0. При этом точка р0 может как принадлежать, так и не принадлежать множеству Х. Точка р0 называется изолированной точкой, если существует такой шар В (р0;ε), в котором никаких точек из Х, кроме точки р0 не имеется

46. Число е. Задача на вычисление сложных процентов.

Рассмотрим последовательность {х п }, общий член которой выражается формулой В курсе математического анализа доказывается, что эта последовательность монотонно возрастает и имеет предел. Этот предел называют числом е . Следовательно, по определению Число е играет большую роль в математике.. Отметим, что число е является иррациональным; его приближенное значение равно е = 2,7182818...

47.Понятие функции

Пусть Х и Y - некоторые числовые множества и пусть каждому элементу x Х по какому-либо закону f поставлен в соответствие один элемент у Y . Тогда говорят, что определена функциональная зависимость у от x по закону у = f (x ). При этом x называют независимой переменной (или аргументом), у - зависимой переменной, множество Х - областью определения (существования) функции, множество Y - областью значений (изменения) функции. Существуют три основных способа задания функций: табличный, аналитический и графический .1. Табличный способ широко используется в приложениях. В таких таблицах одну из переменных можно принять за независимое, тогда другие причины будут функциями от этого аргумента. 2. Аналитический способ. Этот способ состоит в задании связи между аргументом и функцией в виде формул. 3. Графический способ. Здесь соответствие между аргументом и функцией задается посредством графика. Область определения функции 1. Когда функция задана в аналитическом виде y = f (x) область ее определения такова: подкоренное выражение в корне четной степени не может быть отрицательным, знаменатель дроби = 0, выражение под знаком логарифма должно быть только положительным и др. 2. Область определения функции бывает задана вместе с функцией f(x). Например, 1 ≤ х ≤ 4. Функция у = f(x) называется четной, если для любых значений аргумента из области ее определения выполнено равенство f(-x)=f(x) Функция у = f(x) называется нечетной, если: f(-x)=-f(x)

) имеет только 1 предел.)≠а. Соответствующие последовательности значений f(Порядок выполнения работы

Решение матриц – это понятие, которое обобщает все возможные операции, производимые с матрицами. Математическая матрица – таблица элементов. О такой таблице, где m строк и n столбцов, говорят, что это матрица имеет размерность m на n .

Общий вид матрицы:

Для решения матриц необходимо понимать, что такое матрица и знать основные ее параметры. Основные элементы матрицы:

Основные виды матриц:

Квадратная – такая матрица, где число строк = числу столбцов (m=n ).
Нулевая – где все элементы матрицы = 0.
Транспонированная матрица - матрица В , которая была получена из исходной матрицы A путем замены строк на столбцы.
Единичная – все элементы главной диагонали = 1, все остальные = 0.
Обратная матрица - матрица, при умножении на которую исходная матрица даёт в результате единичную матрицу.

Матрица может быть симметричной относительно главной и побочной диагонали. Т.е., если а 12 =а 21 , а 13 =а 31 ,….а 23 =а 32 …. а m-1n =а mn-1 , то матрица симметрична относительно главной диагонали. Симметричными могут быть лишь квадратные матрицы.

Методы решения матриц.

Почти все методы решения матрицы заключаются в нахождении ее определителя n -го порядка и большинство из них довольно громоздки. Чтобы найти определитель 2го и 3го порядка есть другие, более рациональные способы.

Нахождение определителей 2-го порядка.

Для вычисления определителя матрицы А 2го порядка, необходимо из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов побочной диагонали:

Методы нахождения определителей 3го порядка.

Ниже приведены правила для нахождения определителя 3го порядка.

Правило треугольника при решении матриц.

Упрощенно правило треугольника, как одного из методов решения матриц , можно изобразить таким образом:

Другими словами, произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком «+»; так же, для 2го определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «-«, то есть по такой схеме:

Правило Саррюса при решении матриц.

При решении матриц правилом Саррюса , справа от определителя дописывают первые 2 столбца и произведения соответствующих элементов на главной диагонали и на диагоналях, которые ей параллельны, берут со знаком «+»; а произведения соответствующих элементов побочной диагонали и диагоналей, которые ей параллельны, со знаком «-«:

Разложение определителя по строке или столбцу при решении матриц.

