Правила сложения векторов

Шарандова Валентина

В работе представлены исторические аспекты векторного исчисления. Приведено решение задач с помощью понятия и свойств вектора.

Скачать:

Предварительный просмотр:

АДМИНИСТРАЦИЯ ГОРОДА НИЖНЕГО НОВГОРОДА

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 138

Научная работа по геометрии

Тема: Применение векторов к решению задач

Работу выполнила: Шарандова Валентина Александровна

ученица 9а класса

МБОУ СОШ №138

Научный руководитель: Седова Ирина Георгиевна

учитель математики

2013

Введение 3

Глава 1. Понятие вектора. 5

1.1.Исторические аспекты векторного исчисления 5

1. 2.Понятие вектора 7

Глава 2. Операции над векторами 11

2.1. Сумма двух векторов 11

2.2. Основные свойства сложения векторов 12

2.3. Сложение нескольких векторов 13

2.4. Вычитание векторов 14

2.5. Модули сумм и разностей векторов 16

2.6. Произведение вектора на число 16

Глава 3. Координаты вектора 20

3.1. Разложение вектора по координатным векторам 20

3.2. Координаты вектора 21

Глава 4. Примирение векторов к решению задач. 23

Заключение 27

Список литературы 28

ВВЕДЕНИЕ

Многие физические величины, например сила, перемещение материальной точки, скорости, характеризуются не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие физические величины называются векторными величинами (или коротко векторами).

Вектор – одно из основных геометрических понятий. Вектор характеризуется числом (длиной) и направлением. Наглядно его можно представить себе в виде направленного отрезка, хотя, говоря о векторе, правильнее иметь в виде целый класс направленных отрезков, которые все параллельны между собой, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Примерами физических величин, которые имеют векторный характер, могут служить скоростью (поступательно движущегося тела), ускорение, сила и др.

Понятие векторы появилось в работах немецкого математика 19 в. Г. Грассмана и ирландского математика У. Гамильтона; затем оно было охотно воспринято многими математиками и физиками. В современной математике и ее приложениях это понятие играет важнейшую роль. Векторы применяются в классической механике Галилея – Ньютона (в ее современном изложении), в теории относительности, квантовой физике, в математической экономике и многих других разделах естествознания, не говоря уже о применении векторов в различных областях математике.

В современной математике и теперь не мало внимания уделяется векторам. С помощью векторного метода решаются сложные задачи. Увидеть использование векторов мы можем в физике, астрономии, биологии и других современных науках. Познакомившись с этой темой на уроках геометрии, мне захотелось рассмотреть её подробнее. Поэтому для себя определяю следующее:

Цель моей работы

Рассмотреть более подробно темы школьного курса геометрии за 8-9 классы, в которых рассказывается о векторах;
Привести примеры задач в решении которых применяются вектора.

Задачи :

Рассмотреть исторический материал по данной теме.
Выделить основные теоремы, свойства и правила.
Научиться решать задачи рассмотренным методом.

ГЛАВА 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА.

1.1. ИСТОРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Многие историки считают «родителями векторного пространства» ирландского учёного XIX в. У. Гамильтона, а также его немецких коллег и современников Г. Грассмана. Даже сам термин «вектор» ввел также Гамильтон около 1845 г.

Между тем историю векторного исчисления, как историю и корни всякой крупной математической теории, можно проследить задолго до его выделения в самостоятельный раздел математики. Так еще Архимед в его всем известном законе присутствует величина, характеризующаяся не только численным значением, но и направлением. Более того: векторный характер сил, скоростей и перемещений в пространстве был знаком многим ученым Античного времени, а «правило параллелограмма» сложения векторов было известно еще в IV в. Р. Х. математикам школы Аристотеля. Вектор обычно изображался отрезком с указанным на нем направлением, т.е. направленным отрезком.

Параллельно с исследованиями комплексных чисел в работах многих математиков XVII-XVIII в.в., занимавшихся геометрическими проблемами, можно увидеть нарастание потребности в неком геометрическом исчислении, подобном численному (исчислению действительных чисел), но связанному с пространственной системой координат. Его в какой-то мере пытался создать еще Лейбниц, продумывая свою «универсальную арифметику», но, несмотря на гениальность и необычайную широту интересов, сделать это ему не удалось. Однако уже к концу XVIII в. отдельные идеи векторного исчисления, которое и стало тем исчислением, что искали геометры, смог сформулировать французский ученый Л. Карно. А в 30-х годах XIX в. у Гамильтона и Грассмана в работах по теории комплексных чисел и кватернионов эти идеи были сформулированы уже совершенно прозрачно, хотя, по существу, что удивительно, они имели дело только с некоторыми примерами тех конечномерных векторных пространств, которые теперь бы мы назвали – координатными.

Так называемые функциональные векторные пространства привлекли внимание математиков уже в начале нашего века рослее инновационных результатов в этой области итальянца С. Пинкерля и немецкого математика О. Теплица, который известен своими работами по теории матриц, и, в частности, тем, что придумал удачную общую модель векторного пространства – координатное векторное пространство. Именно Хевисайд ввел в 1891 г. одно из закрепившихся в научной литературе обозначающий вектора: а , автором двух других общепринятых ныне обозначений векторов: ā был Ж. Арган, а для обозначения свободного вектора предложил А. Мебиус. Термин «скалярный» в современном смысле впервые употребил У. Гамильтон в 1843 г.

Таким образом, векторное исчисление – это раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. Возникновение векторного исчисления тесно связано с потребностями механики и физики.

1.2. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

Многие геометрические и физические величины полностью определяются, если задана их числовая характеристика. Такими величинами являются длина линии, объем тела, масса, работа, температура и т. д. Число, характеризующее ту или иную величину, получается в результате сравнения ее с выбранным эталоном, принятым за единицу измерения. Такие величины в математике называются скалярными величинами или просто скалярами.

Однако иногда встречаются величины более сложной природы, которые не могут быть полностью охарактеризованы их числовым значением. К подобным величинам относятся сила, скорость, ускорение и т. д. Для полной характеристики указанных величин, кроме числового значения, необходимо указать их направление. Такие величины в математике называются векторными величинами или векторами.

Для графического изображения векторов пользуются направленными отрезками прямой. В элементарной геометрии, как известно, отрезком называется совокупность двух различных точек А и В вместе со всеми точками прямой, лежащими между ними. Точки А и В называются концами отрезка, при этом порядок, в котором они берутся, не существен. Однако если отрезок АВ используется для графического изображения векторной величины, то порядок, в котором указаны концы отрезка, становится существенным. Пары точек АВ и В А задают один и тот же отрезок, но различные векторные величины.

В геометрии вектором называется направленный отрезок, т. е. отрезок, для которого указано, какая из концевых его точек считается первой, какая - второй. Первая точка направленного отрезка называется началом вектора, а вторая точка - концом.

Направление вектора на чертеже отмечается стрелкой, обращенной острием к концу вектора.

В тексте вектор записывается двумя заглавными буквами латинского алфавита со стрелкой наверху. Так, на рисунке 1,а изображены векторы , , , , причем А, С, Е, G - соответственно начала, а В, D, F, Н - концы данных

векторов. В некоторых случаях вектор обозначается также - одной строчной буквой, например, , , (рис. 1,б)

1.2.1. НУЛЬ-ВЕКТОР

При определении вектора мы предполагали, что начало вектора не совпадает с его концом. Однако в целях общности будем рассматривать и такие «векторы», у которых начало совпадает с концом. Они называются нулевыми векторами или нуль-векторами и обозначаются символом 0. На чертеже нуль-вектор изображается одной точкой. Если эта точка обозначена, например, буквой К, то нуль-вектор может быть обозначен также через .

1.2.2. КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

Два вектора АВ и CD называются коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на параллельных прямых.

Нуль-вектор считается коллинеарным любому вектору.

На рисунке 1,а векторы , , , попарно коллинеарны. На рисунке 2 векторы и коллинеарны, а и не коллинеарны.

Если ненулевые векторы и коллинеарны, то они могут иметь одно и то же или противоположные направления. В первом случае их называют сонаправленными, во втором случае - противоположно направленными.

На рисунке 1,а векторы и сонаправлены, а и или и противоположно направлены. В дальнейшем мы будем пользоваться следующими обозначениями: запись || (или || и коллинеарны; запись (или ) будет означать, что векторы и сонаправлены, а запись - что они имеют противоположные направления. Например, для векторов, изображенных на рисунке 1, а, имеют место соотношения: , , , || , .

1.2.3. МОДУЛЬ ВЕКТОРА

Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка, изображающего данный вектор. Длиной нулевого вектора называется число нуль. Длина вектора обозначается символом | |, или просто АВ (без стрелки наверху!). Длина вектора обозначается так: | | Очевидно, длина вектора равна нулю тогда и только тогда, когда - нулевой вектор. Вектор называется единичным, если его модуль равен единице.

1.2.4. РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ

Два вектора и называются равными, если выполнены следующие условия: а) модули векторов и равны; б) если векторы и ненулевые, то они сонаправлены.

Из этого определения следует, что два нулевых вектора всегда равны; если же один вектор нулевой, а другой отличен от нуля, то они не равны.

Равенство векторов и обозначается так: = .

Понятие равенства векторов обладает свойствами, которые аналогичны свойствам равенства чисел.

Теорема Равенство векторов удовлетворяет следующим условиям:

а) каждый вектор равен самому себе (условие рефлексивности);

б) если вектор равен вектору , то вектор равен вектору (условие симметричности);

в) если вектор равен вектору , а равен вектору , то равен (условие транзитивности).

1.2.5. ПЕРЕНОС ВЕКТОРА В ДАННУЮ ТОЧКУ

Пусть дан некоторый вектор = и произвольная точка А. Построим вектор равный вектору , так, чтобы его начало совпало с точкой А. Для этого достаточно провести через точку А прямую , параллельную прямой EF, и отложить на ней от точки А отрезок AВ, равный отрезку EF. При этом точку В на прямой следует выбрать так, чтобы векторы и были сонаправлены. Очевидно, есть искомый вектор .

ГЛАВА 2.ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.

2.1. СУММА ДВУХ ВЕКТОРОВ

Суммой двух произвольных векторов и называется третий вектор , который получается следующим образом: от произвольной точки О откладывается вектор , от его конца А откладывается вектор . Получившийся в результате этого построения вектор есть вектор (рис. 3).

На рисунке 4 изображено построение суммы двух коллинеарных векторов: а) сонаправленных, б) противоположно направленных, в) векторов, из которых один нулевой, г) равных по модулю, но противоположно направленных (в этом случае, очевидно, сумма векторов равна нуль-вектору).

Легко видеть, что сумма двух векторов не зависит от выбора исходной точки О. В самом деле, если за исходную точку построения взять точку О", то, как видно из рисунка 3, построение по указанному выше правилу дает вектор , равный вектору .

Очевидно также, что если

Из правила треугольника для сложения двух векторов вытекает простое и очень полезное для решения задач правило: каковы бы ни были три точки A, В и С, имеет место соотношение: + = .

Если слагаемые векторы не коллинеарны, то

для получения их суммы можно пользоваться другим способом - правилом параллелограмма. На рисунке 5 дано построение суммы векторов и

по этому правилу.

2.2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ

Теорема Понятие суммы векторов удовлетворяет следующим условиям:

а) для любых трех векторов , и имеет место соотношение:

(+ ) + + ( + ) (ассоциативный закон);

б) для любых двух векторов и имеет место соотношение: + = + , т. е. сумма двух векторов не зависит от порядка слагаемых (коммутативный закон);

в) для любого вектора , имеем: =

г) для каждого вектора существует противоположный вектор , т. е. вектор, удовлетворяющий условию: + = . Все векторы, противоположные данному, равны между собой.

Доказательство.

а) Пусть О - начало, а A -конец вектора

Перенесем вектор в точку A и от его конца В отложим вектор , конец которого обозначим через С (рис.6). Из нашего построения следует,

что (1).

Из правила треугольника имеем: = + и = + , поэтому =( + )+ . Подставив сюда значения слагаемых из (1), получаем:

= (+ ) +

С другой стороны, = + и = + , поэтому = + ( + ). Подставив сюда значения слагаемых из (1), получаем: = + ( + ).

Из этого следует, что векторы (+ ) + + ( + ) равны одному и тому же вектору , поэтому они равны между собой.

г) Пусть = - данный вектор. Из правила треугольника следует, что + = = 0. Отсюда вытекает, что есть вектор, противоположный вектору . Все векторы, противоположные вектору = , равны вектору , так как если каждый из них перенести в точку А, то концы их должны совпадать с точкой О в силу того, что + = . Теорема доказана.

Вектор, противоположный вектору , обозначается .

Из Теоремы следует, что если 0, то и . Также очевидно, что для любого вектора имеем: -(- )= .

Пример 1

В треугольнике ABCD AB=3,BC=4,B=90 0 .

Найти: а); б).

Решение.

а) Имеем:, и, значит,=7.

б) Так как, то.

Теперь, применяя теорему Пифагора, находим

Т. е.

Понятие суммы векторов можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых векторов.

2.3. СЛОЖЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ВЕКТОРОВ

Суммой трех векторов , и будем считать вектор = (+ ) + . На основании ассоциативного закона (теорема) сложения векторов + ( + ), поэтому при записи суммы трех векторов мы можем опустить скобки и записать ее в виде + + . Больше того, из теоремы следует, что сумма трех векторов не зависит от порядка слагаемых.

Пользуясь доказательством теоремы , можно указать следующий способ построения суммы трех векторов , и . Пусть О - начало вектора . Перенесем вектор в конечную точку вектора , а вектор - в конечную точку вектора . Если С - конечная точка вектора , то + + = ОС (рис. 8).

Обобщая правило, данное для построения суммы трех векторов, можно указать следующее общее правило сложения нескольких векторов. Чтобы построить сумму векторов ,… , достаточно вектор , затем вектор перенести в конечную точку вектора и т. д. Суммой данных векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец - с концом .

Сумма векторов ,… обозначается: …+ . На рисунке 9 дано построение суммы векторов , :

= .

Указанное выше правило построения суммы нескольких векторов называется правилом многоугольника.

2.4. ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

Вычитание вводится как операция, обратная сложению. Разностью векторов и называется такой вектор , что + = .