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку либо столбец, по которой/ому ведется разложение, будут обозначать стрелкой.

Приведение определителя к треугольному виду при решении матриц.

При решении матриц методом приведения определителя к треугольному виду, работают так: с помощью простейших преобразований над строками либо столбцами, определитель становится треугольного вида и тогда его значение, в соответствии со свойствами определителя, будет равно произведению элементов, которые стоят на главной диагонали.

Теорема Лапласа при решении матриц.

Решая матрицы по теореме Лапласа, необходимо знать непосредственно саму теорему. Теорема Лапласа: Пусть Δ – это определитель n -го порядка. Выбираем в нем любые k строк (либо столбцов), при условии k ≤ n – 1 . В таком случае сумма произведений всех миноров k -го порядка, содержащихся в выбранных k строках (столбцах), на их алгебраические дополнения будет равна определителю.

Решение обратной матрицы.

Последовательность действий для решения обратной матрицы :

Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
Вычисляем алгебраические дополнения.
Составляем союзную (взаимную, присоединённую) матрицу C .
Составляем обратную матрицу из алгебраических дополнений: все элементы присоединённой матрицы C делим на определитель начальной матрицы. Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно заданной.
Проверяем выполненную работу: умножаем матрицу начальную и полученную матрицы, результатом должна стать единичная матрица.

Решение систем матриц.

Для решения систем матриц наиболее часто используют метод Гаусса.

Метод Гаусса - это стандартный способ решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и он заключается в том, что последовательно исключаются переменные, т.е., при помощи элементарных изменений систему уравнений доводят до эквивалентной системы треугольного вида и из нее, последовательно, начиная с последних (по номеру), находят каждый элемент системы.

Метод Гаусса является самым универсальным и лучшим инструментом для нахождения решения матриц. Если у системы бесконечное множество решений или система является несовместимой, то ее нельзя решать по правилу Крамера и матричным методом.

Метод Гаусса подразумевает также прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, т.е. получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и есть метод Гаусса, обратный — метод Гаусса-Жордана. Метод Гаусса-Жордана отличается от метода Гаусса лишь последовательностью исключения переменных.

Datalife Engine Demo

В этой статье мы познакомимся с очень важным понятием из раздела линейной алгебры, которое называется определитель.

Сразу хотелось бы отметить важный момент: понятие определитель действительно только для квадратных матриц (число строк = числу столбцов), у других матриц его нет.

4. А теперь рассмотрим примеры с действительными числами:

Правило треугольника — это способ вычисления определителя матрицы, который предполагает его нахождение по следующей схеме:

Как вы уже поняли, метод был назван правилом треугольника в следствии того, что перемножаемые элементы матрицы образуют своеобразные треугольники.

Для того, чтобы понять это лучше, разберём такой пример:

А теперь рассмотрим вычисление определителя матрицы с действительными числами правилом треугольника:

Для закрепления пройденного материала, решим ещё один практический пример:

3. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

4. Определитель равен нулю, если элементы одной строки равны соответствующим элементам другой строки (для столбцов также). Самый простой пример этого свойства определителей:

5. Определитель равен нулю, если его 2 строки пропорциональны (также и для столбцов). Пример (1 и 2 строка пропорциональны):

6. Общий сомножитель строки (столбца) может быть вынесен за знак определителя.

7) Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одну и ту же величину. Рассмотрим это на примере:

Определитель матрицы: алгоритм и примеры вычисления определителя матрицы

Определитель (детерминант) матрицы - некоторое число, с которым можно сопоставить любую квадратную матрицу А = (a i j) n × n .

|А|, ∆ , det A — символы, которыми обозначают определитель матрицы.

Способ вычисления определителя выбирают в зависимости от порядка матрицы.

Определитель матрицы 2-го порядка вычисляют по формуле:

d e t A = 1 — 2 3 1 = 1 × 1 — 3 × (— 2) = 1 + 6 = 7

Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника

Чтобы найти определитель матрицы 3-го порядка, необходимо одно из правил:

правило треугольника;
правило Саррюса.

Как найти определитель матрицы 3-го порядка по методу треугольника?

А = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1

d e t A = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1 = 1 × 2 × (— 2) + 1 × 3 × 1 + 4 × 0 × 5 — 1 × 2 × 4 — 0 × 3 × (— 1) — 5 × 1 × 1 = (— 2) + 3 + 0 — 8 — 0 — 5 = — 12

Правило Саррюса

Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:

дописать слева от определителя два первых столбца;
перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «-».

а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32

А = 1 3 4 0 2 1 — 2 5 — 1 1 3 0 2 — 2 5 = 1 × 2 × (— 1) + 3 × 1 × (— 2) + 4 × 0 × 5 — 4 × 2 × (— 2) — 1 × 1 × 5 — 3 × 0 × (— 1) = — 2 — 6 + 0 + 16 — 5 — 0 = 3

Методы разложения по элементам строки и столбца

Чтобы вычислить определитель матрицу 4-го порядка, можно воспользоваться одним из 2-х способов:

разложением по элементам строки;
разложением по элементам столбца.

Представленные способы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n -1 за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Разложение матрицы по элементам строки:

d e t A = a i 1 × A i 1 + a i 2 × A i 2 + . . . + а i n × А i n

Разложение матрицы по элементам столбца:

d e t A = а 1 i × А 1 i + а 2 i × А 2 i + . . . + а n i × А n i

Если раскладывать матрицу по элементам строки (столбца), необходимо выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.

А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0

раскладываем по 2-ой строке:

А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 2 × (— 1) 3 × 1 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0 = — 2 × 1 — 1 3 4 5 1 2 1 0 + 1 × 0 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0

раскладываем по 4-му столбцу:

А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 3 × (— 1) 5 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 + 1 × (— 1) 7 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1 = — 3 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 — 1 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1

Свойства определителя

если преобразовывать столбцы или строки незначительными действиями, то это не влияет на значение определителя;
если поменять местами строки и столбцы, то знак поменяется на противоположный;
определитель треугольной матрицы представляет собой произведение элементов, которые расположены на главной диагонали.

А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5

d e t А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5 = 1 × 5 × 2 = 10

Определитель матрицы, который содержит нулевой столбец, равняется нулю.

Вычисление определителей

Методы нахождения определителей

Определитель матрицы разложением по строкам и столбцам через миноры.
Определитель матрицы методом треугольников
Определитель матрицы методом понижения порядка
Определитель методом приведения к треугольному виду (методом Гаусса)
Определитель матрицы методом декомпозиции

Свойство определителей

При транспонировании матрицы её определитель не меняется.
Если поменять местами две строки или два столбца определителя, то определитель изменит знак, а по абсолютной величине не изменится.
Пусть C = AB где A и B квадратные матрицы. Тогда detC = detA ∙ detB .
Определитель с двумя одинаковыми строками или с двумя одинаковыми столбцами равен 0. Если все элементы некоторой строки или столбца равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
Определитель с двумя пропорциональными строками или столбцами равен 0.
Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов стоящих на главной диагонали.
Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.
Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы) кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором — вторые слагаемые.
Теорема Якоби: Если к элементам некоторого столбца определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольный множитель λ, то величина определителя не изменится.

Таким образом, определитель матрицы остается без изменения, если:

транспонировать матрицу;
прибавить к какой-либо строке другую строку, умноженную на любое число.

Задание 1 . Вычислить определитель, разлагая его по строке или столбцу.
Решение:xml:xls
Пример 1:xml:xls

Задание 2 . Вычислить определитель двумя способами: а) по правилу «треугольников»; б) разложением по строке.

Решение .
а) Слагаемые, входящие в со знаком «минус», строятся таким же образом относительно побочной диагонали.