Разность векторов и обозначается так: - .

Таким образом, выражение = - означает, что + = .

Вектор называется уменьшаемым, а вектор - вычитаемым.

Теорема Каковы бы ни были векторы и , всегда существует и единственным образом определяется разность - .

Доказательство. Возьмем произвольную точку О и перенесем векторы и , в эту точку. Если = и = , то вектор есть искомая разность, так как + = , или + = . Данное построение выполнимо при любых векторах и , поэтому разность - всегда существует.

Теперь докажем, что разность определяется единственным образом. Пусть + = и + = . К обеим частям этих равенств прибавим вектор

+ +()= +(),

+ +()= +().

Пользуясь теоремой , после элементарных преобразований получаем: = +(), = +(), поэтому = . Теорема доказана.

Следствия. 1°.Для построения разности двух векторов нужно эти векторы перенести в некоторую точку пространства. Тогда вектор, идущий от конца вычитаемого к концу уменьшаемого, есть искомый вектор.

2°. Для любых двух векторов и имеем: - = +(- т. е. разность двух векторов равна сумме уменьшаемого вектора и вектора, противоположного вычитаемому.

Пример 2

Сторона равнобедренного треугольника ABC равна. Найти : a),

Решение. a) Так как, а, то.

b) Так как, а, то.

2.5. МОДУЛИ СУММ И РАЗНОСТЕЙ ВЕКТОРОВ

Для произвольных векторов и имеют место следующие соотношения:

б) .

В соотношении а) знак равенства имеет место только в случае, если и нулевой.

В соотношении б) знак равенства имеет место только в случае, если или если хотя бы один из векторов и нулевой.

2.6. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО.

Произведением вектора (обозначается или) на действительное число называется вектор, коллинеарный вектору, имеющий длину, равную, и то же направление, что и вектор, если 0, и направления, противоположное направлению вектора, если. Так, например, есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор, а длину, вдвое большую, чем вектор (рис. 10)

В случае, когда или, произведение представляет собой нулевой вектор. Противоположный вектор можно рассматривать как результат умножения вектора на = -1 (рис. 10): . Очевидно, что.

Пример 3

Доказать, что если O, A, B, и C, - произвольные точки, то.

Решение. Сумма векторов, вектор - противоположный вектору. Поэтому.

Пусть дан вектор. Рассмотрим единичный вектор 0 , коллинеарный вектору и одинаково с ним направленный. Из определения умножения вектора на число следует, что 0, т. е каждый вектор равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления. Далее из того же определения следует, что если, где - ненулевой вектор, то векторы и коллинеарны. Очевидно, что и обратно, из коллинеарности вектор и следует, что.

Таким образом, два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство.

Умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

1.= (сочетательный закон).

2.(первый распределительный закон).

3. (второй распределительный закон).

Рисунок 11 иллюстрирует сочетательный закон. На этом рисунке представлен случай, когда R=2, = 3.

Рисунок 12 иллюстрирует первый распределительный закон. На этом рисунке представлен случай, когда

R=3, =2.

Примечание.

Рассмотренные свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих сумму, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например, выражение можно преобразить так: .

Пример 4 .Коллинеарны ли векторы и?

Решение. Имеем. Значит, данные векторы коллинеарны.

Пример 5. Дан треугольник ABC. Выразите через векторы и следующие векторы: а); б); в).

Решение.

а) Векторы и - противоположные, поэтому, или.

b) По правилу треугольника. Но, поэтому.

в).

Определение : Произведения нулевого вектора на число называется такой вектор, длина которого равна, причем вектор и сонаправлены при и противоположно направлены при. Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Произведение вектора на число обозначается так:.

Из определения произведения вектора на число непосредственно следует, что:

произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор;
для любого числа и любого вектора векторы и коллинеарны.

Умножение вектора на число обладает следующим основными свойствами:

Для любых чисел, и любых векторов, справедливы равенства:

1 0 (сочетательный закон).

2 0 (первый распределительный закон).

3 0 (второй распределительный закон ).

ГЛАВА 3. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА.

3.1. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ДВУМ НЕКОЛЛИНЕАРНЫМ ВЕКТОРАМ.

Лемма.

Если векторы и коллинеарны и, то существует число R, что .

Пусть и - два данных вектора. Если вектор представлен в виде, где и - некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам и. Числа и называются коэффициентами разложения. Докажем теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

Теорема.

Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффиценты разложения определяются единственным образом.

Доказательство

Пусть и - данные неколлинеарные векторы. Докажем сначала, что любой вектор можно разложить по векторам и. Возможны два случая.

Вектор коллинеарен одному из векторов и, например вектору. В этом случае по лемме о коллинеарных векторах вектор можно представить в виде, где - некоторое число, и, следовательно, т.е. вектор разложен по векторам и.
Вектор не коллинеарен ни вектору, ни вектору. Отметим какую-нибудь точку и отложим от нее векторы, (рис.11). Через точку P проведем прямую, параллельную прямой, и обозначим через A 1 точку пересечения этой прямой с прямой OA. По правилу треугольника 11 . Но векторы 1 и 1 коллинеарны соответственно векторам и, поэтому существуют числа и? Такие, что 1= ,A 1 . Следовательно, т.е. вектор разложен по векторам и.

Докажем теперь,

Что

Коэффициенты

И разложения определяются единственным образом. Допустим, что наряду с разложением имеем место другое разложение х 1 у 1 . Вычитая второе равенство из первого и используя правила действий над векторами, получаем 1 ) 1 ). Это равенство можно выполнять только в том случае, когда коэффиценты 1 и 1 равны нулю. В самом деле, если предложить, например, что х-х 1 0, то из полученного равенства найдем, а значит, векторы и коллинеарны. Но это противоречие условию теоремы. Следовательно, х-х 1 =0 и у-у 1 =0, откуда х=х 1 и у=у 1 . Это и означает, что коэффиценты разложения вектора определяются единственным образом.

3.2. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА.

Отложим от начала координат O единичные векторы (т.е. векторы, длины которых равны единице) и так, чтобы направления вектора совпало с направление вектора - с направлением оси Oу. Векторы и назовем координатными векторами.

Координатные вектора не коллинеарны, поэтому любой вектор можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде, причем коэффициенты разложения (числа и у) определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора по координатам вектора называются координатами вектора в данной системе координат.

Обозначается: .

Правило.

1 0 . Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

2 0 . Каждая координата разности двух векторов равна разность соответствующих координат этих векторов.

3 0 . Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующей координаты вектора на это число.

Пример 6

Разложите векторы, по единичным векторам и и найдите их координаты (рис.14)

Решение:

; ;;

ГЛАВА 4. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ.

Задача 1.

Даны точки : A(2;-1), B(5;-3), C(-2;11), D(-5;13). Докажите, что они являются вершинами параллелограмма

Доказательство : Воспользуемся признаком параллелограмма: если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом. В силу этого признака достаточно показать, что: a); b) точки A, B и D не лежат на одной прямой.

Так как A(2;-1), B(5;-3), то; так как C(-2;11), D(-5;13),

то. Итак, .