Вычисление определителя разложением по столбцу

Минор для (1,1):

∆ 1,1 = (2 1-(-1 (-1))) = 1
Минор для (2,1):

Найдем определитель для этого минора.
∆ 2,1 = (-1 1-(-1 0)) = -1
Минор для (3,1):

Задание №2 . Вычислить определитель четвертого порядка.
Решение .
Исходную матрицу запишем в виде:

Найдем определитель, использовав разложение по столбцам:
Вычисляем минор для элемента, находящегося на пересечении первого столбца и первой строки (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
∆ 1,1 = 0 (1 0-1 0)-1 (1 0-1 1)+1 (1 0-1 1) = 0
Минор для (2,1):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
∆ 2,1 = 1 (1 0-1 0)-1 (1 0-1 1)+1 (1 0-1 1) = 0
Вычисляем минор для элемента, находящегося на пересечении первого столбца и третьей строки (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
∆ 3,1 = 1 (1 0-1 1)-0 (1 0-1 1)+1 (1 1-1 1) = -1
Минор для (4,1):
Вычеркиваем из матрицы 4-ю строку и 1-й столбец.

Примеры:
B = a 1 1 a 2 2 a 3 3 — a 1 1 a 3 2 a 2 3 — a 1 2 a 2 1 a 3 3 + a 1 2 a 3 1 a 2 3 + a 1 3 a 2 1 a 3 2 — a 1 3 a 3 1 a 2 2
Три слагаемых, входящих в сумму со знаком «плюс», находятся следующим образом: одно слагаемое состоит из произведения элементов, расположенных на главной диагонали, два других – произведения элементов, лежащих на параллели к этой диагонали с добавлением третьего множителя из противоположного угла.
Слагаемые, входящие в со знаком «минус», строятся таким же образом относительно побочной диагонали.

Это интересно:

Викторина «Знатоки безопасного поведения» Презентация к уроку Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите […]
Перечень и правила оформления льгот для опекунов несовершеннолетних детей Наверняка каждый опекун в нашей стране задается вопросом, какими льготами он и его подопечный имеет право воспользоваться? Какими нормами закона регулируется этот вопрос? Можно ли рассчитывать на дополнительный […]
Предоставление и учет целевых субсидий Автор: Л. Ларцева Каковы порядок и условия предоставления целевых субсидий учреждениям культуры? Как отразить в бухгалтерском учете операции по начислению, поступлению таких субсидий, а также возврат в бюджет неиспользованных остатков средств […]
До какого года действует материнский капитал Основной нормативный акт, регулирующий программу материнского капитала, - это федеральный закон № 256-ФЗ от 29.12.2006 года «О дополнительных мерах государственной поддержки семей, имеющих детей». Ранее в тексте документа указывалось, что он […] Налог на имущество: новые объекты - новые вопросы Одно из основных изменений по налогу на имущество 2015 г. связано с объектами ОС, которые относятся к движимому имуществу. Во-первых, все основные средства 1-й и 2-й амортизационных групп (то есть имеющие СПИ до 3 лет включительно) с […]
Ипотека под 6% для семей с двумя детьми и многодетных Российские семьи, в которых с 1 января 2018 года по 31 декабря 2022 года появится второй или третий ребенок, смогут получить ипотеку на льготных условиях - под 6% годовых. При этом ипотечный кредит должен быть оформлен на покупку […]

Как происходит сложение векторов, не всегда понятно ученикам. Дети не представляют того, что за ними скрывается. Приходится просто запоминать правила, а не вдумываться в суть. Поэтому именно о принципах сложения и вычитания векторных величин требуется много знаний.

В результате сложения двух и более векторов всегда получается еще один. Причем он всегда обязательно будет одинаковым, независимо от приема его нахождения.

Чаще всего в школьном курсе геометрии рассматривается сложение двух векторов. Оно может быть выполнено по правилу треугольника или параллелограмма. Эти рисунки выглядят по-разному, но результат от действия один.

Как происходит сложение по правилу треугольника?

Оно применяется тогда, когда векторы неколлинеарные. То есть не лежат на одной прямой или на параллельных.

В этом случае от некоторой произвольной точки нужно отложить первый вектор. Из его конца требуется провести параллельный и равный второму. Результатом станет вектор, исходящий из начала первого и завершающийся в конце второго. Рисунок напоминает треугольник. Отсюда и название правила.

Если векторы коллинеарные, то это правило тоже можно применять. Только рисунок будет расположен вдоль одной линии.

Как выполняется сложение по правилу параллелограмма?