Точки A, B и D лежат на одной прямой, если координаты векторов и пропорциональны. Так как и, то координаты векторов и не пропорциональны, поэтому эти векторы не коллинеарны и, следовательно, точки A,B и D не лежат на одной прямой. Итак, четырехугольник ABCD – параллелограмм, что и требовалось доказать.

Задача 2.

Дано: В трапеции ABCD (рис.15), AD║ BC, ABC =120 0

AD=6 см, AB=3см ,

Найти :.

Решение : По правилу треугольника: , следовательно, . Длина вектора - это длина отрезка BD .

Так как AD║ BC,то 0 - 0 .

Проведем высоту BH трапеции. В прямоугольном треугольнике ABH имеем: (см).

(см).

Из треугольника BHD по теореме Пифагора получаем: BD 2= BH 2 + (AD+AH) 2 =(см) 2 , откуда BD=3см.

Ответ : 3см.

Задача 3.

Пусть M – середина отрезка AB, O – произвольная точка.

Докажите, что.

Решение: Сложив почленно равенства.

Получим: 2

Следовательно,

Задача 4.

Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны, то и диагонали любого другого четырехугольника с такими же длинами сторон перпендикулярны.

Решение:

Пусть a =, b = , c = и d = . Достаточно проверить, что AC┴BD тогда и только тогда, когда a 2 + c 2 = b 2 + d 2 .

Ясно, что d 2 = |a+b+c| 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2[(a,b) + (b,c) + (c,a)].

Поэтому условие AC ┴ BD, т. е. 0 = (a+b, b+c) = b 2 + (b,c) + (a,c) + (a,b), эквивалентно тому, что d 2 = a 2 + b 2 + c 2 - 2b 2 .

Задача 5.

Пусть M – точка пересечения треугольника ABC. На перпендикулярах, опущенных из M на стороны BC,AC и AB, взяты точки A 1 , B 1 и С 1 соответственно,

причем A 1 B 1 ┴ MC и A 1 C 1 ┴MB.

Докажите, что точка M является точкой пересечением медиан и в треугольнике A 1 B 1 C 1 .

Решение:

Обозначим 1 =,=, 1 =. Пусть A 2 ,B 2 ,C 2 середины сторон BC,AC и AB соответственно. Тогда 2,

B 11 =,

2 =,C 11 =.

По условию задачи, следующие скалярные произведения равны 0:

B 11 B 11,

1111,

1111→

→.

Поскольку и то, 0=.

Аналогично, 0=.

Докажем, что (отсюда будет следовать, что точка пересечения медиан треугольника A 1 B 1 C 1 ).

Действительно, а т.к. векторы и неколлинеарны, то,

а т.к. и неколлинеарны, то

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Перечисленные выше свойства векторных операций во многом похожи на свойства сложения и умножения чисел. В этом состоит удобство векторных операций: вычисления с векторами выполняются по хорошо знакомым правилам. В то же время вектор – геометрический объект, и в определении векторных операций используются такие геометрические понятия, как длина и угол; этим и обедняется польза векторов для геометрии (и ее приложений к физике и другим областям знания). Однако для решения геометрических задач с помощью векторов необходимо, прежде всего, научиться «переводить» условия геометрической задачи на векторный «язык». После такого «перевода» осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а за тем полученное векторное решение снова «переводиться на геометрический «язык». В этом и состоит векторное решение геометрических задач.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Атанасян Л.С. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. - 20-е изд. - М. : Издательство «Просвещение», 2010.- 384 с. : ил.
Атанасян Л.С. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. - 18-е изд. - М. : Издательство «Просвещение», 2009. - 255 с. : ил.
Атанасян Л.С. Изучение геометрии в 7-9 классах. Пособие для учителей/Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А. и др.. - 7-е изд. -М., Издательство «Просвещение», 2009,. -255 с.
Атанасян Л.С. Геометрия, ч. I. Учеб. пособие для студентов физ.- мат. фак-тов пед. ин-тов. -М.: Издательство «Просвещение», 1973 - 480 с.: ил
Геометрия. 7-9 класс. Программы общеобразовательных учреждений/ сост. Т.А.Бурмистрова.- М.: Издательство «Просвещение», 2010.- 126 с.
Геометрия. 10-11 класс. Программы общеобразовательных учреждений/ сост. Т.А. Бурмистрова.- М.: Издательство «Просвещение», 2009. - 96 с.
Геометрия.7-11 класс [Электронный ресурс].-Демонстрационные таблицы(258 Мб).-Волгоград: Издательство «Учитель», 2011-1 электрон. опт. диск (CD- ROM)
Геометрия.7-11 класс [Электронный ресурс].- Поурочные планы по учебникам Л.С. Атанасяна (135 Мб). - Волгоград: Издательство «Учитель», 2010-1 электрон. опт. диск (CD- ROM)
Кушнир А.И. Векторные методы решения задач/ А.И.Кушнир. - Киев: Издательство «Обериг», 1994 – 207с.
Потоскуев Е.В. Векторный метод решения стереометрических задач / Е.В.Потоскуев// Математика.-2009.-№6.-с.8-13
Потоскуев Е.В. Векторы и координаты как аппарат решения геометрических задач: учебное пособие / Е.В.Потоскуев. – М.: Издательство «Дрофа»,2008.- 173с.
Рабочие программы по геометрии: 7-11 классы/ Сост. Н.Ф. Гаврилова.-М.: Издательство «ВАКО», 2011.-192 с.
Саакян С. М. Изучение геометрии в 10-11 классах: кн. для учителя / С. М. Саакян, В. Ф. Бутузов.- 4-е изд.,дораб.- М.: Издательство «Просвещение», 2010.- 248 с.

Введение

С уверенностью можно сказать, что мало кто из людей задумывается о том, что векторы окружают нас повсюду и помогают нам в повседневной жизни. Рассмотрим ситуацию: парень назначил девушке свидание в двухстах метрах от своего дома. Найдут ли они друг друга? Конечно, нет, так как юноша забыл указать главное: направление, то есть по-научному – вектор. Далее, в процессе работы над данным проектом, я приведу ещё множество не менее интересных примеров векторов.

Вообще, я считаю, что математика – это интереснейшая наука, в познании которой нет границ. Я выбрала тему о векторах не случайно, меня очень заинтересовало то, что понятие «вектор» выходит далеко за рамки одной науки, а именно математики, и окружает нас практически везде. Таким образом, каждый человек должен знать, что такое вектор, поэтому, я думаю, что эта тема весьма актуальна. В психологии, биологии, экономике и многих других науках употребляют понятие «вектор». Подробнее об этом я расскажу позже.

Целями данного проекта являются приобретение навыков работы с векторами, умение видеть необычное в обычном, выработка внимательного отношения к окружающему миру.

История возникновения понятия вектор

Одним из фундаментальных понятий современной математики является вектор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а так же в технике.

Вектор относительно новое математическое понятие. Сам термин «вектор» впервые появился в 1845 году у ирландского математика и астронома Уильяма Гамильтона (1805 – 1865) в работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа. Гамильтону принадлежат и термин «скаляр», «скалярное произведение», «векторное произведение». Почти одновременно с ним исследования в том же направлении, но с другой точки зрения вёл немецкий математик Герман Грассман (1809 – 1877). Англичанин Уильям Клиффорд (1845 – 1879) сумел объединить два подхода в рамках общей теории, включающий в себя и обычное векторное исчисление. А окончательный вид оно приняло в трудах американского физика и математика Джозайи Уилларда Гиббса (1839 – 1903), который в 1901 году опубликовал обширный учебник по векторному анализу.

Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.

Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением. Например, некоторые физические величины, такие, как сила, скорость, ускорение и др., характеризуются не только числовым значением, но и направлением. В связи с этим указанные физические величины удобно изображать направленными отрезками. В соответствии с требованиями новой программы по математике и физике понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики.

Векторы в математике

Вектором называется направленный отрезок, который имеет начало и конец.

Вектор с началом в точке А и концом в точке В принято обозначать как АВ. Векторы также могут обозначаться малыми латинскими буквами со стрелкой (иногда - чёрточкой) над ними, например .

Вектор в геометрии естественно сопоставляется переносу (параллельному переносу), что, очевидно, проясняет происхождение его названия (лат. vector, несущий). Действительно, каждый направленный отрезок однозначно определяет собой какой-то параллельный перенос плоскости или пространства: скажем, вектор АВ естественно определяет перенос, при котором точка А перейдет в точку В, также и обратно, параллельный перенос, при котором А переходит в В, определяет собой единственный направленный отрезок АВ.

Длиной вектора АВ называется длина отрезка АВ, её обычно обозначают АВ. Роль нуля среди векторов играет нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают; ему, в отличие от других векторов, не приписывается никакого направления.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых, либо на одной прямой. Два вектора называются сонаправленными, если они коллинеарны и направлены в одну сторону, противоположно направленными, если коллинеарны и направлены в разные стороны.

Операции над векторами

Модуль вектора

Модулем вектора АВ называется число, равное длине отрезка АВ. Обозначается, как АВ. Через координаты вычисляется, как:

Сложение векторов

В координатном представлении вектор суммы получается суммированием соответствующих координат слагаемых:

){\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y},a_{z}+b_{z})}

Для геометрического построения вектора суммы {\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}+{\vec {b}}}c = используют различные правила (методы), однако они все дают одинаковый результат. Использование того или иного правила обосновывается решаемой задачей.

Правило треугольника

Правило треугольника наиболее естественно следует из понимания вектора как переноса. Ясно, что результат последовательного применения двух переносов {\displaystyle {\vec {a}}} и {\displaystyle {\vec {b}}} некоторой точки будет тем же, что применение сразу одного переноса {\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}}, соответствующего этому правилу. Для сложения двух векторов{\displaystyle {\vec {a}}} и {\displaystyle {\vec {b}}} по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Это правило прямо и естественно обобщается для сложения любого количества векторов, переходя в правило ломаной :

Правило многоугольника

Начало второго вектора совмещается с концом первого, начало третьего - с концом второго и так далее, сумма же {\displaystyle n} векторов есть вектор, с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом {\displaystyle n}- го (то есть изображается направленным отрезком, замыкающим ломаную). Так же называется правилом ломаной.

Правило параллелограмма

Для сложения двух векторов {\displaystyle {\vec {a}}} и {\displaystyle {\vec {b}}} по правилу параллелограмма оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Правило параллелограмма особенно удобно, когда есть потребность изобразить вектор суммы сразу же приложенным к той же точке, к которой приложены оба слагаемых - то есть изобразить все три вектора имеющими общее начало.

Вычитание векторов

Для получения разности в координатной форме надо вычесть соответствующие координаты векторов:

‚ {\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}=(a_{x}-b_{x},a_{y}-b_{y},a_{z}-b_{z})}

Для получения вектора разности {\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}} начала векторов соединяются и началом вектора {\displaystyle {\vec {c}}} будет конец {\displaystyle {\vec {b}}}, а концом - конец {\displaystyle {\vec {a}}}. Если записать, используя точки векторов, то AC-AB=BC{\displaystyle {\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {BC}}}.

Умножение вектора на число

Умножение вектора {\displaystyle {\vec {a}}} на число {\displaystyle \alpha 0}, даёт сонаправленный вектор с длиной в {\displaystyle \alpha } раз больше. Умножение вектора {\displaystyle {\vec {a}}} на число {\displaystyle \alpha , даёт противоположно направленный вектор с длиной в {\displaystyle \alpha } раз больше. Умножение вектора на число в координатной форме производится умножением всех координат на это число:

{\displaystyle \alpha {\vec {a}}=(\alpha a_{x},\alpha a_{y},\alpha a_{z})}

Скалярное произведение векторов Скалярное

Скалярным произведением называют число, которое получается при умножении вектора на вектор. Находится по формуле:

Скалярное произведение можно найти ещё через длину векторов и угол между ними. Применение векторов в смежных науках Векторы в физике Векторы - мощный инструмент математики и физики. На языке векторов формулируются основные законы механики и электродинамики. Чтобы понимать физику, нужно научиться работать с векторами. В физике, как и в математике, вектор – это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент, импульс, напряженность электрического и магнитного полей. Векторы в литературе Вспомним басню Ивана Андреевича Крылова о том, как «лебедь, рак да щука везти с поклажей воз взялись». Басня утверждает, что «воз и ныне там», другими словами, что равнодействующая всех сил приложенных к возу сил равна нулю. А сила, как известно, векторная величина. Векторы в химии

Нередко даже великими учеными высказывалась мысль, что химическая реакция является вектором. Вообще-то, под понятие «вектор» можно подвести любое явление. Вектором выражают действие или явление, имеющее четкую направленность в пространстве и в конкретных условиях, отражаемое его величиной. Направление вектора в пространстве определяется углами, образующимися между вектором и координатными осями, а длина (величина) вектора – координатами его начала и конца.

Однако утверждение, что химическая реакция является вектором, до сих пор было неточно. Тем не менее основой этого утверждения служит следующее правило: «Любой химической реакции отвечает симметричное уравнение прямой в пространстве с текущими координатами в виде количеств веществ (молей), масс или объемов».

Все прямые химических реакций проходят через начало координат. Любую прямую в пространстве нетрудно выразить векторами, но поскольку прямая химической реакции проходит через начало системы координат, то можно принять, что вектор прямой химической реакции находится на самой прямой и называется радиус-вектором. Начало этого вектора совпадает с началом системы координат. Таким образом, можно сделать вывод: любая химическая реакция характеризуется положением ее вектора в пространстве. Векторы в биологии

Вектор (в генетике) - молекула нуклеиновой кислоты, чаще всего ДНК, используемая в генетической инженерии для передачи генетического материала другой клетке.

Векторы в экономике

Одним из разделов высшей математики является линейная алгебра. Ее элементы широко применяются при решении разнообразных задач экономического характера. Среди них важное место занимает понятие вектора.

Вектор представляет собой упорядоченную последовательность чисел. Числа в векторе с учетом их расположения по номеру в последовательности называются компонентами вектора. Отметим, векторы можно рассматривать в качестве элементов любой природы, в том числе и экономической. Предположим, что некоторая текстильная фабрика должна выпустить в одну смену 30 комплектов постельного белья, 150 полотенец, 100 домашних халатов, тогда производственную программу данной фабрики можно представить в виде вектора, где всё, что должна выпустить фабрика – это трехмерный вектор.