Опять же? применяется только для неколлинеарных векторов. Построение выполняется по другому принципу. Хотя начало такое же. Нужно отложить первый вектор. И от его начала - второй. На их основе достроить параллелограмм и провести диагональ из начала обоих векторов. Она и будет результатом. Так выполняется сложение векторов по правилу параллелограмма.

До сих пор их было два. А как быть, если их 3 или 10? Использовать следующий прием.

Как и когда применяется правило многоугольника?

Если требуется выполнить сложение векторов, число которых — больше двух, пугаться не стоит. Достаточно последовательно отложить их все и соединить начало цепочки с ее концом. Этот вектор и будет искомой суммой.

Какие свойства действительны для действий с векторами?

О нулевом векторе. Которое утверждает, что при сложении с ним получается исходный.

О противоположном векторе. То есть о таком, который имеет противоположное направление и равное по модулю значение. Их сумма будет равна нулю.

О коммутативности сложения. То, что известно еще с начальной школы. Смена мест слагаемых не приводит к изменению результата. Другими словами, неважно какой вектор откладывать сначала. Ответ все равно будет верным и единственным.

Об ассоциативности сложения. Этот закон позволяет складывать попарно любые векторы из тройки и к ним прибавлять третий. Если записать это с помощью знаков, то получится следующее:

первый + (второй + третий) = второй + (первый + третий) = третий + (первый + второй).

Что известно о разности векторов?

Отдельной операции вычитания не существует. Это связано с тем, что оно, по сути, является сложением. Только второму из них задается противоположное направление. А потом все выполняется так, как если бы рассматривалось сложение векторов. Поэтому об их разности практически не говорят.

Для того чтобы упростить работу с их вычитанием, видоизменено правило треугольника. Теперь (при вычитании) второй вектор нужно отложить из начала первого. Ответом будет тот, что соединяет конечную точку уменьшаемого с ней же вычитаемого. Хотя можно и откладывать так, как было описано ранее, просто изменив направление второго.

Как найти сумму и разность векторов в координатах?

В задаче даны координаты векторов и требуется узнать их значения для итогового. При этом построений выполнять не нужно. То есть можно воспользоваться несложными формулами, которые описывают правило сложения векторов. Они выглядят так:

а (х, у, z) + в (k, l, m) = с (х+k, y+l, z+m);

а (х, у, z) -в (k, l, m) = с (х-k, y-l, z-m).

Легко заметить, что координаты нужно просто сложить или вычесть в зависимости от конкретного задания.

Первый пример с решением

Условие. Дан прямоугольник АВСД. Его стороны равны 6 и 8 см. Точка пересечения диагоналей обозначена буквой О. Требуется вычислить разность векторов АО и ВО.

Решение. Сначала нужно изобразить эти векторы. Они направлены от вершин прямоугольника к точке пересечения диагоналей.

Если внимательно посмотреть на чертеж, то можно увидеть, что векторы уже совмещены так, чтобы второй из них соприкасался с концом первого. Вот только его направление неверное. Он должен из этой точки начинаться. Это если векторы складываются, а в задаче — вычитание. Стоп. Это действие означает, что нужно прибавить противоположно направленный вектор. Значит, ВО нужно заменить на ОВ. И получится, что два вектора уже образовали пару сторон из правила треугольника. Поэтому результат от их сложения, то есть искомая разность, — вектор АВ.

А он совпадает со стороной прямоугольника. Для того чтобы записать числовой ответ, потребуется следующее. Начертить прямоугольник вдоль так, чтобы большая сторона шла горизонтально. Нумерацию вершин начинать с левой нижней и идти против часовой стрелки. Тогда длина вектора АВ будет равна 8 см.

Ответ. Разность АО и ВО равна 8 см.

Второй пример и его подробное решение

Условие. У ромба АВСД диагонали равны 12 и 16 см. Точка их пересечения обозначена буквой О. Вычислите длину вектора, образованного разностью векторов АО и ВО.

Решение. Пусть обозначение вершин ромба будет таким же, как в предыдущей задаче. Аналогично решению первого примера получается, что искомая разность равна вектору АВ. А его длина неизвестна. Решение задачи свелось к тому, чтобы вычислить одну из сторон ромба.