Векторы в психологии

На сегодняшний день имеется огромное количество информационных источников для самопознания, направлений психологии и саморазвития. И не трудно заметить, что все больше обретает популярность такое необычное направление, как системно-векторная психология, в ней существует 8 векторов.

Векторы в повседневной жизни

Я обратила внимание, что векторы, помимо точных наук, встречаются мне каждый день. Так, например, во время прогулки в парке, я заметила, что ель, оказывается, можно рассматривать как пример вектора в пространстве: нижняя её часть – начало вектора, а верхушка дерева является концом вектора. А вывески с изображением вектора при посещении больших магазинов помогают нам быстро найти тот или иной отдел и сэкономить время.

Векторы в знаках дорожного движения

Каждый день, выходя из дома, мы становимся участниками дорожного движения в роли пешехода либо в роли водителя. В наше время практически каждая семья имеет машину, что, разумеется, не может не отразиться на безопасности всех участников дорожного движения. И, чтобы избежать казусов на дороге, стоит соблюдать все правила дорожного движения. Но не стоит забывать того, что в жизни всё взаимосвязано и, даже в простейших предписывающих знаках дорожного движения, мы видим указательные стрелки движения, в математике называемые – векторами. Эти стрелки (векторы) указывают нам направления движения, стороны движения, стороны объезда, и ещё многое другое. Всю эту информацию можно прочитать на знаках дорожного движения на обочинах дорог.

Заключение

Базовое понятие «вектор», рассмотренное нами ещё на уроках математики в школе, является основой для изучения в разделах общей химии, общей биологии, физики и других наук. Я наблюдаю необходимость векторов в жизни, которые помогают найти нужный объект, сэкономить время, они выполняют предписывающую функцию в знаках дорожного движения.

Выводы

Каждый человек постоянно сталкивается с векторами в повседневной жизни.

Векторы необходимы нам для изучения не только математики, но и других наук.

Каждый должен знать, что такое вектор.

Источники

Башмаков М.А. Что такое вектор?-2-е изд., стер.- М.: Квант, 1976.-221с.

Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.-3-е изд., стер. - М.: Наука, 1978.-186с.

Гусятников П.Б. Векторная алгебра в примерах и задачах.-2-е изд., стер.- М.: Высшая школа, 1985.-302с.

Зайцев В.В. Элементарная математика. Повторительный курс.-3-е изд., стер.- М.: Наука,1976.-156с.

Коксетер Г.С. Новые встречи с геометрией.-2-е изд., стер. - М.: Наука,1978.-324с.

Погорелов А.В. Аналитическая геометрия.- 3-е изд., стер. - М.: Квант,1968.-235с.

При выяснении вопроса о применимости векторного метода к решению той или иной задачи, необходимо установить возможность выражения всех данных соотношений между известными и искомыми величинами на языке векторов. Если это можно сделать без больших затруднений, то есть смысл при решении такой задачи использовать векторы.

Решение геометрических задач с помощью векторов протекает успешнее, если вы будете придерживаться общих правил поиска решения. Полезно использовать девять таких правил:

1. Начиная решать задачу, посмотрите, что дано и что требуется доказать; отделите условие задачи от ее заключения; запишите условие и заключение задачи через общепринятые обозначения.

2. Выясните все (по возможности) соотношения, из которых следует заключение задачи; запишите их в векторной форме.

3. Сопоставьте каждое из рассматриваемых соотношений с тем, что дано, и с рисунком и посмотрите, какое из них лучше выбрать для доказательства.

4. Из того, что дано, получите следствия, которые связаны (или могут быть связаны) с выбранным вами соотношением.

5. Выделяя на рисунке векторы, входящие в выбранное вами соотношение, постоянно задавайте себе вопрос: «Через какие векторы можно их выразить? » Для ответа на поставленный вопрос рассматривайте эти векторы во всех целесообразных (обнадеживающих) соотношениях с другими.

6. Если для выражения вектора через другие нужно сделать дополнительные построения на рисунке, сделайте их так, чтобы это выражение было наиболее простым.

7. Постоянно помните, что дано в условии задачи, и в случае затруднений проверьте, не упустили ли вы что-либо из условия.

8. Так как затруднения могут быть связаны также с тем, что вы не применили какую-либо задачу или теорему, то в случае затруднения постарайтесь мысленно перебрать известные вам теоремы и решенные задачи и подумать, нельзя ли воспользоваться какой-нибудь из них.

9. Если выбранное вами соотношение (по правилу 2) не удалось доказать, применив все правила 4-8, то выберите другое и снова выполняйте правила 4-8 уже относительно него.

I. Для овладения умением переходить от геометрического языка к векторному и обратно необходимо знать, как то или иное векторное соотношение выражается на геометрическом языке. Например:

а) Равенство = k (k –некоторое число) , означает, что прямые АВ и СД параллельны.

б) Равенства = m/n и = n/(m+n) + m/(m+n) , (m,n –некоторые числа, Q –произвольная точка плоскости) означают, что точка С делит некоторый отрезок АВ в отношении m к n, т. е. AC: CB = m: n. При этом точка Q может быть выбрана так, чтобы последнее равенство доказывалось наиболее просто (это равенство следует из теоремы о делении отрезка в данном отношении) .

в) Каждое из равенств = k1 , = k2 , = k3 , = p +q (где k1, k2, k3, p, q - некоторые числа, p+q=1, Q – произвольная точка плоскости) , a +b +g = 0 (a, b, g - некоторые числа, a+b+g = 0, Q -произвольная точка плоскости) означает принадлежность трех точек А, В, С одной прямой (два последних равенства следуют из теоремы о принадлежности трех точек одной прямой) .

г) . Равенство. = 0, где A ¹ B; C¹D, означает, что прямые АВ и СД перпендикулярны. (Указанное равенство следует из свойств скалярного произведения векторов.)

На-пом-ним, что су-ще-ству-ют такие фи-зи-че-ские ве-ли-чи-ны, для ко-то-рых важна не толь-ко ве-ли-чи-на, но и на-прав-ле-ние. Такие ве-ли-чи-ны на-зы-ва-ют-ся век-тор-ны-ми, или век-то-ра-ми, и обо-зна-ча-ют-ся они на-прав-лен-ным от-рез-ком, то есть таким от-рез-ком, у ко-то-ро-го от-ме-че-ны на-ча-ло и конец. Вве-де-но было по-ня-тие кол-ли-не-ар-ных век-то-ров, то есть таких, ко-то-рые лежат либо на одной пря-мой, либо на па-рал-лель-ных пря-мых.

Мы рас-смат-ри-ва-ем век-тор, ко-то-рый можно от-ло-жить от любой точки, за-дан-ный век-тор от про-из-воль-но вы-бран-ной точки можно от-ло-жить един-ствен-ным об-ра-зом.

Было вве-де-но по-ня-тие рав-ных век-то-ров - это такие со-на-прав-лен-ные век-то-ры, длины ко-то-рых равны. Со-на-прав-лен-ны-ми на-зы-ва-ют-ся кол-ли-не-ар-ные век-то-ры, на-прав-лен-ные в одну сто-ро-ну.

Были вве-де-ны пра-ви-ла тре-уголь-ни-ка и па-рал-ле-ло-грам-ма - пра-ви-ла сло-же-ния век-то-ров.

За-да-ны два век-то-ра - век-то-ры и . Най-дем сумму этих двух век-то-ров . Для этого от-ло-жим из неко-то-рой точки А век-тор . - на-прав-лен-ный от-ре-зок, точка А - его на-ча-ло, а точка В - конец. Из точки В от-ло-жим век-тор . Тогда век-тор на-зы-ва-ют сум-мой за-дан-ных век-то-ров: - пра-ви-ло тре-уголь-ни-ка (см. Рис. 1).

За-да-но два век-то-ра - век-то-ры и . Най-дем сумму этих двух век-то-ров по пра-ви-лу па-рал-ле-ло-грам-ма.

От-кла-ды-ва-ем из точки А век-тор и век-тор (см. Рис. 2). На от-ло-жен-ных век-то-рах можно по-стро-ить па-рал-ле-ло-грамм. Из точки В от-кла-ды-ва-ем век-тор , век-то-ры и равны, сто-ро-ны ВС и

АВ1 па-рал-лель-ны. Ана-ло-гич-но па-рал-лель-ны и сто-ро-ны АВ и В1С, таким об-ра-зом, мы по-лу-чи-ли па-рал-ле-ло-грамм. АС - диа-го-наль па-рал-ле-ло-грам-ма.

2. Правила сложения векторов

Для сло-же-ния несколь-ких век-то-ров при-ме-ня-ют пра-ви-ло мно-го-уголь-ни-ка (см. Рис. 3). Нужно из про-из-воль-ной точки от-ло-жить пер-вый век-тор, из его конца от-ло-жить вто-рой век-тор, из конца вто-ро-го век-то-ра от-ло-жить тре-тий и так далее, когда все век-то-ры от-ло-же-ны - со-еди-нить на-чаль-ную точку с кон-цом по-след-не-го век-то-ра, в итоге по-лу-чит-ся сумма несколь-ких век-то-ров.

Кроме того, мы рас-смот-ре-ли по-ня-тие об-рат-но-го век-то-ра - век-то-ра, име-ю-ще-го такую же длину, как за-дан-ный, но ему про-ти-во-на-прав-лен-но-го.

3. Решение примеров

При-мер 1 - за-да-ча 747: вы-пи-ши-те пары кол-ли-не-ар-ных со-на-прав-лен-ных век-то-ров, ко-то-рые опре-де-ля-ют-ся сто-ро-на-ми па-рал-ле-ло-грам-ма; ука-жи-те про-ти-во-по-лож-но на-прав-лен-ные век-то-ры;

Задан па-рал-ле-ло-грамм MNPQ (см. Рис. 4). Вы-пи-шем пары кол-ли-не-ар-ных век-то-ров. В первую оче-редь это век-то-ры и . Они не толь-ко кол-ли-не-ар-ные, но и рав-ные, т.к. они со-на-прав-ле-ны, и длины их равны по свой-ству па-рал-ле-ло-грам-ма (в па-рал-ле-ло-грам-ме про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны равны). Сле-ду-ю-щая пара . Ана-ло-гич-но

вы-пи-шем кол-ли-не-ар-ные век-то-ры вто-рой пары сто-рон: ; .

Про-ти-во-по-лож-но на-прав-лен-ные век-то-ры: , , , .

При-мер 2 - за-да-ча 756: на-чер-ти-те по-пар-но некол-ли-не-ар-ные век-то-ры , и . По-строй-те век-то-ры ;; ;.

Для вы-пол-не-ния дан-но-го за-да-ния можем поль-зо-вать-ся пра-ви-лом тре-уголь-ни-ка или па-рал-ле-ло-грам-ма.

Спо-соб 1 - с по-мо-щью пра-ви-ла тре-уголь-ни-ка (см. Рис. 5):

Спо-соб 2 - с по-мо-щью пра-ви-ла па-рал-ле-ло-грам-ма (см. Рис. 6):

Ком-мен-та-рий: мы при-ме-ня-ли в пер-вом спо-со-бе пра-ви-ло тре-уголь-ни-ка - от-кла-ды-ва-ли из про-из-воль-но вы-бран-ной точки А пер-вый век-тор, из его конца - век-тор, про-ти-во-по-лож-ный вто-ро-му, со-еди-ня-ли на-ча-ло пер-во-го с кон-цом вто-ро-го, и таким об-ра-зом по-лу-ча-ли ре-зуль-тат вы-чи-та-ния век-то-ров. Во вто-ром спо-со-бе мы при-ме-ни-ли пра-ви-ло па-рал-ле-ло-грам-ма - по-стро-и-ли на нуж-ных век-то-рах па-рал-ле-ло-грамм и его диа-го-наль - ис-ко-мую раз-ность, помня тот факт, что одна из диа-го-на-лей - это сумма век-то-ров, а вто-рая - раз-ность.

При-мер 3 - за-да-ча 750: до-ка-жи-те, что если век-то-ры и равны, то се-ре-ди-ны от-рез-ков AD и BC сов-па-да-ют. До-ка-жи-те об-рат-ное утвер-жде-ние: если се-ре-ди-ны от-рез-ков AD и BC сов-па-да-ют, то век-то-ры и равны (см. Рис. 7).

Из ра-вен-ства век-то-ров и сле-ду-ет, что пря-мые АВ и CD па-рал-лель-ны, и что от-рез-ки АВ и CD равны. Вспом-ним при-знак па-рал-ле-ло-грам-ма: если у че-ты-рех-уголь-ни-ка пара про-ти-во-по-лож-ных сто-рон лежит на па-рал-лель-ных пря-мых, и их длины равны, то дан-ный че-ты-рех-уголь-ник - па-рал-ле-ло-грамм.

Таким об-ра-зом, че-ты-рех-уголь-ник ABCD, по-стро-ен-ный на за-дан-ных век-то-рах, - па-рал-ле-ло-грамм. От-рез-ки AD и BC яв-ля-ют-ся диа-го-на-ля-ми па-рал-ле-ло-грам-ма, одно из свойств ко-то-ро-го: диа-го-на-ли па-рал-ле-ло-грам-ма пе-ре-се-ка-ют-ся и в точке пе-ре-се-че-ния де-лят-ся по-по-лам. Таким об-ра-зом, до-ка-за-но, что се-ре-ди-ны от-рез-ков AD и BC сов-па-да-ют.

До-ка-жем об-рат-ное утвер-жде-ние. Для этого вос-поль-зу-ем-ся дру-гим при-зна-ком па-рал-ле-ло-грам-ма: если в неко-то-ром че-ты-рех-уголь-ни-ке диа-го-на-ли пе-ре-се-ка-ют-ся и точ-кой пе-ре-се-че-ния де-лят-ся по-по-лам, то этот че-ты-рех-уголь-ник - па-рал-ле-ло-грамм. От-сю-да че-ты-рех-уголь-ник ABCD - па-рал-ле-ло-грамм, и его про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны па-рал-лель-ны и равны, таким об-ра-зом, век-то-ры и кол-ли-не-ар-ны, оче-вид-но, что они со-на-прав-ле-ны, и мо-ду-ли их равны, от-сю-да век-то-ры и равны, что и тре-бо-ва-лось до-ка-зать.

При-мер 4 - за-да-ча 760: до-ка-жи-те, что для любых некол-ли-не-ар-ных век-то-ров и спра-вед-ли-во нера-вен-ство (см. Рис. 8)

От-ло-жим из про-из-воль-ной точки А век-тор , по-лу-чим точку В, из нее от-ло-жим некол-ли-не-ар-ный ему век-тор . По пра-ви-лу па-рал-ле-ло-грам-ма или тре-уголь-ни-ка по-лу-чим сумму век-то-ров - век-тор . Имеем тре-уголь-ник .

Длина суммы век-то-ров со-от-вет-ству-ет длине сто-ро-ны АС тре-уголь-ни-ка. По нера-вен-ству тре-уголь-ни-ка длина сто-ро-ны АС мень-ше, чем сумма длин двух дру-гих сто-рон АВ и ВС, что и тре-бо-ва-лось до-ка-зать.

При-ме-не-ние век-то-ров к ре-ше-нию задач

4. Выражение вектора через два неколлинеарных

На-пом-ним, что мы уже изу-чи-ли неко-то-рые факты о век-то-рах, и те-перь умеем опре-де-лять рав-ные век-то-ры, кол-ли-не-ар-ные век-то-ры, со-на-прав-лен-ные и про-ти-во-по-лож-но на-прав-лен-ные. Также мы умеем скла-ды-вать век-то-ры по пра-ви-лу тре-уголь-ни-ка и па-рал-ле-ло-грам-ма, скла-ды-вать несколь-ко век-то-ров по пра-ви-лу мно-го-уголь-ни-ка, умеем умно-жать век-тор на число. Ре-ше-ние задач с век-то-ра-ми ис-поль-зу-ет все эти зна-ния. Пе-рей-дем к ре-ше-нию неко-то-рых при-ме-ров.

При-мер 1 - за-да-ча 769: от-ре-зок ВВ1 - ме-ди-а-на тре-уголь-ни-ка . Вы-ра-зи-те через век-то-ры и век-то-ры , , и .

От-ме-тим, что век-то-ры и некол-ли-не-ар-ны, то есть пря-мые АВ и АС не па-рал-лель-ны.

В даль-ней-шем мы узна-ем, что любой век-тор может быть вы-ра-жен через два некол-ли-не-ар-ных век-то-ра.

Вы-ра-зим пер-вый век-тор (см. Рис. 1): , т. к. по усло-вию ВВ1 - ме-ди-а-на тре-уголь-ни-ка, зна-чит, век-то-ры и имеют рав-ные мо-ду-ли, кроме того, оче-вид-но, что они кол-ли-не-ар-ны и при этом со-на-прав-ле-ны, зна-чит, дан-ные век-то-ра равны.

Для вы-ра-же-ния сле-ду-ю-ще-го век-то-ра вос-поль-зу-ем-ся пра-ви-лом па-рал-ле-ло-грам-ма для вы-чи-та-ния. Мы пом-ним, что одна из диа-го-на-лей па-рал-ле-ло-грам-ма, по-стро-ен-но-го на двух век-то-рах, со-от-вет-ству-ет сумме этих век-то-ров, а вто-рая - их раз-но-сти. Диа-го-наль, со-от-вет-ству-ю-щая раз-но-сти век-то-ров, сле-ду-ет от конца к на-ча-лу, таким об-ра-зом, если по-стро-ить на за-дан-ных век-то-рах и па-рал-ле-ло-грамм, то его диа-го-наль будет со-от-вет-ство-вать раз-но-сти .

Век-тор яв-ля-ет-ся про-ти-во-по-лож-ным к за-дан-но-му век-то-ру , от-сю-да .

Век-тор ана-ло-гич-но век-то-ру можно пред-ста-вить в виде раз-но-сти век-то-ров . При вы-ра-же-нии сле-ду-ет учесть тот факт, что точка В1 яв-ля-ет-ся се-ре-ди-ной от-рез-ка АС, зна-чит, век-то-ры и равны, зна-чит, век-тор можно пред-ста-вить как удво-ен-ное про-из-ве-де-ние век-то-ра .

Перед ре-ше-ни-ем за-да-чи мы ска-за-ли, что через за-дан-ные два некол-ли-не-ар-ных век-то-ра можно вы-ра-зить любой век-тор. Вы-ра-зим, на-при-мер, ме-ди-а-ну АА1 (см. Рис. 2).

По-лу-чи-ли си-сте-му урав-не-ний, вы-пол-ним их сло-же-ние:

Век-то-ры в сумме со-став-ля-ют ну-ле-вой век-тор, так как они кол-ли-не-ар-ны и про-ти-во-на-прав-ле-ны, а мо-ду-ли их равны, таким об-ра-зом по-лу-ча-ем:

По-де-лим обе части урав-не-ния на два, по-лу-чим:

Из дан-ной за-да-чи можно сде-лать вывод, что если за-да-ны два некол-ли-не-ар-ных век-то-ра, то любой тре-тий век-тор на плос-ко-сти можно од-но-знач-но вы-ра-зить через эти два век-то-ра. Для этого необ-хо-ди-мо при-ме-нить пра-ви-ло сло-же-ния век-то-ров, либо ме-то-дом тре-уголь-ни-ка, либо па-рал-ле-ло-грам-ма, и пра-ви-ло умно-же-ния век-то-ра на число.

5. Свойство средней линии треугольника

При-мер 2: до-ка-зать с по-мо-щью век-то-ров свой-ство сред-ней линии тре-уголь-ни-ка (см. Рис. 3).

Задан про-из-воль-ный тре-уголь-ник , точки M и N - се-ре-ди-ны сто-рон АВ и АС со-от-вет-ствен-но, MN - сред-няя линия тре-уголь-ни-ка. Свой-ство сред-ней линии: сред-няя линия па-рал-лель-на ос-но-ва-нию тре-уголь-ни-ка и равна его по-ло-вине.

До-ка-за-тель-ство дан-но-го свой-ства ана-ло-гич-но для тре-уголь-ни-ка и тра-пе-ции.

Вы-ра-зим век-тор двумя спо-со-ба-ми:

По-лу-чи-ли си-сте-му урав-не-ний:

Вы-пол-ним сло-же-ние урав-не-ний си-сте-мы:

Сумма век-то-ров - это ну-ле-вой век-тор, длины этих век-то-ров равны по усло-вию, кроме того, они оче-вид-но кол-ли-не-ар-ны и про-ти-во-на-прав-ле-ны. Ана-ло-гич-но сум-мой век-то-ров будет ну-ле-вой век-тор. По-лу-ча-ем:

По-де-лим обе части урав-не-ния на два:

Таким об-ра-зом, мы по-лу-чи-ли, что сред-няя линия тре-уголь-ни-ка равна по-ло-вине его ос-но-ва-ния. Кроме того, из ра-вен-ства век-то-ра по-ло-вине век-то-ра сле-ду-ет, что эти век-то-ры кол-ли-не-ар-ны и со-на-прав-ле-ны, а зна-чит, пря-мые MN и ВС па-рал-лель-ны.