Для этой цели потребуется рассмотреть треугольник АВО. Он прямоугольный, потому что диагонали ромба пересекаются под углом в 90 градусов. А его катеты равны половинам диагоналей. То есть 6 и 8 см. Искомая в задаче сторона совпадает с гипотенузой в этом треугольнике.

Для ее нахождения потребуется теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы будет равен сумме чисел 6 2 и 8 2 . После возведения в квадрат получатся значения: 36 и 64. Их сумма — 100. Отсюда следует, что гипотенуза равна 10 см.

Ответ. Разность векторов АО и ВО составляет 10 см.

Третий пример с детальным решением

Условие. Вычислить разность и сумму двух векторов. Известны их координаты: у первого — 1 и 2, у второго — 4 и 8.

Решение. Для нахождения суммы потребуется сложить попарно первые и вторые координаты. Результатом будут числа 5 и 10. Ответом будет вектор с координатами (5; 10).

Для разности нужно выполнить вычитание координат. После выполнения этого действия получатся числа -3 и -6. Они и будут координатами искомого вектора.

Ответ. Сумма векторов — (5; 10), их разность — (-3; -6).

Четвертый пример

Условие. Длина вектора АВ равна 6 см, ВС — 8 см. Второй отложен от конца первого под углом в 90 градусов. Вычислить: а) разность модулей векторов ВА и ВС и модуль разности ВА и ВС; б) сумму этих же модулей и модуль суммы.

Решение: а) Длины векторов уже даны в задаче. Поэтому вычислить их разность не составит труда. 6 - 8 = -2. Несколько сложнее обстоит дело с модулем разности. Сначала нужно узнать, какой вектор будет являться результатом вычитания. Для этой цели следует отложить вектор ВА, который направлен в противоположную сторону АВ. Потом от его конца провести вектор ВС, направив его в сторону, противоположную исходному. Результатом вычитания получится вектор СА. Его модуль можно вычислить по теореме Пифагора. Несложные вычисления приводят к значению 10 см.

б) Сумма модулей векторов получается равной 14 см. Для поиска второго ответа потребуется некоторое преобразование. Вектор ВА противоположно направлен тому, который дан — АВ. Оба вектора направлены из одной точки. В этой ситуации можно использовать правило параллелограмма. Результатом сложения будет диагональ, причем не просто параллелограмма, а прямоугольника. Его диагонали равны, значит, модуль суммы такой же, как в предыдущем пункте.

Ответ: а) -2 и 10 см; б) 14 и 10 см.

«Если Вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи , то решайте их .»
Д. Пойа (1887-1985 г.)

(Математик. Внёс большой вклад в популяризацию математики. Написал несколько книг о том, как решают задачи и как надо учить решать задачи.)

С каждой квадратной матрицей связывают число . Это число называется определителем матрицы. Определитель вычисляется по особым правилам и обозначается |A|, det A , ΔA.

Число строк (столбцов) определителя называется его порядком .

Определитель первого порядка матрицы равен элементу a 11: |A|=a 11

Не путать определитель первого порядка с модулем.

Определитель второго порядка обозначается символом

и равен |A|=a 11 a 22 -a 12 a 21

Определитель 3-го порядка обозначается символом

Для запоминания этой формулы используют схематические правила (правило треугольника или Саррюса )

Правило Саррюса.

Правило треугольника.

Посмотрим на примере, как используются эти правила.

ПРИМЕР:

Правило Саррюса

Допишем к определителю два первых столбца.

Правило треугольника

Такой способ вычисления определителей не подходит для определителей 4-го порядка и выше. Прежде чем указать правило, которое позволяет находить определители любого порядка, рассмотрим понятие алгебраического дополнения элемента матрицы.

Алгебраическим дополнением (А ij ) элемента а ij определителя матрицы А называется число, равное произведению (-1) i+j (в степени номер строки плюс номер столбца этого элемента) на определитель, который получается из данного в результате вычеркивания строки и столбца, где стоит этот элемент.

ПРИМЕР:

Вычислить алгебраическое дополнение А 21 элемента а 21 .

РЕШЕНИЕ:

По определению алгебраического дополнения

Вычисление определителя произвольного порядка. Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (или столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.

, разложение определителя 4-го порядка по первой строке выглядит следующим образом: